专题09 倍长中线模型综合应用（知识解读）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

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专题09 倍长中线模型综合应用（知识解读）【专题说明】    中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。 【方法技巧】 类型一：直接倍长中线        △ABC中AD是BC边中线                                                                方式1： 延长AD到E，使DE=AD，连接BE        类型二：间接倍长中线        作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E连接BE  。                     延长MD到N， 使DN=MD，连接CN  【典例分析】【典例1】如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a，b均大于0，中线AD＝c，求c的取值范围．  【典例2】已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF． 【典例3】如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF．       【变式1】如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，点D为BC的中点，且AD⊥AC，则△ABC的周长为 　   　．【变式2】如图，在△ABC中，点E是AB边的中点，D是BC延长线上一点，连接DE交AC于点F，且AF＝BD，若BD＝3，AC＝5，则CD的长为 　  　．【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AB边上一点，DF⊥DE交AC于点F，连接EF，若BE＝2，CF＝，则EF的长为 　  　．【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝9，点E为AB的中点，点F在BC上，且BF＝2FC，AF与DE，DB分别交于点G，H，求GH的长．         【变式5】如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为BC，AB上的点，且点F为AB的中点，连接DF，DE．（1）如图①，若DF平分∠ADE，求证：AD+BE＝DE；（2）如图②，若四边形ABCD是边长为4的正方形，当ED平分∠FDC时，求EC的长．                【变式6】阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．如图①，圆内接四边形的对角线AC⊥BD，垂足为G，过点G作AD的垂线，垂足为E，延长EG交BC于点F，则点F为BC的中点．下而是部分证明过程：∵AC⊥BD，EF⊥AD，∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝90°，∴∠EDG＝∠FGC．∵∠ADB＝∠ACB，…任务一：请将上述过程补充完整；任务二：如图②，在△ABC中，把边AC绕点C顺时针旋转90°得到DC，把边BC绕点C逆时针旋转90°得到EC．连接DE，取AB的中点M，连接MC并延长交DE于点N．（1）求证：MN⊥DE；（2）若AC＝4，AB＝6，∠CAB＝30°，求DE的长．