人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用随堂练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用随堂练习题，共47页。
5.3.2.2　函数的最大(小)值
【考点梳理】
考点一　函数最值的定义
1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．
考点二　求函数的最大值与最小值的步骤
函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
技巧训练总结：含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．















【题型归纳】
题型一：函数的最值与极值的关系
1．（2021·全国·高二）已知函数的导函数图像，如图所示，那么函数（    ）

A．在上单调递增 B．在处取得极小值
C．在处切线斜率取得最大值 D．在处取得最大值
2．（2021秋·河北石家庄·高二河北新乐市第一中）已知函数在（1，2）上有最值，则a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·福建泉州·高二校联考期中）已知函数，以下结论中错误的是（    ）
A．是偶函数 B．有无数个零点
C．的最小值为 D．的最大值为


题型二：不含参函数的最值问题
4．（2022秋·四川乐山·高二统考期末）已知函数，则函数在的最小值为（    ）
A．1 B． C． D．
5．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）已知函数在处取得极值.
(1)求实数的值；
(2)求函数在上的最大值和最小值.
6．（2022·全国·高二假期作业）已知函数．
(1)求函数的单调区间与极值；
(2)求函数在区间上的最值．
题型三：含参函数的最值问题
7．（2022春·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知函数，其中.
(1)求函数的单调区间；
(2)设，若对任意的，恒成立，求的最大值.


8．（2022秋·陕西西安·高二统考期末）已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若函数在上无零点，求实数a的取值范围.


9．（2022秋·四川凉山·高二统考期末）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，求a的取值范围．



题型四：由函数的最值求参数问题
10．（2022秋·四川雅安·高二统考期末）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．


12．（2022秋·湖北武汉·高二校联考阶段练习）若函数在上的最大值与最小值之和不小于，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

题型五：函数的单调性、极值和最值的综合问题
13．（2022春·陕西西安·高二西安中学校考期中）已知函数，．
(1)若在区间上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若，存在两个极值点，，证明：．

14．（2022秋·上海宝山·高二上海市行知中学校考期末）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.


15．（2022秋·湖北武汉·高二武汉市第一中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．







【双基达标】
一、单选题
16．（2022春·陕西延安·高二校考阶段练习）若函数在区间上单调递减，则实数的最大值是（    ）
A．1 B． C．0 D．
17．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）函数的导函数的图象如图所示，则（    ）

A．为函数的零点 B．为函数的极大值点
C．函数在上单调递减 D．是函数的最小值
18．（2022秋·广东潮州·高二饶平县第二中学校考开学考试）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
19．（2022春·浙江·高二校联考阶段练习）若函数有最小值，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
20．（2022秋·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）设函数，，若函数只有1个零点，则函数在上的最大值为（    ）
A．0 B． C． D．



21．（2022春·新疆巴音郭楞·高二新疆和静高级中学校）已知函数在处取得极值-14.
(1)求a，b的值；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)求函数在上的最值.



22．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）已知函数.
(1)当时，求函数在上的最大值和最小值；
(2)若函数在区间内存在极小值，求实数的取值范围.


【高分突破】

一、单选题
23．（2022·高二课时练习）已知函数，若对任意的，，都有恒成立，则实数k的最大值是（    ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
24．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期末）若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是（    ）
A．1 B．2 C． D．3
25．（2022秋·贵州贵阳·高二校联考期末）若函数在上的最小值为，则a的值为（    ）
A．0 B．1 C． D．


26．（2022秋·江西上饶·高二校联考期末）已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值为（    ）.
A． B． C． D．
27．（2022秋·北京海淀·高二统考期末）已知函数，，给出下列三个结论：
①一定存在零点；
②对任意给定的实数，一定有最大值；
③在区间上不可能有两个极值点．
其中正确结论的个数是（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
28．（2022秋·重庆江北·高二重庆十八中校考期末）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
二、多选题
29．（2022春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）已知函数，则下列判断正确的是（    ）
A．存在，使得
B．函数有且只有一个零点
C．存在正数k，使得恒成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
30．（2022秋·辽宁辽阳·高二辽阳市第一高级中学校联考期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ）
A．当时，在点的切线方程是
B．当时，在R上是减函数
C．若只有一个极值点，则或
D．若有两个极值点，则
31．（2022秋·河北石家庄·高二统考期末）已知，在处取得最大值，则（    ）．
A． B． C． D．
32．（2022秋·福建漳州·高二校联考期末）已知，，则（    ）
A．函数在上有两个极值点
B．函数在上的最小值为
C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为
D．若（），则的最小值为
33．（2022秋·山东烟台·高二统考期末）关于函数，下列说法正确的有（    ）
A．f(x)为奇函数
B．f(x)为偶函数
C．f(x)的最小值为
D．对，，都有
34．（2022秋·广东清远·高二统考期末）已知函数和，若，则（    ）
A． B．
C． D．

三、填空题
35．（2022·全国·高二）已知函数，设函数，则的最大值是______．
36．（2022·全国·高二假期作业）已知函数．若在内不单调，则实数a的取值范围是______．
37．（2022秋·山东泰安·高二统考期末）已知函数，，则的最大值为___________.
38．（2022·全国·高二专题练习）已知函数在区间上有且只有一个极值点，则实数的取值范围为___________.
39．（2022·全国·高二专题练习）已知函数的最小值为2，则实数a的值是___________.
40．（2022秋·四川绵阳·高二统考期末）已知函数，，对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________
41．（2022秋·山东淄博·高二统考期末）已知函数，若对于定义域内任意不相等的实数，都有，则实数k的取值范围是______．

四、解答题
42．（2022·全国·高二假期作业）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恒成立，求a的取值范围．

43．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一二二中学校校考期末）已知函数.
(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若恒成立，求实数的取值集合.

44．（2022春·陕西延安·高二校考阶段练习）已知函数且
(1)求的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)设函数，若函数在上单调递增，求实数的范围．




45．（2022秋·河南驻马店·高二新蔡县第一高级）已知函数.
(1)设在上单调递减，求a的取值范围；
(2)当时，证明：恒成立.


46．（2022春·北京·高二清华附中校考阶段练习）已知函数．
(1)求函数在上的最大值；
(2)若对于任意的，总有，分别求出a，b的取值范围．





47．（2022春·浙江·高二校联考阶段练习）设函数，其中是自然对数的底数.
(1)若单调递增，求的取值范围；
(2)设曲线在处的切线与曲线交于另一点，若恒成立，求的取值范围.

参考答案：
1．C
【分析】本题首先可根据导函数图像分析出函数的单调性与极值，即可判断出A、B、D错误，然后根据导函数值的几何意义即可得出C正确.
【详解】结合图像易知，
当时，函数是减函数，
当时，函数取极小值，
当时，函数是增函数，
当时，函数取极大值，不一定是最大值，
当时，函数是减函数，
结合上述易知，A、B、D错误，
因为函数在某点处的导函数值即函数在这点处的切线斜率，
所以由图像易知，在处切线斜率取得最大值，C正确，
故选：C.
2．A
【分析】首先求出导函数，只需在（1，2）上不单调即可.
【详解】由题意可得，
在（1，2）上单调递增，若在（1，2）上有最值，
则在（1，2）上不单调，
所以
解得．
故选：A
3．C
【分析】由奇偶性定义可判断出A正确；令可确定B正确；根据定义域为，，可知若最小值为，则是的一个极小值点，根据可知C错误；由时，取得最大值，取得最小值可确定D正确.
【详解】对于A，定义域为，，
为偶函数，A正确；
对于B，令，即，，解得：，
有无数个零点，B正确；
对于C，，若的最小值为，则是的一个极小值点，则；
，，
不是的极小值点，C错误；
对于D，，；
则当，，即时，取得最大值，D正确.
故选：C.
4．A
【分析】利用导函数求得函数在上的单调区间，进而求得函数在的最小值
【详解】，，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
则在时取得最小值
故选：A
5．(1)
(2)，.

【分析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数的值；
（2）求导，求出时的极值，比较极值和，之间的大小关系，最后求出函数的最大值和最小值.
【详解】（1），
∵函数在处取得极值，
∴，
即（经检验符合题意），
∴.
（2）由（1）知，
则，
令，解得或；
令，解得；
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
则极大值，而，.
故函数在上的最大值和最小值分别为，
，.
6．(1)单调递增区间是，单调递减区间是，极大值是，极小值是
(2)最大值为，最小值为．

【分析】（1）对求导，根据导数的正负确定函数的单调区间，进一步确定极值即可；
（2）根据极值和端点值即可确定最值.
【详解】（1）．
令，得或；令，得，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是．
所以的极大值是，的极小值是．
（2）因为，
由（1）知，在区间上，有极小值，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．
7．(1)当时，在上单调递增，无单调递减区间；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)

【分析】（1）先确定函数的定义域，然后求导，通过讨论a的正负判断导函数在定义域内有无零点，无零点时原函数在定义域内单调，有零点时再通过导函数确定各区间的单调性；
（2）原不等式恒成立等价于原函数的最大值小于等于0成立，由第一问的单调区间求得原函数的最大值，记为关于a的函数，再通过对新函数求导判断单调性，得到满足新函数小于等于0的自变量a的最大整数值即可.
【详解】（1），定义域为

当时，，在上递增.
当时，，在上递增.
当时，令，得；令，得.
即在上递增，在上递减.
综上：当时，在上单调递增，无单调递减区间；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）在上恒成立，
等价于.
由（1）得，
当时，在上单调递增，无最大值，
故此时原不等式无法恒成立；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
则此时
即须成立.
记函数，且
则
即在单调递增.
因为，
所以满足的a的最大整数值为.
综上：的最大值为.
8．(1);(2).
【分析】(1)根据导数的几何意义求解即可；
(2)求导，对分类讨论，根据函数的最值与0的关系即可求解.
【详解】解：（1）由题得，
则，
，，
曲线在处的切线方程为，即.
（2），
①当时，，在上单调递减，
在上无零点且，
则，
；
②当时，
令得，
若即时，，在上单调递增，
由可知，符合条件；
若，即时，，在上单调递减，
在上无零点且，则，；
若，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，，，
，
综上，a的取值范围为.
9．(1)时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增；
(2).

【分析】（1）对函数f(x)求导，然后分为和两种情况去讨论即得；
（2）分为和两种情况讨论，在时，求解函数的极小值，进而即得.
（1）
由题意知：．
当时，，，函数单调递增；
当时，，，函数单调递减，，，函数单调递增．
综上，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）
当时，，即不合题意；
当时，由（1）可知，
则，即．
综上，a的取值范围为．
10．A
【分析】问题转化为在上恒成立，当时，上式显然成立，当时，令，，对函数求导后，分和两种情况求函数最小值，使基本最小值大于等于零即可
【详解】由在上恒成立，得
在上恒成立，
当时，上式显然成立，
当时，令，，
则，
当时，，所以在上递增，
而当时，，不合题意，
当时，由，得，
令，，作出两函数的图象，如图所示

由图象可知，存在，使，所以，得，
当时，，当时， ，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，
所以
，
由，得，得，
综上，，
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的综合应用，解题的关键是将问题转化为在上恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题
11．A
【分析】令，故，原不等式变为，进而令，利用最值分析法，通过对的导数进行讨论，即得.
【详解】由题意得，，令，故，
故.
令，则.
若，则，则在上单调递增，
又，则当时，，不合题意，舍去；
若，则当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增.
因为，
所以若，则当，，舍去；
若，则当，，舍去；
若，则，符合题意，故.
故选：A
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
12．B
【分析】法一：由题设得，结合二次函数的性质研究符号，进而确定的单调性，求得不同情况下的最值并结合，即可求参数范围；
法二：由题设可得、，应用作差法，与比较大小，即可确定最值结合，即可求参数范围；
【详解】法一：由题意，，对于，
当，即时，，在上单调递增，
所以，即，因此；
当，即时，由、且，则在上有两个不相等的实根，，
不妨设，则上，上，上，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由此，，.
由，则，同理可得，
所以，，则，解得，与矛盾.
综上，.
法二：由题意得：，.
当时，，即，
所以；
，又，，即，
所以.
综上，，即，得.
故选：B.
13．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）由题意可得在上恒成立，转化为在上恒成立，构造函数，利用导数可求出其最小值，
（2）由（1）知：，满足，，不妨设，则，则，所以只需证成立，构造函数，利用求出其出其最大值小于零即可.
【详解】（1）∵，又在区间上单调递减，
∴在上恒成立，即在上恒成立，
∴在上恒成立；
设，则，
当时，，∴单调递增，
∴，
∴，即实数a的取值范围是．
（2）由（1）知：，满足．
∴，不妨设，则．
∴，
则要证，即证，
即证，也即证成立．
设函数，则，
∴在单调递减，又．
∴当时，，
∴，即.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数证明不等式，解（2）问解题的关键是根据题意将问题转化为证成立，构造函数，利用导数求出其最值即可，考查数学转化思想，属于较难题.
14．(1)极小值为；, 无极大值
(2).

【分析】(1) 极值点就是导数等于零的解, 且在解的左右两边区间的导数符号异号时才是极值点, 进 而求出极值.
(2) 函数有两个零点，转化为两个函数有两个交点问题. 求出函数的极值, 并且得到函数的单调性, 再分类讨论即可求出 2个交点时的的范围.
【详解】（1）已知，则 , 令 , 得,
当 时, 为减函数;
当 时, 为增函数;
所以的极小值为, 无极大值;
（2）,
函数 有两个零点, 等价于曲线 与直线 有两个交点.
,
令 得 . 当 时,在 单调递减,
当 时, 在 单调递增,
时, 取得极小值 ,
又 时, 单调递增，且时，；
时单调递减，且时，，；
要使函数有两个零点，
即曲线 与直线 有两个交点.，
则只需.的取值范围为：.
【点睛】本题考查函数的极值定义, 以及函数的零点问题转化成函数的交点问题. 属于中等题.
15．(1)
(2)

【分析】（1）由导数的几何意义即可求曲线在处的切线方程；
（2）将转化为，从而构造，根据导数即可求得的最小值，从而得解.
【详解】（1），所以切线斜率为，
又，切点为，所以切线方程为：．
（2），

若，则恒成立，
，，



，
，
设，则，
令，，
则，
在上单调递减；
，，

，
，
， ，
当时，，
，
即实数的最大值为
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
16．B
【分析】由函数在区间上单调递减，等价于在区间上恒成立，分离参数后得到，令，通过即可求出的最大值.
【详解】因为函数在区间上单调递减，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立.
令，则，
所以在上单调递减，上单调递增，
故，则，即.
经检验，当时，满足题意，所以实数的最大值是.
故选：B.
17．C
【分析】根据导函数图象，导函数与原函数的关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由的图象可得，当时，，当时，，
当时，，当时，
所以在和上单调递增，在和上单调递减，
所以为的极小值点，所以B选项错误，C选项正确；
是的零点，但不一定是的零点，所以A错误；
是函数的极小值，但不一定是最小值，所以D错误.
故选：C
18．C
【分析】由基本不等式求得x＜0时，f（x）的值域，由题意可得x＞0时，f（x）的值域应该包含在x＜0时的值域内，转化为在x＞0时恒成立．利用导数求出的最大值即可.
【详解】当x＜0时，，
当且仅当x＝−1时，f（x）取得最大值f（−1）＝a−2，
由题意可得x＞0时，的值域包含于（−∞，a−2]，
即在x＞0时恒成立
即在x＞0时恒成立
即
设

当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，


故选：C．
19．A
【分析】求导得，分类讨论判断得单调性，进而根据最值分析求解.
【详解】由题意可得：
∵，则
当，则当时恒成立，即
∴在上单调递减，则在上无最值，即不成立
当，则当时恒成立，即
∴在上单调递增，则在上无最值，即不成立
当，令，则
∴在上单调递增，在单调递减，则在上有最小值，即成立
故选：A.
20．C
【分析】利用分离参数法，转化为函数问题，再用导数研究函数最值.
【详解】由题知，，因为，
所以，令，
则，令，解得，
故当，，当，，
所以，故，
则，故函数在上是增函数，
所以，故A，B，D错误.
故选：C.
21．(1)
(2)
(3)函数在上的最小值为，最大值为.

【分析】(1)求导，利用在处的导数值为0，并且，解之检验即可求解；
(2)结合（1）的结果，求出函数在处的导数值，利用导数的几何意义，代入即可求解；
(3) 结合（1）的结果，列出在时，随的变化，的变化情况，进而即可求解.
【详解】（1）因为函数，所以，
又函数在处取得极值.
则有，即，解得：，
经检验，时，符合题意，故.
（2）由（1）知：函数，则，
所以，又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
也即.
（3）由（1）知：函数，则，
令，解得：，
在时，随的变化，的变化情况如下表所示：


















单调递减

单调递增

单调递减


由表可知：当时，函数有极小值；
当时，函数有极大值；
因为，，
故函数在上的最小值为，最大值为.
22．(1)最大值为，最小值为
(2)

【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定最值；（2）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定极值点，注意讨论与的大小关系.
【详解】（1）当时，则函数，，
令，解得或，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，函数在上单调递增，
∴在时取得极小值为，且，
故在上的最大值为，最小值为.
（2）∵，则
①当时，，函数单调递增，无极值，不合题意，舍去；
②当时，令，得或，
∴在，上单调递增，在上单调递减，
故函数在时取得极大值，在时取得极小值，
∴；
③当时，令，得或，
∴在和上单调递增，在上单调递减，
故函数在时取得极大值，在时取得极小值，
∴，解得.
综上所述：实数的取值范围是.
23．B
【分析】根据函数解析式化简恒成立为恒成立，构造函数，利用导数求其最小值，即可求得答案.
【详解】∵，∴,
∵恒成立，且，
∴恒成立，
令，，则,
因为是时的递增函数，
故在上单调递增，且，
∴当时，，单调递减，当时，，单调递增，
∴，
∴，故实数k的最大值是0，
故选：B．
24．A
【分析】由得，令，利用的单调性可得，转化为对任意时恒成立，令，利用导数求出的最值可得答案.
【详解】由得，
令，因为都是单调递增函数，
所以为单调递增函数，
所以，
即对任意时恒成立，
令，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
所以，即.
故选：A.
25．B
【分析】先求出定义域，由导函数得到所以在单调递增，从而求出最小值，进而求出a的值
【详解】定义域为，
在恒成立，
所以在单调递增，
所以，所以
故选：B
26．B
【分析】同构函数，利用函数的单调性和x的取值范围即可求解.
【详解】由题意，不等式可变形为，
得对任意恒成立，
设，
则对任意恒成立， ，
当时， ，所以函数在上单调递减，
当时， ，所以函数在上单调递增，
∵，，因为求实数的最小值，
所以考虑的情况，此时，函数在上单调递增，
要使，只需，两边取对数，得上 ，
由于， ，所以，
令 ，则 ，当时， ，
时， ，是增函数， 时， ，是减函数，
在 取得最大值， ， ，
即a的最小值为 ；
故选：B.
27．C
【分析】依据零点存在定理并分类讨论求得的零点判断①；利用导数并分类讨论判定是否有最大值判断②；举反例否定③
【详解】①当时，，由，可得在存在零点
当时，，由，
，可得在存在零点
当时，在单调递减，值域
又在单调递增，值域，
则与的图象在必相交，
则在存在零点
综上，一定存在零点.判断正确；
②当时，，，在单调递增，存在最大值；
当时，，则，
在上单调递减，值域，
当，时，在上值域
则在上恒成立，则在单调递增，存在最大值；
当时，在上单调递减，
则在上单调递减，，
则，使得
则时，，时，
则在单调递增，在单调递减，存在最大值；
当时，在上单调递增，
当时，，恒成立，
则在单调递增，
当时，单调递增，值域为
又当时，单调递减，值域为
则当时，
若，则在单调递增，
则在单调递增，存在最大值；
若，使得时；时；
则在单调递增，在单调递减，又在单调递增，
则在有最大值；
综上，对任意给定的实数，在有最大值.判断正确；
③令，则，，
在上单调递减，值域，
在上单调递增，值域，
又，，
则，使得
则当，或时，，单调递增
当时，，单调递减
则在区间上有两个极值点．判断错误.
故选：C
28．C
【分析】求导，求得其最小值点，再根据在区间上有最小值，由最小值点在区间内求解可得.
【详解】因为函数，所以，
当或时，，当时，，
所以当时，取得最小值，
因为在区间上有最小值，且
所以，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
29．BD
【分析】先对函数求导，结合导数与单调性关系分析函数的单调性及最值可检验选项A；
求得的导数可得单调性, 计算的函数值，可判断选项B；由参数分离和构造函数求得导数判断单调性，可判断选项C；构造函数，结合导数分析的性质，结合已知可分析的范围即可判断选项D.
【详解】，易得，
当 时，，函数单调递减，
当 时，，函数单调递增，
故函数在处取得极小值也是最小值，
不存在，使得, 故选项A错误；
的导数为恒成立, 所以 递减，且，，
可得 有且只有一个零点，介于, 故选项B正确；
等价为 ，
设，则，
故在上为减函数，故，
故，
故当，，
所以不恒成立，故选项C错误；
设，则，
令，
则 ，
故在上单调递减，，
不妨设，因为，所以，
则，故选项D正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查导数的运用，求单调性和极值、最值，以及函数的零点和不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于难题.
30．ABD
【分析】根据导数的几何意义，可判断A的正误；求导可得解析式，设，利用导数可得的单调性和最值，结合a的范围，可得的正负，即可判断B的正误；当时，可得恒成立，即可得恒成立，则单调递减，分析可判断C的正误；根据有两个极值点，可得有2个实根，根据的单调性和最值，分析即可得答案.
【详解】对于A：当时，，则，即切点（0,0）
又，
所以切线的斜率，
所以切线方程为，即，故A正确；
对于B：由题意得，
设，则，
令，解得，
当时，，则为增函数，
当时，，则为减函数，
所以，
因为，所以，，
所以，又恒成立，
所以在R上恒成立，则在R上是减函数，故B正确；
对于C：当时，由B选项可得，
所以恒成立，即恒成立，
所以在R上是单调减函数，无极值点，
反之若只有一个极值点，不成立，故C错误；
对于D：若有两个极值点，则有2个实根，
因为恒成立，所以有2个实根，
由B选项可得，
所以，解得.
又，
根据零点存在性定理可得，在和分别存在1个零点，
结合的单调性可得满足题意，故D正确；
故选：ABD
【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求函数单调性、极（最）值的方法，并灵活应用，难点在于，如无法判断的正负，需构造函数，再次求导，根据的单调性及最值，可得的正负，再进行分析求解，考查分析计算的能力，属中档题.
31．BC
【分析】利用导数研究函数的单调性与最值.
【详解】因为
由题可知，所以，
所以，，即B正确.
令，因为，所以是增函数，
且，又，所以 ，
即，即C正确.
故选：BC.
32．BCD
【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性判断A，求出函数的导数，根据函数的单调性判断B，若对任意，不等式恒成立，则对恒成立，参变分离再根据对勾函数的性质判断C，依题意可得，构造函数利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，即可判断D；
【详解】解：对于A：，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值点，故A错误；
对于B：，令，解得，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故B正确；
对于C：因为，所以，当时，
则对任意，不等式恒成立，即对恒成立，
即对恒成立，又在上单调递增，所以，
所以，故C正确；
对于D：若，
则，
，，，且，则，
所以，
设，设，则，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，此时，
故的最小值为，故D正确；
故选：BCD
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
33．BC
【分析】对AB，根据奇偶函数的定义判断即可；对C，求导分析函数的单调性判断即可；对D，举反例判断即可
【详解】对AB，因为，故为偶函数，故A错误，B正确；
对C，因为为偶函数， 为增函数，且，故在上，单调递减；在上，单调递增.故的最小值为，故C正确；
对D，当时，，，因为，故，此时，故D错误；
故选：BC
34．ABD
【分析】A选项，根据反函数求解出与交点坐标，从而得到；B选项，由零点存在性定理得到，；C选项，化简整理得到，求出在上的单调性，求出取值范围；D选项，构造函数，根据得到，根据在上单调递增，所以，即，整理得，D正确．
【详解】由于和互为反函数，则和的图象关于直线对称，
将与联立求得交点为，则，即，A正确．
易知为单调递增函数，因为，，由零点存在性定理可知，B正确．
易知为单调递减函数，，，由零点存在性定理可知．
因为，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，C错误．
因为，，所以，所以．令，则，当时，，在上单调递增，所以，即，整理得，D正确．
故选：ABD
【点睛】结论点睛：对于双变量问题，要结合两个变量的关系，将双变量问题转化为单变量问题再进行求解，也可通过研究函数的单调性及两个变量的不等关系进行求解
35．0
【分析】求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值；
【详解】解：因为定义域为，
所以．
当时，；当时，．
所以在上为增函数，在上为减函数，
从而．
故答案为：．
36．
【分析】求出函数的导数，然后参数分离，先求出函数在内单调时的范围，从而可得不单调时的范围.
【详解】由，得，
当在内为减函数时，则在内恒成立，
所以在内恒成立，
当在内为增函数时，则在内恒成立，
所以在内恒成立，
令，因为在内单调递增，在内单调递减，
所以在内的值域为，所以或，
所以函数在内单调时，a的取值范围是，
故在上不单调时，实数a的取值范围是．
故答案为：．
37．1
【分析】利用导数和基本不等式求出函数的单调性，即得解.
【详解】函数，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
又因为，所以，
所以在时单调递增，
其最大值为.
故答案为：1
38．
【分析】根据题意转化为在只有一个实数根，进而转化为方程在区间上没有实数根，得出与的图象在上没有交点，利用导数求得的单调性与最值，即可求解.
【详解】由题意，函数，
可得，
因为函数在区间上有且只有一个极值点，
所以在区间上有且只有一个实数根，
即方程在区间上有且只有一个实数根，
因为时方程的根，
所以方程在区间上没有实数根，
即方程在区间上没有实数根，
等价于与的图象在上没有交点，
又由，所以在上单调递增，
所以，且当时，，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：.
39．1或.##e或1
【分析】用导数法求得函数最小值，解方程得解.
【详解】因为，，
当时，，所以是上的减函数，
函数无最小值，不符合题意；
当时，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
函数的最小值为，
由，得，解得或.
故答案为：1或.
40．
【分析】对于任意，都有成立可等价为对于任意，都有成立，求出，然后将不等式参变分离转化为，进而等价为成立，令，，求其最小值，从而得到的取值范围.
【详解】依题意得，对于任意，都有成立可等价为
对于任意，都有成立，
，，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又，，
对于任意，都有成立，
即对于任意，都有成立，等价为成立，
令，，
，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
，
，，
的取值范围是.
故答案为：.
41．
【分析】根据题意可得函数在上递减，则在恒成立，分离参数，构造新的函数，利用导数求出新函数的最值即可得出答案.
【详解】解：函数的定义域为，
因为对于定义域内任意不相等的实数，都有，
所以函数在上递减，
，
所以在恒成立，
即在恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，
所以，
所以实数k的取值范围是.
故答案为：.
42．(1)
(2)

【分析】（1）利用导数求得的单调区间，进而求得的最大值；
（2）通过分类讨论和构造新函数，列出关于a的不等式，解之即可求得a的取值范围．
【详解】（1）时，，
则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则当时，取得最大值
（2），，则，
当时，，在单调递增，
且，则当时，，不符合要求.
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则当时，取得最大值
则由恒成立，可得成立，
令
则
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
则当时，取得最小值
则恒成立，（当且仅当时等号成立）
则的解集为
则a的取值范围为．
43．(1)；
(2)答案见解析；
(3).

【分析】（1）代入，求出，根据导数的几何意义得到切线的斜率，即可得到切线方程；
（2），对以及进行讨论，根据导函数的符号即可得到的单调区间；
（3）根据（2）的结论，可知，根据题意，应有，即.令，根据导函数即可求得实数的取值集合.
【详解】（1）当时，，则.
根据导数的几何意义，可得函数的图象在点处的切线斜率，
又.
所以，切线方程为，整理可得.
（2）定义域为R，.
当时，在R上恒成立，所以在R上单调递增；
当时，解，即，解得，
解，得，则在上单调递增，
解，得，则在上单调递减.
综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）由（2）知，当时，在R上单调递增，又，所以当时，，不满足要求，所以.
则由（2）知，在时，取得最小值.
要使恒成立，则只需满足即可，即.
令，即.
.令，则.
当时，，当时，，
所以，在处取得极大值，也是最大值，所以.
又，所以，所以有.
即当时，，有成立.
所以，实数的取值集合为.
44．(1)
(2)单调增区间为，，单调减区间为
(3)

【分析】求出原函数的导函数，直接利用列式求解值；
把代入函数解析式，再由导数求解函数的单调区间；
求出的解析式，求其导函数，利用导函数大于等于0在上恒成立，可得在上恒成立，令，再由导数求其最大值得答案．
【详解】（1）由，得，
，得；
（2），，
当时，，当时，，
的单调增区间为，，单调减区间为；
（3），
，
函数在上单调递增，
在上恒成立，
即在上恒成立，
也就是在上恒成立，即.
令，则，
当时，，
当时，，
的单调减区间为，.
单调增区间为，
则当时，.
设，由上有，得.
则
.，得在上的最大值为.
故实数的范围是．
【点睛】关键点点睛：本题涉及求函数单调区间及已知单调区间求参数范围，前两问较为基础，要完成（3）问需注意以下两点：
（1）函数在某区间单调递增等价于其导函数在某区间大于等于0恒成立.
（2）求时，为防止出错可采用降次思想.
45．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）对求导，利用单调性得到恒成立，求出的最大值，求出a的取值范围；（2）构造函数，求导，得到其单调性，证明出不等式.
（1）
由题可知，
，
当时，恒成立，所以恒成立
令

当时，取最大值
∴，
即a的取值范围为
（2）
证明：要证，即证
令
，
∵
∴
函数在上单调递减，

命题得证.
【点睛】导函数证明不等式，一般要对不等式进行变形，构造函数，利用导函数得到函数单调性，极值和最值情况，证明出不等式.
46．(1)
(2)；.

【分析】（1）对求导得，再令，对求导，可知，所以在上单调递减，即可得出答案.
（2）若对于任意的，总有，等价于对于任意的，总有，分别令，转化为求，分别讨论和即可得出答案.
（1）
，令，
因为，所以，
则在上单调递减，所以，
，所以在上单调递减，
函数在上的最大值为；
（2）
对于任意的，总有，
等价于对于任意的，总有，
所以对于任意的恒成立，
令，，
①当时，，所以在上单调递减，
所以，所以成立；
②当时，令，解得：，
（i）当，所以在上单调递减，
所以，所以成立；
（ii）当，所以在上单调递增，
又因为，所以，所以不成立；
（iii）当，令，解得：，
令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，所以只需，解得：，
所以；
综上：a的取值范围为．
同理：所以对于任意的恒成立，
令，，
①当时，，所以在上单调递减，
因为，所以不成立；
②当时，令，解得：，
（i）当，所以在上单调递减，
因为，所以不成立；
（ii）当，所以在上单调递增，
又因为，所以，所以成立；
（iii）当，令，解得：，
令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，所以不成立，
综上：的取值范围为.
47．(1)
(2)

【分析】(1)由条件结合函数的单调性与导数的关系可得恒成立，由此可得，由此可求的取值范围；
(2)利用导数研究函数的性质确定的范围，再分别探究，，时不等式是否恒成立即可.
（1）
由题意可知，恒成立，设，则
令，解得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，即当时，单调递增，当时，单调递减，
所以当时，取最小值，最小值为，
所以，解得，
即的取值范围为；
（2）
由(1)可得，，
所以切线方程为，
设，则，
整理得，所以，
由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，即，
又，所以存在，使得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，，当且仅当时等号成立，
所以，
所以当时，，
当时，，满足题意；
当时，因为，所以，
整理得，
设，则恒成立，
易知，
设，
，，
，，
则，所以单调递增，即在上单调递增，所以，
所以，
①当时，，所以单调递增，所以，
所以单调递增，所以，所以单调递增，所以，
即满足题意；
②当时，，
取，则，，所以，
所以存在，使得，且当时，，即，所以单调递减，所以，所以单调递减，所以，即，所以单调递减，所以，即不满足题意；
综上，的取值范围为.