8.5.2直线与圆锥曲线的位置关系（针对练习）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

这是一份8.5.2直线与圆锥曲线的位置关系（针对练习）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用），文件包含852直线与圆锥曲线的位置关系针对练习-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练新高考专用解析版docx、852直线与圆锥曲线的位置关系针对练习-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练新高考专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
第八章 平面解析几何
8.5.2直线与圆锥曲线的位置关系（针对练习）
针对练习
针对练习一 直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是（    ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【详解】解析　联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，
因为Δ＝22＋12＝16＞0，所以直线与椭圆相交.
2．直线与椭圆有两个公共点，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】联立直线和椭圆方程得得或，又因为，综合即得解.
【详解】联立直线和椭圆方程得，
所以
所以，
所以或，
因为
所以且.
故选：C
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【分析】设出直线的方程，与双曲线的方程联立，结合方程解的情况进行求解.
【详解】当斜率不存在时，过的直线与双曲线没有公共点；
当斜率存在时，设直线为，联立，得①.
当，即时，①式只有一个解；
当时，则，解得；
综上可知过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条.
故选：D.
4．若直线与双曲线相交，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】联立直线和双曲线的方程得到，即得的取值范围.
【详解】联立直线和双曲线的方程得
当，即时，直线和双曲线的渐近线重合，
所以直线与双曲线没有公共点.
当，即时，，
解之得.
故选：C.
【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
5．直线与抛物线的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】A
【分析】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论．
【详解】直线过定点，
∵，
∴在抛物线内部，
∴直线与抛物线相交，
故选：A．

针对练习二 圆锥曲线中的弦长、焦点弦问题
6．直线与椭圆相交于两点,则等于(   )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将直线方程与椭圆方程联立，解出两点的坐标，然后利用两点间的距离公式求得的值.
【详解】由，解得，由两点间的距离公式得.故选C.
【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交交点坐标的求法，考查直线和椭圆相交所得的弦的弦长求法，属于基础题.
7．直线交椭圆于两点，若，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】法一：由题可知，椭圆和直线都过点，设，由弦长公式得出=，求出的坐标，代入椭圆方程即可求出的值.
法二：联立直线和椭圆方程，求得，利用弦长公式得出，代入得=，即可求出的值.
【详解】解法一：由椭圆，则顶点为，
而直线也过，
所以为直线与椭圆的一个交点，设，
则=，
解得：，
所以或（不合，舍去），
把代入椭圆方程得：，故.
故选：B.
解法二：由得，
所以，
又，
所以=，
因为，所以，故.
故选：B.
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，以及根据弦长公式求参数值，考查运算能力.
8．直线x＋y＝1与双曲线4x2－y2＝1相交所得弦长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将直线方程代入双曲线的方程，消去并整理得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式计算即可.
【详解】将直线代入得.
设两交点，则，
.
故选:B．
【点睛】直线与二次曲线的相交弦长公式为:
；
与二次曲线相交所得的弦长公式为:
.
9．已知双曲线的左右焦点分别是、，过的直线与双曲线相交于、两点，则满足的直线有
A．条 B．条 C．条 D．条
【答案】C
【分析】根据双曲线，过的直线垂直于轴时，，双曲线两个顶点的距离为，即可得出结论.
【详解】双曲线，过的直线垂直于轴时，
；
双曲线两个顶点的距离为，
满足的直线有条，
一条是通径所在的直线，另两条与右支相交.
故选：C
【点睛】本题考查了直线与双曲线相交的弦长问题，考查了通径的求法，属于基础题.
10．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（    ）
A．1 B．3 C．6 D．8
【答案】D
【分析】由题意可得直线与的方程为，代入抛物线方程得，根据韦达定理与焦半径的公式即可求出的值.
【详解】解：由题意可知，所以直线与的方程为，
联立直线方程和抛物线方程，可得，
设
则，
所以.
故选：D.

针对练习三 圆锥曲线的中点弦问题
11．已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设出弦的两个端点的坐标，代入椭圆方程，作差整理可得弦所在直线的斜率，写出直线方程的点斜式，化为一般式得答案．
【详解】设弦的两个端点分别为，，
则，
①﹣②得：，
即，
所以．
故以点为中点的弦所在的直线方程为y，
整理得：.
故选：C.
12．已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】中点弦问题利用点差法处理.
【详解】法一：设，则，
所以，又AB的中点为，
所以，所以，由题意知，
所以，即，则C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即，
代入并整理得，
因为为线段AB的中点，所以，整理得，
所以C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
13．已知双曲线方程为，过点作直线与该双曲线交于，两点，若点恰好为中点，则直线的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先设，，由题意得到，，两式作差整理，结合题意，求出直线斜率，即可得出直线方程.
【详解】设，，由题意可得：，两式作差可得：，
即，
又点恰好为中点，所以直线的斜率为：，
因此，直线的方程为：，即.
故选A
【点睛】本题主要考查双曲线中点弦所在直线方程问题，熟记双曲线的几何性质与直线的斜率公式即可，属于常考题型.
14．已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(    )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用点差法即可．
【详解】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．
∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．
设双曲线C的方程为，则．
设，，则，，．
由，得，
即，∴，易得，，，
∴双曲线C的离心率．
故选：B．
15．已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（    ）
A． B．3 C． D．－3
【答案】C
【分析】利用点差法计算可得；
【详解】解：设，，则，所以，整理得．
因为弦的中点为，所以，即直线的斜率为．
故选：C

针对练习四 圆锥曲线中的向量问题
16．已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，且满足，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面垂直向量的数量积表示可得，利用平面向量的线性运算将变形为，设()，利用两点坐标求出，结合二次函数的性质即可求出最小值.
【详解】由题意得，由,得，
则,
设()，由，得，
则，
又，由二次函数的性质可知，
，
所以的最小值为.
故选：C.
17．已知椭圆上，过F1的直线l与椭圆E交于A、B两点（点A位于x轴上方），若，则直线l的斜率k的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出直线方程，与椭圆联立，根据向量关系可得，代入韦达定理即可求出.
【详解】由椭圆方程可得，设直线方程为，设，
联立方程组，可得，
则，，
由得，则，
代入上式得，，解得，则，
则直线的斜率为，又点A位于x轴上方，所以斜率为.
故选：C.
18．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于、两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出椭圆的两个焦点坐标以及点的坐标，由求出点的坐标，利用椭圆的定义求得的值，进而可求得椭圆的离心率.
【详解】由题意可知，点在直线上，即，可得，
直线交轴于点，
设点，，，
由可得，解得，
椭圆的右焦点为，则，
又，，
因此，该椭圆的离心率为.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
19．经过双曲线的右焦点作倾斜角为45°的直线，交双曲线于，两点，设为坐标原点，则等于（    ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】先依题意写出直线的方程， 联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合向量的数量积运算计算即得结果.
【详解】由双曲线的方程可知，右焦点坐标为，
的直线方程可设为，
设，，则，
联立可得，
，，
，
．
故选：B．
20．已知双曲线：的右焦点为，是虚轴的一个端点，线段与的右支交于点，若，则的渐近线的斜率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，根据，表示出点M的坐标，再由点M在双曲线上，代入双曲线方程求解.
【详解】设，
因为双曲线的右焦点为，是虚轴的一个端点，
则，所以，
因为，
所以，解得，
因为点M在双曲线上，
所以，
解得，
所以渐近线的斜率为，
故选：D

针对练习五 圆锥曲线中的定点、定值、定直线
21．已知，是椭圆E：上的两点．
(1)求椭圆E的方程．
(2)若直线l与椭圆E交于C，D两点（C，D均不与点A重合），且以线段CD为直径的圆过点A，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
(2)定点，理由见解析.

【分析】（1）将代入椭圆方程即可求出；
（2）分斜率是否存在设出直线方程，利用即可求出.
（1）
将，代入椭圆方程可得，解得，
所以椭圆方程为；
（2）
若直线的斜率不存在，设直线方程为，由题可得为等腰直角三角形，则可将代入椭圆，解得（舍去）或，即直线方程为；
若直线的斜率存在，设方程为，设，
联立方程，可得，
则，可得，
①，②，
由题可得，则，即，
代入①②，整理可得，解得或，
若，直线为，经过点,不符合，
若，直线为，经过定点，
综上所述，直线l过定点.
22．在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设，垂直于轴的直线与曲线相交于两点，直线和曲线交于另一点，求证：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）依题意由距离公式得到方程，整理即可得到动点的轨迹方程；
（2）设，，，直线方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，再表示直线的方程，令求出为定值，即可得解.
（1）
解：由题设得，即，
整理得；
（2）
解：设，，，显然直线斜率不为，
设直线方程为，
联立，消去并整理得，
由题设且，化简得且，
由韦达定理可得，，
直线的方程是，
令得
，
所以直线过定点.
23．已知椭圆，过点且与轴平行的直线与椭圆恰有一个公共点，过点且与轴平行的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过点的动直线与椭圆交于两点，为轴上的一点，设直线和的斜率分别为和，若为定值，求点的坐标.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据题意得到椭圆的下顶点为和椭圆过点求解；
（2）设点坐标为，当直线斜率存在时，设其方程为，与联立，由，结合韦达定理求解；当直线斜率不存在时验证即可.
（1）
解：由题意，椭圆的下顶点为，故.
由对称性，椭圆过点，代入椭圆方程有，
解得：.
故椭圆的标准方程为：.
（2）
设点坐标为.
当直线斜率存在时，设其方程为，与联立得：
.
设，则.
，
，
，

为定值，即与无关，则，此时.
经检验，当直线斜率不存在时也满足，故点坐标为.
24．已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，
(1)求圆心的轨迹方程
(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据圆C与圆A、圆B外切，得到