专题14 平行线之子弹模型-中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）

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中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题14平行线之子弹模型
解题策略



经典例题



【例1】（2022春•长沙期中）问题情境
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．
问题初探
（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．
分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．
由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 　30°　，∠EMC的度数为 　60°　．
类比再探
（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由．
（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．


【分析】（1）过点C作CH∥GF，则CH∥DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数；
（2）过C作CH∥GF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；
（3）过B作BK∥GF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．
【解答】解：（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；
故答案为：30°，60°；
（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：
证明：如图，

过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE，
∴∠EMC＝∠HCM，
∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；
（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：
证明：如图，

过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，
∵BK∥GF，DE∥GF，
∴BK∥DE，
∴∠BMD＝∠KBM，
∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．
【例2】（2022春•莆田期末）李想是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一块含有60°的直角三角板摆放在一组平行线上展开探究．已知直线EF∥GH，直角三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点C为直线EF上一定点．将直角三角板ABC绕点C转动，当点A在直线GH上时，点B也恰好在直线GH上．
（1）如图1，求∠ECB的度数；
（2）如图2，若点A在直线EF上方，点B在GH下方，BC与GH交于点Q，作∠ACE的角平分线并反向延长与∠CQH的角平分线交于点O．在直角三角板ABC绕点C转动的过程中，∠O的度数是否保持不变？若不变，求出∠O的度数；否则，请说明理由；
（3）如图3，直角三角板ABC绕点C转动，若点A在直线EF，GH之间（不含EF，GH上），点B在GH下方，AB，BC分别与GH交于点P，Q．设∠FCB＝n°，是否存在正整数m和n，使得∠APH＝m∠FCB，若存在，请求出m和n的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据两直线平行内错角相等，求得∠ECA，然后求得∠ECB．
（2）过点O作EF的平行线，利用平行线的性质、角平分线的定义，得出∠O始终为∠ACB的一半，即45°，从而得出∠O的度数始终不变．
（3）根据四边形的内角和360°及平行线的性质得出关于m和n的关系式，根据题意得出m的范围，在范围内找到m和n都是正整数的所有可能的情况．
【解答】解：（1）∵EF∥GH，
∴∠ECA＝∠CAB＝60°，
∴∠ECB＝∠ACB+∠ECA＝90°+60°＝150°．
（2）∠O 的度数保持不变．理由如下：

过点O作OP∥EF，
∵EF∥GH，
∴EF∥OP∥GH，
∴∠COP＝∠FCO，∠POQ＝∠OQH，∠ECQ＝∠CQH，
∵CD 平分∠ACE，OQ平分∠CQH，
∴∠DCE＝∠ACE，
∠OQH＝∠CQH＝∠ECB，
∴∠POQ＝∠ECB，
∵∠DCE＝∠FCO，
∴∠COP＝∠DCE＝∠ACE，
∴∠COQ＝∠COP+∠POQ
＝∠ACE+∠ECB
＝（∠ACE+∠ECB）
＝∠ACB
＝×90°
＝45°．
∴∠O的度数保持不变，始终是45°．
（3）存在．理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠APQ+∠CQP＝360°﹣∠ACB﹣∠A
＝360°﹣90°﹣60°
＝210°，
∵EF∥GH，
∴∠FCB＝∠CQP＝n°，
∴∠APQ+∠CQP＝∠APQ+n°＝210°，
∵∠APH＝m∠FCB，
∴∠APH＝mn°，
∴mn°+n°＝210°，
由此得出，n＝，
∵点A在直线EF，GH之间（不含EF，GH上），点B在GH下方，
∴30°＜n°＜90°，即mn°＜180°，m，n是正整数，
∴当m＝1时，n＝＝105，不符合题意，舍去；
当m＝2时，n＝＝70，符合题意；
当m＝3时，n＝不是正整数，舍去；
当m＝4时，n＝＝42，符合题意；
当m＝5时，n＝35，符合题意；
当m＝6时，n＝＝30，不符合题意，舍去．
综上所得，m＝2，n＝70，或m＝4，n＝42，或m＝5，n＝35．
【例3】（2022春•宜春期末）问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．
（1）端点A、C同向：
如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝　0　度；
如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝　360　度；
（2）端点A、C反向：
如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A﹣∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明；
如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝　180　度．

【分析】（1）过点P作PE∥AB，分别利用猪脚模型，铅笔模型即可解答；
（2）过点P作PE∥CD，利用平行线的性质，以及角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：（1）如图：过点P作PE∥AB，
∴∠A＝∠APE，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠C＝∠EPC，
∵∠APC＝∠APE+∠EPC，
∴∠APC＝∠A+∠C，
∴∠APC﹣（∠A+∠C）＝0度，
故答案为：0；
如图：过点P作PE∥AB，

∴∠A+∠APE＝180°，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠C+∠EPC＝180°，
∴∠A+∠APE+∠C+∠EPC＝360°，
∴∠APC+∠A+∠C＝360°，
∴∠APC+（∠A+∠C）＝360度，
故答案为：360；
（2）∠APC+∠A﹣∠C＝180°，
证明：过点P作PE∥CD，
∴∠C＝∠EPC，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB，
∴∠A+∠APE＝180°，
∴∠A+∠APC﹣∠EPC＝180°，
∴∠A+∠APC﹣∠C＝180°，
∴∠APC+∠A﹣∠C＝180°；
如图：过点P作PE∥AB，
∴∠A＝∠APE，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠C+∠EPC＝180°，
∴∠C+∠APC﹣∠APE＝180°，
∴∠C+∠APC﹣∠A＝180°，
∴∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°，
故答案为：180．



【例4】（2022春•佛山月考）问题情境：
（1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．
（提示：如图2，过P作PE∥AB）问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出α、β、∠DPC之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°）

【分析】（1）过P作作PE∥AB，然后利用平行线的性质可以解决问题；
（2）过P作作PE∥AB，然后利用平行线的性质可以解决问题；
（3）有两种情况：当P在AB延长线和当P在OA延长线，都是通过作平行线利用平行线的性质解决问题．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，
∴∠PAB+∠APE＝180°，∠EPC+∠C＝180°，
∴∠APE＝180°﹣120°＝60°，∠EPC＝180°﹣130°＝50°，
∴∠APC＝∠APE+∠EPC＝60°+50°＝110°；
（2）∠CPD＝∠α+∠β，
理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）①当P在OA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
②当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β，

①当P在OA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
②当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β，
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．



培优训练


一．选择题
1．（2022春•交口县期末）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如右图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（　　）度

A．360 B．180 C．250 D．270
【分析】过点B作BG∥AE，利用平行线的性质可得∠BAE+∠ABG＝180°，∠C+∠CBG＝180°，从而可得∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°，然后根据垂直定义可得∠BAE＝90°，最后进行计算即可解答．
【解答】解：过点B作BG∥AE，

∴∠BAE+∠ABG＝180°，
∵AE∥CD，
∴BG∥CD，
∴∠C+∠CBG＝180°，
∴∠BAE+∠ABG+∠CBG+∠C＝360°，
∴∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠BAE＝270°，
故选：D．
2．（2022春•陆河县期末）①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠A＝∠P+∠C；③如图3，AB∥CD，则∠A+∠E＝180°+∠1；④如图4，AB∥CD∥EF，则∠α+∠r＝180°+∠β以上结论正确的是（　　）

A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
【分析】①过点E作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，从而可得∠A+∠AEC+∠C＝360°，即可判断；
②设CD与AP交于点G，先利用三角形的外角可得∠DGP＝∠C+∠P，再利用平行线的性质可得∠A＝∠DGP，然后根据等量代换即可判断；
③延长AE交CD于点H，根据平行线的性质可得∠A+∠EHC＝180°，然后利用三角形的外角可得∠EHC＝∠AEC﹣∠1，然后进行计算即可判断；
④利用平行线的性质可得∠COE＝∠γ，从而可得∠BOE＝∠γ﹣∠β，再利用平行线的性质可得∠α+∠BOE＝180°，然后进行计算即可解答．
【解答】解：①如图：过点E作EF∥AB，

∴∠A+∠AEF＝180°，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠C+∠CEF＝180°，
∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C＝360°，
∴∠A+∠AEC+∠C＝360°，
故①不正确；
②如图：设CD与AP交于点G，
∵∠DGP是△CPG的一个外角，
∴∠DGP＝∠C+∠P，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DGP，
∴∠A＝∠C+∠P，
故②正确；
③如图：延长AE交CD于点H，

∵AB∥CD，
∴∠A+∠EHC＝180°，
∵∠AEC是△EHC的一个外角，
∴∠EHC＝∠AEC﹣∠1，
∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，
∴∠A+∠AEC＝180°+∠1，
故③正确；
④∵CD∥EF，
∴∠COE＝∠γ，
∵∠BOE＝∠COE﹣∠β，
∴∠BOE＝∠γ﹣∠β，
∵AB∥EF，
∴∠α+∠BOE＝180°，
∴∠α+∠γ﹣∠β＝180°，
∴∠α+∠r＝180°+∠β，
故④正确；
所以，以上结论正确的是②③④，
故选：C．



3．（2022春•西湖区校级期中）如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB、CG分别为∠EFG、∠ECD的角平分线，若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（　　）

A．140° B．150° C．130° D．160°
【分析】过G作GM∥AB，根据平行线的性质可得∠2＝∠5，∠6＝∠4，进而可得∠FGH＝∠2+∠4，再利用平行线的性质进行等量代换可得3∠1＝210°，求出∠1的度数，然后可得答案．
【解答】解：过G作GM∥AB，

∴∠2＝∠5，
∵AB∥CD，
∴MG∥CD，
∴∠6＝∠4，
∴∠G＝∠5+∠6＝∠2+∠4，
∵FB、CG分别为∠EFG，∠ECD的角平分线，
∴∠1＝∠2＝∠EFG，∠3＝∠4＝∠ECD，
∴∠E+∠EFG+∠ECD＝210°，
∵AB∥CD，
∴∠ENB＝∠ECD，
∴∠E+∠EFG+∠ENB＝210°，
∵∠1＝∠E+∠ENB，
∴∠1+∠EFG＝∠1+∠1+∠2＝210°，
∴3∠1＝210°，
∴∠1＝70°，
∴∠EFG＝2×70°＝140°．
故选：A．
4．（2022春•林州市期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（　　）

A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°
【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．
故选：C．

5．（2021春•硚口区月考）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④
【分析】过点F作FP∥AB，HQ∥AB，设∠NEB＝x，∠HGC＝y，利用猪脚模型、锯齿模型表示出∠EHG、∠EFM，即可分析出答案．
【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC
∴AB∥CD
∴①正确；
过点F作FP∥AB，HQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴FP∥AB∥HQ∥CD，
设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y
∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，
∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣y）＝3x+3y﹣180°，
∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°，
∴∠EHG≠2∠EFM
∴②错误；
∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°，
∴③错误；
∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°，
∴④正确．
综上所述，正确答案为①④．
故选：D．
6．（2022春•左权县期中）为了落实“双减”政策，促进学生健康成长，各学校积极推行“5+2”模式，立足学生的认知成长规律，满足学生多样化的需求，打造特色突出、切实可行的体育锻炼内容．晋中市的某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动，如图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小丽把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的度数是 　30°　．

【分析】延长DC交AE于点F，根据两直线平行，同位角相等可得∠EFC＝80°，再根据三角形外角的性质可得∠E的度数．
【解答】解：延长DC交AE于点F，

∵AB∥CD，
∴∠EFC＝∠A＝80°，
由外角的性质得，∠DCE＝∠E+∠EFC，
∴∠E＝110°﹣80°＝30°．
故答案为：30°．
7．（2022春•九江期末）为了提醒司机不要疲劳驾驶，高速公路上安装了如图1所示的激光灯，图2是激光位于初始位置时的平面示意图，其中P，Q是直线MN上的两个发射点，∠APQ＝∠BQP＝60°，现激光PA绕点P以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光QB绕点Q以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（0≤t≤40），当PA∥QB时，t的值为 　12　．

【分析】根据当PA∥QB时，∠APQ+∠BQP＝180°建立等式即可求解．
【解答】解：设旋转时间为t秒后，PA∥QB，
由题意得：60°+3°×t+60°+2°×t＝180°，
5°×t＝60°，
解得：t＝12．
故答案为：12．
8．（2017春•南岸区期末）如图，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝50°，∠3＝60°，则∠4＝　140°　．

【分析】过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，求出AB∥EM∥FN∥CD，根据平行线的性质得出∠1＝∠AEM，∠MEF＝∠EFN，∠4+∠NFC＝180°，再求出答案即可．
【解答】解：过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD，
∴∠1＝∠AEM，∠MEF＝∠EFN，∠4+∠NFC＝180°，
∵∠1＝30°，∠AEF＝50°，∠EFC＝60°，
∴∠AEM＝30°，
∴∠EFN＝∠MEF＝50°﹣30°＝20°，
∴∠NFC＝60°﹣20°＝40°，
∴∠4＝180°﹣40°＝140°，
故答案为：140°．
9．（2022•南京模拟）如图，AB∥CD，AF平分∠CAB，CF平分∠ACD．
（1）∠B+∠E+∠D＝　360°　；
（2）∠AFC＝　90°　．

【分析】（1）由两直线平行同旁内角互补可得：∠CAB+∠ACD＝180°，再由五边形内角和540°，进行计算即可解答；
（2）由角平分线的性质，解得，根据两直线平行同旁内角互补解得∠CAB+∠ACD＝180°，最后由三角形内角和180°解答．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，
∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠B+∠E+∠D＝540°﹣（∠CAB+∠ACD）＝360°，
故答案为：360°；
（2）∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵AF平分∠CAB，CF平分∠ACD，
∴，
∴，
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝90°，
故答案为：90°．
10．（2022春•临沭县期中）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的是 　①②③④　．

【分析】①由题意得∠G＝∠MPN＝∠MPG＝90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE∥MP；
②由题意得∠EFG＝30°，利用邻补角即可求出∠EFN的度数；
③过点F作FH⊥AB，可得FH∥CD，从而得到∠HFN＝∠MNP＝45°，可求得∠EFN＝105°，再利用平行线的性质即可求出∠BEF；
④利用角的计算可求出∠AEG＝45°，从而可判断．
【解答】解：①∵∠G＝∠MPN＝∠MPG＝90°，
∴GE∥MP，
故①正确；
②∵∠EFG＝30°，
∴∠EFN＝180°﹣30°＝150°，
故②正确；
③过点F作FH∥AB，如图，

∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠HFN＝∠MNP＝45°，
∴∠EFN＝150°﹣45°＝105°，
∵FH∥AB，
∴∠BEF＝180°﹣105°＝75°；
故③正确；
④∵∠GEF＝60°，∠BEF＝75°，
∴∠AEG＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∴∠AEG＝∠PMN＝45°，
故④正确．
故答案为：①②③④．
11．（2022春•大安市期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、BC上，且DE∥AC，∠1＝∠2．求证：AF∥BC．

【分析】根据平行线的性质得出∠1＝∠C，求出∠C＝∠2，根据平行线的判定得出即可．
【解答】证明：∵DE∥AC，
∴∠1＝∠C，
∵∠1＝∠2，
∴∠C＝∠2，
∴AF∥BC．
12．（2022春•随州期末）已知AB∥CD，点M在射线AB，CD之间．
（1）如图1，若∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，小聪同学过点M作MH∥AB，利用平行线的性质，求得∠MCD＝　120　度；
（2）如图2，请写出你发现的∠BAM，∠AMC，∠MCD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，MN平分∠AMC交AB于点N，CE平分∠MCD交AB于点E，MF∥CE交AB于点F，试猜想∠FMN与∠BAM的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）根据平行线的性质可得∠A+∠AMH＝180°，∠C+∠CMH＝180°，从而可得∠A+∠C+∠AMC＝360°，然后进行计算即可解答；
（2）过点M作MH∥AB，然后利用平行线中的铅笔模型，即可解答．
（3）根据角平分线的定义可得∠NMC＝∠AMC，∠MCE＝∠MCD，再利用平行线的性质可得∠FMC180°﹣∠MCD，然后利用（2）的结论可得∠AMC+∠MCD＝360°﹣∠A，最后根据角的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵MH∥AB，
∴∠A+∠AMH＝180°，
∵AB∥CD，
∴MH∥CD，
∴∠C+∠CMH＝180°，
∴∠A+∠AMH+∠C+∠CMH＝360°，
∴∠A+∠C+∠AMC＝360°，
∵∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，
∴∠MCD＝360°﹣∠BAM﹣∠AMC＝120°，
故答案为：120；
（2）∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°，
证明：过点M作MH∥AB，

MH∥AB，
∴∠A+∠AMH＝180°，
∵AB∥CD，
∴MH∥CD，
∴∠C+∠CMH＝180°，
∴∠A+∠AMH+∠C+∠CMH＝360°，
∴∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°；
（3）∠FMN＝∠BAM，
理由：∵MN平分∠AMC，CE平分∠MCD，
∴∠NMC＝∠AMC，∠MCE＝∠MCD，
∵MF∥CE，
∴∠FMC＝180°﹣∠MCE＝180°﹣∠MCD，
由（2）得：
∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°，
∴∠AMC+∠MCD＝360°﹣∠A，
∵∠FMN＝∠FMC﹣∠NMC，
∴∠FMN＝180°﹣∠MCD﹣∠AMC
＝180°﹣（∠MCD+∠AMC）
＝180°﹣（360°﹣∠A）
＝180°﹣180°+∠A，
＝∠A，
∴∠FMN＝∠BAM．

13．（2022春•甘井子区期末）已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，M，并且∠AGE+∠CHF＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，若射线GH恰好是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，则∠M、∠N、∠FGN的数量关系是 　∠M＝∠N+∠FGN　（直接写答案）．

【分析】（1）根据已知条件和对顶角相等即可证明；
（2）过点M作MR∥AB，可得AB∥CD∥MR．进而可以求解；
（3）令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，可得∠FGN＝2β，进而可得结论．
【解答】（1）证明：∵∠AGE＝∠BGF，∠CHF＝∠EHD，
又∠AGE+∠CHF＝180°，
∴∠BGF+∠EHD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：过点M作MK∥CD，

则∠KMH＝∠CHM，
又AB∥CD；
∴AB∥MK；
∴∠AGM＝∠GMK，
∵∠GMH＝∠AGM+∠KMH
∴∠GMH＝∠AGM+∠CHM．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GF是∠BGM的平分线，
∴∠FGM＝∠BGM＝ （180°−∠AGM）＝90°−α，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵∠GMH＝∠N+∠FGN，
∴2α+β＝2α+∠FGN，
∴∠FGN＝2β，
∴∠M＝2α+β＝∠N+∠FGN，
即：∠M＝∠N+∠FGN．
14．（2022春•宾阳县期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠EHF＝70°，∠D＝50°，求∠AEM的度数．

【分析】（1）根据同位角相等两直线平行，可证CE∥GF，进而利用平行线的性质和判定证明；
（2）根据对顶角相等可求∠DHG，根据三角形外角的性质可求∠CGF，根据平行线的性质可得∠C，∠AEC，再根据邻补角的定义可求∠AEM的度数．
【解答】（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，
∴CE∥GF，
∴∠CEF+∠EFG＝180°，
∵∠C＝∠EFG，
∴∠CEF+∠C＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∵∠DHG＝∠EHF＝70°，∠D＝50°，
∴∠CGF＝70°+50°＝120°，
∵CE∥GF，
∴∠C+∠CGF＝180°，
∴∠C＝180°﹣120°＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠C＝60°，
∴∠AEM＝180°﹣∠AEC＝180°﹣60°＝120°．
15．（2022春•江岸区期中）如图1，直线GH分别交直线AB、CD于点E、F（点F在点E左侧），动点M、N不在AB、CD、GH上，若∠1＝∠2，EM平分∠AEF，∠HFN＝2∠DFN，连MN．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2所示，点M、N停在图2位置，且∠M＝∠N+70°，求∠AEM度数；
（3）如图3，点M在GH左侧，点N在CD下方运动，请直接写出∠M、∠N、∠AEF三个角之间存在的数量关系 　∠M﹣∠N＝∠AEF+60°或∠M+∠N＝∠AEF+60°　．（M、F、N三点不共线）

【分析】（1）根据同位角相等两直线平行，即可证明．
（2）设MN与GH交于点K，在△FNK和□EMK中，根据三角形内角和为180°，可得∠M+∠MEK＝∠N+∠NFK，令∠AEM＝a，由已知条件及平行线的性质，可得∠M+a＝∠N+60°﹣+2a，进而可得a的值．
（3）根据点M在直线CD上方与下方进行分类讨论，再利用角的和差关系以及三角形的外角即可得出三个角之间的数量关系．
【解答】解：（1）证明：∵AB与GH相交，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴AB∥CD．
（2）设MN与GH交于点K，

在△FNK和△EMK中，
∵∠M+∠MEK+∠MKE＝180°，∠N+∠NFK+∠NKF＝180°，∠MKE＝∠NKF，
∴∠M+∠MEK＝∠N+∠NFK，
∵EM平分∠AEF，
∴∠AEM＝∠MEF，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠DFG，
令∠AEM＝a，则∠DFG＝2a，
∴∠HFD＝180°﹣2a，即∠HFN+∠DFN＝180°﹣2a，
∵∠HFN＝2∠DFN，
∴∠DFN＝60°﹣，
∴∠M+a＝∠N+60°﹣+2a，
∵∠M＝∠N+70°，
∴可得a＝30°，
∴∠AEM＝30°．
（3）①如图2，∠AEF＝2a，∠M＝a+60°+∠N，
∴∠M﹣∠N＝∠AEF+60°．
②如图3．

∵∠AEF＝∠EFD＝2a，∠MEF＝∠AEM＝a，∠DFN＝60°﹣，
根据三角形外角的定义，可得∠EFD+∠DFN＝∠M+∠N+∠MEF，
即2a+60°﹣＝∠M+∠N+a，
∴∠M+∠N＝a+60°，
∴∠M+∠N＝∠AEF+60°．
故答案为：∠M﹣∠N＝∠AEF+60°或∠M+∠N＝∠AEF+60°．
16．（2022春•宁阳县期末）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝　55°　；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．

【分析】（1）过点E作平行线，利用平行的性质求解；
（2）过点E作平行线，利用平行的性质求解；
（3）利用（1）（2）中的结论进行等量代换求解．
【解答】解：
（1）55°
如图所示，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，
∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°，
故答案为55°．
（2）如图所示，过点E作EG∥AB，

∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG，
∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，
∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，
即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．
（3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：
由（1）可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，
由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴2∠AFC+∠AEC＝360°．
②由①知∠F+∠FAE+∠E+∠FCE＝360°，
∵∠BAF＝


∠FAE，∠DCF＝∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F，
∴∠F＝（∠FAE+∠FCE），
∴∠FAE+∠FCE＝n∠F，
∴∠F+∠E+n∠F＝360°，
∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m，
∴∠F＝．
17．（2021秋•香坊区期末）已知：直线AB、CR被直线UV所截，直线UV交直线AB于点B，交直线CR于点D，∠ABU+∠CDV＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，BE∥DF，∠MEB＝∠ABE+5°，∠FDR＝35°，求∠MEB的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点N在直线AB上，分别连接EN、ED，MG∥EN，连接ME，∠GME＝∠GEM，∠EBD＝2∠NEG，EB平分∠DEN，MH⊥UV于点H，若∠EDC＝∠CDB，求∠GMH的度数．

【分析】（1）利用平行线的判定定理即可证得结论；
（2）利用平行线的性质及角的和差关系即可得出答案；
（3）设∠MEN＝α，可得出：∠NEG＝2α，∠BEN＝2α+40°，∠EBD＝2∠NEG＝4α，∠ABD＝35°+4α，由EB平分∠DEN，可得：∠BED＝∠BEN＝α+40°，∠DEM＝α+80°，再根据AB∥CD，∠EDC＝∠CDB，可得：∠BDE＝（145°﹣4α），再根据三角形内角和定理建立方程可求得：α＝10°，进而可得出答案．
【解答】（1）证明：如图1，∵∠ABU+∠CDV＝180°，∠ABU+∠ABV＝180°，
∴∠ABV＝∠CDV，
∴AB∥CD；

（2）解：如图2，由（1）知：AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDR，
∵BE∥DF，
∴∠EBD＝∠DBF，
∴∠ABD﹣∠EBD＝∠BDR﹣∠DBF，
∴∠ABE＝∠FDR＝35°，
∴∠MEB＝∠ABE+5°＝40°；

（3）如图3，设∠MEN＝α，
∵MG∥EN，
∴∠GME＝∠MEN＝α，
∵∠GME＝∠GEM＝α，
∴∠NEG＝2α，∠BEN＝2α+40°，
∴∠EBD＝2∠NEG＝4α，
∴∠ABD＝∠ABE+∠EBD＝35°+4α，
∵EB平分∠DEN，
∴∠BED＝∠BEN＝α+40°，
∴∠DEM＝α+80°，
∵AB∥CD，
∴∠CDB＝180°﹣∠ABD＝180°﹣（35°+4α）＝145°﹣4α，
∵∠EDC＝∠CDB，
∴∠BDE＝∠CDB＝（145°﹣4α），
∵∠EBD+∠BED+∠BDE＝180°，
∴4α+（α+40°）+（145°﹣4α）＝180°，
解得：α＝10°，
∴∠BDE＝（145°﹣4α）＝（145°﹣4×10°）＝90°，
∠DEM＝α+80°＝10°+80°＝90°，
∵MH⊥UV，
∴∠MHD＝90°，
∴∠EMH＝360°﹣∠MHD﹣∠BDE﹣∠DEM＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，
∴∠GMH＝∠EMH﹣∠GME＝90°﹣10°＝80°．

18．（2021春•白云区期末）在四边形ABCD中，AB∥CD，CF平分∠DCE．
（1）如图1，点E在四边形ABCD内部，BF平分∠ABE，若∠BEC＝150°，求∠BFC的度数；
（2）如图2，点E在四边形ABCD外部，BF平分∠ABE，∠BEC和∠BFC有怎样的等量关系？请证明你的结论；
（3）如图3，点E在四边形ABCD内部，点M在AB的延长线上，∠MBE的平分线交CF反向延长线于点N，∠BEC和∠BNC有怎样的等量关系？请直接写出你的结论．


【分析】本题需要平行线的性质及对顶角相等，还要有多边形的内角和定理．
（1）属于平行线里的锯齿模型：∠BFC＝∠ABF+∠DCF．
（2）属于平行线里的外凸模型：∠ABE+∠DCE+∠BEC＝360°．
（3）利用平行线的性质和三角形的外角定理求解．
【解答】解：（1）由平行线的性质可知：∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝150°①
①÷2及角平分线的定义得：∠ABF+∠DCF＝75°
∴∠BFC＝∠ABF+∠DCF＝75°．
（2）由平行线的性质可知：∠ABE+∠DCE+∠BEC＝360°①
①÷2及角平分线的性质得：∠ABF+∠DCF+∠BEC＝180°．
∵∠ABF+∠DCF＝∠BFC．
∴∠BFC+∠BEC＝180°．
（3）延长DC交BN于G，则∠BEC＝180°﹣2∠MBN+2∠FCD①
而∠MBN＝∠BGC＝∠BNC+∠FCD②
由①②及角平分线的定义可得：
2∠BNC+∠BEC＝180°．
19．（2022春•凤泉区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．
（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：
①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 　45°　；
②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；
（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．

【分析】（1）①②根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；
（2）过点O作OT∥AB，则OT∥CD，设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，根据平行线的性质求得α+β＝80°，进而根据3∠OEA﹣∠OFC＝3β﹣（β﹣2a）＝2β+2α﹣160°即可求解．
【解答】解：（1）①如图，分别过点G，P作GN∥AB，PM∥AB，

∴∠BEG＝∠EGN，
∵AB∥CD，
∴∠NGF＝∠GFD，
∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，
∵EG⊥FG，
∴∠EGF＝90°，
∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG；
∴∠BEP＝BEG，∠PFD＝GFD，
∴∠EPF＝（∠BEG+∠GFD）＝EGF＝45°，
故答案为：45°；
②如图，过点Q作QR∥CD，

∵∠BEG＝40°，
∵EG恰好平分∠BEQ，FD恰好平分∠GFQ，
∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，
设∠GFD＝∠QFD＝α，
∵QR∥CD，AB∥CD，
∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，
∵CD∥QR，
∴∠DFQ+∠FQR＝180°，
∴α+∠FQR＝180°，
∴α+∠FQE＝80°，
∴∠FQE＝80°﹣α，
由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，
∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；
（2）3∠OEA﹣∠OFC＝160°．
∵在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA，设H为线段GE的延长线上一点，
∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，
设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，
如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，

∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，
∴∠EOF＝β﹣2α，
∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，
由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，
∵∠EOF+∠EGF＝100°，
∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，
∴α+β＝80°，
∵∠ÓFC＝β﹣2a，∠OEA＝β，
∴3∠OEA﹣∠OFC＝3β﹣（β﹣2α）＝2β+2α＝160°，
即3∠OEA﹣∠OFC＝160°．
20．（2022•南京模拟）已知AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，点G为落在直线AB和直线CD之间的一个动点．
（1）如图1，点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点，则∠EGF＝　90°　；
（2）若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点，有如下结论：①∠EGF一定为钝角；②∠EGF可能为60°；③若∠EGF为直角，则EF⊥CD．其中正确结论的序号为 　②③　．

（3）进一步探索，若EF⊥CD，且点G不在线段EF上，记∠AEG＝α，∠CFG＝β，EM为∠AEG最接近EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线（其中n≥2）．直线EM、FN交于点Pn，是否存在某一正整数n，使得∠EPnF＝90°？说明理由．

【分析】（1）根据平行线的性质定理，两直线平行同旁内角互补，以及三角形内角和定理来完成．
（2）根据平行线的性质定理，两直线平行同旁内角互补，以及三角形内角和定理，另外角的等分来判断．
（3）按题意添加辅助线，画出相应的EM、FN、点Pn，再根据平行线的性质定理，两直线平行同旁内角互补，以及三角形内角和定理、角的n等分，通过分类别讨论推测出n是否存在，存在的值．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点，
∴∠FEG+∠EFG＝×180°＝90°，
∴∠EGF＝180°﹣90°＝90°．
故答案为：90°．

（2）若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点，
∴∠FEG+∠EFG＝×180°或者∠FEG+∠EFG＝×180°，
∠FEG+∠EFG＝60°或∠FEG+∠EFG＝120°，
∴∠EGF＝180°﹣60°＝120°或∠EGF＝180°﹣120°＝60°，
∴①错误，②正确，
当∠EGF为直角，只有∠BEF+∠DFE＝90°或∠BEF+∠DFE＝90°，
不妨假设∠BEF+∠DFE＝90°，
∴∠BEF+∠DFE＝90°，
∴（∠BEF﹣∠DFE）+（∠DFE﹣∠BEF）＝0，
∴∠BEF＝∠DFE，
∵∠BEF+∠DFE＝180°，
∴∠BEF＝∠DFE＝90°，
∴EF⊥CD，故③正确．
故答案为：②③．

（3）不存在某一整数n，使得∠EPnF＝90°，理由如下：
∵EM为∠AEG最接近EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线（其中n≥2），
∴∠AEM＝α，∠CFM＝β．
①当点G在EF的左侧，此时α＜90°，β＜90°，Pn必在EF的左侧，如图2所示，过点Pn作PnQ∥AB，

∵AB∥CD，
∴PnQ∥CD，
∴∠EPnF＝∠EPnQ+∠FPnQ＝∠AEM+∠CFN＝α+β＜×90°+×90°＜90°，
②当点G在右侧，此时α＞90°，β＞90°．
若α＜90°，则Pn在EF的左侧，如图3中，

同理可得∠EPnF＝α+β＞90°．
若α＝90°，则Pn与F重合，不存在∠EPnF，舍弃．
若α＞90°，则Pn在EF的右侧，如图4中，

过点Pn作PnQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PnQ∥CD，
∴∠EPnF＝∠EPnQ﹣∠FPnQ＝∠BEM+∠CFN＝（180°﹣α）﹣β，
∵α＞90°，β＞0，
∴（180°﹣α）﹣β＜90°，
即∠EPnF＜90°，
综上所述，不存在某一整数n，使得∠EPnF＝90°．
21．（2022春•坪山区校级期中）【问题情境】：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC的度数．
（1）按小明的思路，求∠APC的度数；
（2）【问题迁移】如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【问题应用】在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．

【分析】（1）利用平行线的性质，分别同得∠APE，∠CPE的度数，相加即可；
（2）利用平行线的性质，和（1）辅导线的作法，推理即可；
（3）利用平行线的性质，分情况直接写出数量关系即可．
【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠BAP+∠APE＝180°，∠DCP+∠CPE＝180°，
∴∠BAP+∠APE+∠DCP+∠CPE＝360°，
即∠BAP+∠APC+∠DCP＝360°，
∵∠BAP＝130°，∠DCP＝120°，
∴∠APC＝360°﹣130°﹣120°＝110°；
故答案为：110°．
（2）如图，过P点作PE∥CD∥AB，
∴∠CPE＝∠PCD，∠EPA＝∠PAB，
∴∠APC＝∠CPE+∠EPA＝∠PCD+∠PAB，
∵∠PAB＝α，∠PCD＝β
∴∠APC＝α+β

故答案为：∠APC＝α+β．
（3）如图所示，①过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴∠PCD＝∠EPC，∠EPA＝∠PAB，
∴∠PCD＝∠EPC＝∠APC+∠EPA＝∠APC+∠PAB，
∵∠PAB＝α，∠PCD＝β，
∴∠APC＝β﹣α．
②如图所示，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴∠PAB＝∠EPA，∠EPC＝∠PCD，
∴∠APC＝∠EPA﹣∠EPC＝∠PAB﹣∠PCD，
又∵∠PAB＝α，∠PCD＝β，
∴∠APC＝α﹣β

故答案为：①∠APC＝β﹣α，②∠APC＝α﹣β．