7.1.2空间几何体（针对练习）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第七章 空间向量与立体几何
7.1.2 空间几何体（针对练习）
针对练习
针对练习一 柱体的表面积
1．已知正四棱柱的侧棱长为，它的体对角线长为，则这个正四棱柱的侧面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设底面边长为，根据其体对角线长为，求得a，再利用侧面积公式求解.
【详解】解：设底面边长为，
由题意得，
解得，
所以侧面积为．
故选：B
2．已知三棱柱中，底面，，，，，则该三棱柱的表面积是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：该几何体的表面积由两个直角三角形的底面与三个矩形的侧面组成，求出直角三角形的面积与矩形的面积即可得结果.
详解：

如图，三棱柱中，底面，，
该几何体的表面积为：
，故选D.
点睛：本题考查值棱柱的性质、三棱柱的表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.
3．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体为底面为半径为的圆、高为1的圆柱，其侧面展开图为长为，宽为1，所以所得几何体的侧面积为.故选C.
4．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则这个圆柱的表面积是（                 ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由侧面展开图可确定底面半径和母线长，根据圆柱表面积公式可求得结果.
【详解】由题意得：圆柱的底面半径为，母线长为
圆柱的表面积
故选：
【点睛】本题考查圆柱表面积的求解问题，关键是能够利用侧面展开图确定圆柱底面半径和母线长.
5．若一圆柱的侧面积等于其表面积的，则该圆柱的母线长与底面半径之比为（       ）
A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1
【答案】B
【分析】设这个圆柱的母线长为，底面半径为，根据已知条件列等式，化简可得答案.
【详解】设这个圆柱的母线长为，底面半径为，
则，
化简得，即，
故选：B
【点睛】本题考查了圆柱的侧面积公式，考查了圆柱的表面积公式，属于基础题.

针对练习二 柱体的体积
6．所有棱长都为2的直三棱柱的体积为（       ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合正三角形的面积公式和棱柱的体积公式，即可求解.
【详解】由题意，直三棱柱的所有棱长都为，可得高为
则底面正三角形的面积为，
所以该直三棱柱的体积为.
故选：B.
7．如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，那么该四棱柱的体积为　　

A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】该四棱柱的体积为V=S正方形ABCD×AA1，由此能求出结果．
【详解】在四棱柱中，底面ABCD是正方形，

底面ABCD，，，
该四棱柱的体积为．
故选B．
【点睛】题考查该四棱柱的体积的求法，考查四棱柱的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

8．已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是，则该圆柱的体积是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用圆柱底面圆半径r表示出其高h，由侧面积列式求出r，进而求得体积.
【详解】设该圆柱的底面圆半径为，则其高(母线)为，而圆柱的轴截面是正方形，则，
圆柱侧面积为，从而，，故该圆柱的体积是．
故选：A
9．已知一个圆柱的轴截面为正方形，且它的侧面积为，则该圆柱的体积为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设圆柱底面半径为R，高为h，由题意列方程组求出R、h，即可求出圆柱的体积.
【详解】设圆柱底面半径为R，高为h，
设，解得，
∴圆柱的体积为．
故选：D
10．小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷，它的整体外貌如图，纸卷的直径为12cm，轴的直径为4cm，当小明用掉的纸后，则剩下的这卷纸的直径最接近于（       ）

A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】B
【分析】设出剩下的这卷纸的直径，根据体积关系即可求出.
【详解】设小明用掉的纸后，剩下的这卷纸的直径为cm，卷纸高为cm，
则由题可知，
解得，所以剩下的这卷纸的直径最接近于7cm.
故选：B.

针对练习三 锥体的表面积
11．已知四面体的各棱长均为，则该四面体的表面积为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据等边三角形的面积公式进行求解即可.
【详解】因为四面体的各棱长均为，
所以四面体的四个面都是等边三角形，
所以该四面体的表面积为，
故选：D
12．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（       ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】D
【分析】首先由勾股定理求出斜高，即可求出侧面积；
【详解】解：正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则其斜高，所以正四棱锥的侧面积
故选：D
13．已知三棱锥中，两两垂直，且，则该三棱锥的表面积为（        ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】先确定三棱锥四个面的形状，其中三个面为等腰直角三角形，一个面为等边三角形，分别求出它们的面积然后相加即可.
【详解】该三棱锥的四个面中，三个面为等腰直角三角形，直角边长为1，
故每个直角三角形的面积为，有一个面为等边三角形，边长为，
故这个等边三角形的面积为，
故表面积为.
故选：B.
【点睛】本题考查三棱锥的表面积计算，确定每个面的形状是关键，是基础题.
14．已知圆锥的底面直径为2，圆锥的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据弧长公式求母线长，进而由圆锥表面积求法求圆锥表面积.
【详解】设圆锥的母线长为x，其侧面展开图的弧长为，
所以，解得，
所以圆锥的表面积为.
故选：B
15．若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且直角边长为，则该圆锥的侧面积为（        ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出圆锥的母线，底面半径，利用圆锥侧面积公式求解出答案
【详解】因为圆锥的轴截面是直角边长为的等腰直角三角形，
所以圆锥的母线长为，
底面直径长为，半径为，
则此圆锥的侧面积为，
故选：B．

针对练习四 锥体的体积
16．如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则四棱锥的体积为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先确定四棱锥的高，再根据锥体体积公式求结果.
【详解】
取中点,连接,
因为正三棱柱，所以为正三角形，所以,
因为正三棱柱，所以平面平面，
因此平面，
从而四棱锥的体积为,
故选：D
【点睛】本题考查锥体体积、线面垂直，考查基本分析求解能力，属基础题.
17．如图，正方体的棱长为，点是面内任意一点，则四棱锥的体积为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用棱锥的体积公式直接求解即可.
【详解】正方体的棱长为，点是面内任意一点，
则四棱锥的高为
所以.
故选：B
【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，需熟记公式，属于基础题.
18．若一个圆锥的底面半径为1，母线长为，则圆锥的体积是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由已知条件求出圆锥的高，从而可求出圆锥的体积
【详解】因为圆锥的底面半径为1，母线长为，
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为，
故选：C
19．若用半径为2的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的体积为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出圆锥的底面半径和高，即可得出圆锥的体积.
【详解】圆锥的母线长为2，设卷成圆锥的底面半径为，
则，
，
圆锥的高为，
圆锥的体积为.
故选：B.
【点睛】本题考查了圆锥的结构特征及圆锥体积的求解，属于基础题.
20．圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是（       ）

A．1∶1 B．1∶6 C．1∶7 D．1∶8
【答案】C
【分析】设圆锥底半径OB＝R，高PO＝h，由已知可知PO′＝，再由圆锥的体积公式求得圆锥的体积，和整体的体积，进而求得圆台的体积，相比得答案.
【详解】如图，设圆锥底半径OB＝R，高PO＝h，
∵O′为PO中点，∴PO′＝，
∵＝＝，∴O′A＝，
∴圆锥的体积＝π··＝πR2h.
圆台的体积＝
∴＝，
故选：C.
【点睛】本题考查求圆锥的体积，属于基础题.

针对练习五 台体的表面积与体积
21．正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则棱台的侧面积为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用已知条件求出斜高，然后求解棱台的侧面积即可.
【详解】正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，
所以棱台的斜高为: .
所以棱台的侧面积是: .
故选：D.
22．若某正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱长是6，则它的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正棱台的侧面是等腰梯形，根据已知条件计算斜高，然后根据梯形的面积公式计算侧面积，进而求得表面积．
【详解】由题意可得，上底面的面积为9，下底面的面积为81，

侧面的高为，
所以该正四棱台的表面积为.
故选：A
【点睛】本题主要考查了正棱台的表面积，关键在于利用正棱台侧面是等腰梯形，根据已知条件，利用等腰梯形的性质计算斜高，属于基础题．
23．已知圆台的上下底面圆的半径分别为1与2，高为，则圆台的侧面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆台侧面积公式进行求解即可.
【详解】因为圆台的上下底面圆的半径分别为1与2，高为，
所以圆台的母线为：，

所以圆台的侧面积为：，
故选：C
24．若棱台的上、下底面面积分别为，高为，则该棱台的体积为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】所求棱台的体积为
故选B
25．若一圆台的上底面半径为1，且上､下底面半径和高的比为，则圆台的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】算出下底面半径和上下底面面积及圆台的高，根据圆台体积公式算出体积即可.
【详解】由题意：上底面面积为，下底面半径为2，则下底面面积为，圆台高为，
所以圆台的体积.
故选：C.

针对练习六 球体的表面积与体积
26．一个球的体积为，则此球的半径是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用球的体积公式列方程，解方程求得球的半径.
【详解】设球的半径为，则.
故选：C
27．若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球体积扩大为原来的（       ）
A．倍 B．4倍 C．倍 D．倍
【答案】C
【分析】根据圆的面积公式和球的体积公式可得答案.
【详解】若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球的半径扩大为原来的倍，
则球体积扩大为原来的倍.
故选：C
28．若一个球的体积为4π，则它的表面积为（        ）
A．3π B．12 C．12π D．36π
【答案】C
【分析】由求的体积公式求出其半径，再由球的表面积公式可得答案.
【详解】设球的半径为R，依题意有 ，所以，
所以球的表面积为
故选：C
29．把半径分别为的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为(       )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】大铁球的体积等于3个铁球体积之和，结合球的体积公式即可计算．
【详解】由题意可得大铁球的体积等于三个小球体积之和，
设大铁球的半径为，可得，
则，则．
故选：B．
30．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（          ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用勾股定理可构造方程求得球的半径，由球的体积公式可求得结果.
【详解】设球的半径为，则，解得：，
球的体积.
故选：A.

针对练习七 外接球问题（柱体或可还原为柱体的锥体）
31．一正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的外接球的表面积为（       ）
A．6π B．12π C． D．24π
【答案】D
【分析】由于正四棱柱的体对角线就是其外接球的直径，所以先求出体对角线，从而可求得球的半径，进而可求出外接球的表面积
【详解】设正四棱柱的外接球半径为
因为正四棱柱的底面边长为2，高为4，
所以，得，
所以该正四棱柱的外接球的表面积为，
故选：D
32．已知四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为，则四棱锥P-ABCD的体积为（       ）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】D
【分析】若外接球的半径为R，由外接球体积可得，补全四棱锥为长方体，结合长方体外接球直径与体对角线关系及已知各棱的数量关系求棱长，最后由棱锥体积公式求体积.
【详解】设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R，则，即．
由题意，易知，得，
设，得，解得，
所以四棱锥P-ABCD的体积为．
故选：D
33．已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将三棱锥放在长、宽、高分别为，，的长方体中，则三棱锥的外接球即为该长方本的外接球，长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，利用勾股定理求出外接球的直径，最后由球的体积公式计算可得；
【详解】解：如图所示，将三棱锥放在长、宽、高分别为，，的长方体中，

则三棱锥的外接球即为该长方本的外接球，
所以外接球的直径，
∴该球的体积为.
故选：B
34．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào）．已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将问题转化为棱长为的正方体的外接球的求解问题，根据正方体外接球半径为体对角线长一半可得所求外接球半径，根据球的表面积公式可求得结果.
【详解】如图所示，鳖臑的外接球即为棱长为的正方体的外接球，

该鳖臑的外接球半径，
该外接球表面积.
故选：C.
35．圆柱的底面直径和母线长均为2，则此圆柱的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆柱轴截面矩形的对角线是其外接球直径，由此可计算出球的半径，从而得表面积．
【详解】圆柱的底面直径和母线长均为2，即其轴截面是边长为2的正方形，其对角线长为，
所以外接球半径为，外接球表面积是．
故选：D．
【点睛】本题考查球的表面积，考查圆柱的轴截面性质，圆柱的轴截面就是其外接球的内接矩形．

针对练习八 外接球问题（正棱锥、圆锥、台体）
36．已知为棱长4的正四面体，则该正四面体的外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过补形的方法求得正确答案.
【详解】将正四面体补形成正方体如下图所示，
正四面体的棱长为，所以正方体的边长为，
所以正方体的对角线长为，
所以正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为，
所以外接球的表面积为.
故选：C

37．正四棱柱中，，二面角的大小为，则该正四棱柱外接球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据二面角的大小为，求出正四棱柱的高，进而可求出正四棱柱外接球的直径，从而可求出结果.
【详解】取的中点，连结，易知在正四棱柱中，，,，
所以即为二面角的平面角，即，又，所以为等边三角形，所以，所以，
因为正四棱柱的外接球直径等于正四棱柱的体对角线长，设外接球半径为，
则，所以外接球的表面积为.
故选B
【点睛】本题主要考查棱柱外接球的表面积，关键在于熟记正四棱柱的外接球直径等于正四棱柱体对角线的长，属于基础题型.
38．三棱锥为正三棱锥，且，侧棱，则三棱锥的外接球的表面积为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得三棱锥的三条侧棱互相垂直且相等，三棱锥所在正方体有相同的外接球，求出正方体的对角线长由球的表面积公式可得答案.
【详解】因为三棱锥为正三棱锥，且，侧棱，
所以，，
即三棱锥与正方体有相同的外接球，
所以三棱锥的外接球的半径，表面积为.
故选：B.

39．已知高为4的圆锥外接球的体积为，则圆锥的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得外接球半径，又由圆锥的高为4，利用球的截面性质可得圆锥底面圆的半径，从而可得答案.
【详解】解：因为圆锥外接球的体积为，所以，解得，即外接球的半径为3，
因为圆锥的高为4，所以球心到圆锥底面圆圆心的距离为，
所以圆锥底面圆的半径，
所以圆锥的体积，
故选：A.
40．已知某圆台的母线长为2，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为1∶4，则该圆台外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出圆台的轴截面等腰梯形，其外接圆是圆台外接球的大圆，在这个轴截面中进行计算可得．
【详解】如图等腰梯形是圆台的轴截面，是圆台的对称轴，
圆台上、下底面的面积之比为1：4，则半径比为1：2，设圆台上、下底面半径分别为r，2r，
因母线与轴的夹角是，母线长为2，可得圆台的高为1，，设圆台外接球的半径为R，球心到下底面（大圆面）的距离为x，若球心在圆台两底面之间，如图点位置，则且，无解；
若圆台两底面在球心同侧，如图点位置，则且，解得，则，
则该圆台外接球的表面积为．
故选：C．


针对练习九 内切球问题
41．已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是，则该正方体的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方体内切球直径与棱长相等，结合已知条件及球体体积公式求正方体的棱长，进而求正方体的表面积.
【详解】正方体性质知：内切球的直径等于棱长，
∴由题意，，得，
∴正方体表面积.
故选：C.
42．若一个正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则＝
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设正四面体棱长为，则正四面体表面积为，其内切球半径为正四面体高的，即，因此内切球表面积为，则
故选D
43．已知正四棱锥的底面边长为，体积为，则此棱锥的内切球与外接球的半径之比为
A．1:2 B．4:5
C．1:3 D．2:5
【答案】D
【详解】试题分析:如图,设正四棱锥的高为,内切球与外接球的半径分别为,由题设可得,即,因,故.由于,因此,故,应选D.

考点：勾股定理相似三角形的性质等有关知识的综合运用.
【易错点晴】本题考查的是正四棱锥的内切球与外接球的半径的计算的综合运用问题,解答时先准确的画出示意图,搞清该几何体的内切球与外接球的半径所在的几何图形,再运用所学知识进行求解.求解时先借助体积公式构建含四棱锥高的方程,求出,再依据图形建立方程和,求出与,使得问题获解.
44．已知某正四面体的内切球体积是1，则该正四面体的外接球的体积是
A．27 B．16 C．9 D．3
【答案】A
【详解】试题分析：设正四面体的外接球、内切球半径分别为，则．由题意，则外接球的体积是，故选A．
考点：1、内切球；2、外接球；3、球的体积公式.
45．将半径为的半圆围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
∵半圆O半径为4， ∴弧AB的长度为4π，∴⊙D的周长为4π，
设⊙D的半径为r，∴2πr=4π，∴r=2，该圆锥的内切球的半径即为轴截面等边三角形OCB的内切圆的半径，R= ，S==
故选B
点睛：圆锥的侧面展开是扇形，弧长即底面圆的周长，圆锥的内切球的半径即为其对应轴截面的内切圆半径.