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高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.2空间向量的坐标表示优秀课件ppt
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这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.2空间向量的坐标表示优秀课件ppt，共34页。PPT课件主要包含了随堂小测等内容，欢迎下载使用。
1.掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方法.2.理解空间向量坐标的定义，能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算，会根据向量的坐标运算判定两个空间向量平行与垂直.3.掌握基向量的选取及应用.核心素养：数学抽象、数学运算、直观想象
【示例】若{a，b，c}为空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A.b+c，b，b-cB.a，a+b，a-bC.a+b，a-b，cD.a+b，a+b+c，c
【方法总结】用基底表示向量时，（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则以及数乘向量的运算律进行运算. （2）若没给定基底，则要选择基底.选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量.
二 空间向量的坐标表示1.空间直角坐标系如图（1），在空间选定一点O和一个单位正交基底{i， j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz，点O叫作坐标原点，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面.如图（2），在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系
（1） （2）
【提示】1.画空间直角坐标系O-xyz时，一般使∠xOy＝135°（或45°），∠yOz＝90°.2.一般情况下我们建立的坐标系都是右手直角坐标系.
【示例】已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标.
【分析】求E点的坐标时，过E与x轴，y轴垂直的平面已存在，故只需过E点作垂直于z轴的平面，该平面交z轴于E′点，如图.【解】 D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），D1（0，0，2），E（2，2，1），F（0，1，0）.
【点评】本题中坐标系的选取具有一般性，x轴上的点的坐标为（x，0，0），y轴上的点的坐标为（0，y，0），z轴上的点的坐标为（0，0，z）.
2.空间向量的坐标表示如图，在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a1，a2，a3），使a＝a1i+a2j+a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量.有序实数组（a1，a2，a3）叫作向量a在此空间直角坐标系中的坐标.上式可简记为a＝（a1，a2，a3）.
【注意】建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示.
【示例】已知a＝（2，-1，-2），b＝（0，-1，4），求a+b，a-b，a·b，2a·（-b），（a+b）· （a-b）.
【分析】利用空间向量的坐标运算法则计算即可.【解】a+b＝（2，-1，-2）+（0，-1，4）＝（2+0，-1-1，-2+4）＝（2，-2，2）；a-b＝（2，-1，-2）-（0，-1，4）＝（2-0，-1+1，-2-4）＝（2，0，-6）；a·b＝（2，-1，-2）·（0，-1，4）＝2×0+（-1）×（-1）+（-2）×4＝-7；2a·（-b）＝-2（a·b）＝-2×（-7）＝14；（a+b）·（a-b）＝（2，-2，2）·（2，0，-6）＝2×2-2×0+2×（-6）＝-8.
2.空间向量的平行与垂直的坐标表示（条件）设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则
【示例】已知向量a＝（-2，-3，1），b＝（2，0，4），c＝（-4，-6，2），则下列结论正确的是（ ）A.a⊥c，b⊥cB.a∥b，a⊥cC.a∥c，a⊥bD.以上都不对
【分析】根据所给向量，求数量积和数量关系，即可得解.【解析】因为a·b＝（-2，-3，1）·（2，0，4）＝-4+4＝0，所以a⊥b.因为a＝（-2，-3，1），c＝（-4，-6，2），c＝2a，所以a∥c.故选C.
3.空间向量的长度、夹角公式与空间两点间的距离公式设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则
【方法总结】基底的选择和使用方法（1）尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底.（2）用基底表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘.
【方法总结】（1）空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外.（2）进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可以先进行向量式的化简再代入坐标运算.（3）向量的数量积运算一般有两种解题思路：一是先求坐标，再运算；二是先类比多项式进行化简，再代入坐标求解.
2.已知空间向量的坐标及其关系，求参数例 4 已知a＝（2，-1，3），b＝（-1，4，-2），c＝（7，5，λ），若a，b，c三向量共面，则实数λ等于 .
三 空间向量平行与垂直的坐标表示的应用1.利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直关系的问题例 5 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DA＝DC＝4，DD1＝3，点P是线段BD1上一动点，E是BC的中点，当点P在什么位置时，PE∥A1B？
【解题步骤】由向量的平行、垂直关系求参数的步骤（1）适当引入参数（比如向量a，b平行，可设a＝λb），建立关于参数的方程；（2）选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
【分析】 根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，套用数量积、夹角、模长公式即可.
【解题通法】1.空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角的问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角之间的关系.2.求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的空间直角坐标系，确定两点的坐标，确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般来说，要转化到平面中求解，有时也利用图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定.
1.掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方法.2.理解空间向量坐标的定义，能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算，会根据向量的坐标运算判定两个空间向量平行与垂直.3.掌握基向量的选取及应用.核心素养：数学抽象、数学运算、直观想象
【示例】若{a，b，c}为空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A.b+c，b，b-cB.a，a+b，a-bC.a+b，a-b，cD.a+b，a+b+c，c
【方法总结】用基底表示向量时，（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则以及数乘向量的运算律进行运算. （2）若没给定基底，则要选择基底.选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量.
二 空间向量的坐标表示1.空间直角坐标系如图（1），在空间选定一点O和一个单位正交基底{i， j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz，点O叫作坐标原点，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面.如图（2），在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系
（1） （2）
【提示】1.画空间直角坐标系O-xyz时，一般使∠xOy＝135°（或45°），∠yOz＝90°.2.一般情况下我们建立的坐标系都是右手直角坐标系.
【示例】已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标.
【分析】求E点的坐标时，过E与x轴，y轴垂直的平面已存在，故只需过E点作垂直于z轴的平面，该平面交z轴于E′点，如图.【解】 D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），D1（0，0，2），E（2，2，1），F（0，1，0）.
【点评】本题中坐标系的选取具有一般性，x轴上的点的坐标为（x，0，0），y轴上的点的坐标为（0，y，0），z轴上的点的坐标为（0，0，z）.
2.空间向量的坐标表示如图，在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a1，a2，a3），使a＝a1i+a2j+a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量.有序实数组（a1，a2，a3）叫作向量a在此空间直角坐标系中的坐标.上式可简记为a＝（a1，a2，a3）.
【注意】建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示.
【示例】已知a＝（2，-1，-2），b＝（0，-1，4），求a+b，a-b，a·b，2a·（-b），（a+b）· （a-b）.
【分析】利用空间向量的坐标运算法则计算即可.【解】a+b＝（2，-1，-2）+（0，-1，4）＝（2+0，-1-1，-2+4）＝（2，-2，2）；a-b＝（2，-1，-2）-（0，-1，4）＝（2-0，-1+1，-2-4）＝（2，0，-6）；a·b＝（2，-1，-2）·（0，-1，4）＝2×0+（-1）×（-1）+（-2）×4＝-7；2a·（-b）＝-2（a·b）＝-2×（-7）＝14；（a+b）·（a-b）＝（2，-2，2）·（2，0，-6）＝2×2-2×0+2×（-6）＝-8.
2.空间向量的平行与垂直的坐标表示（条件）设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则
【示例】已知向量a＝（-2，-3，1），b＝（2，0，4），c＝（-4，-6，2），则下列结论正确的是（ ）A.a⊥c，b⊥cB.a∥b，a⊥cC.a∥c，a⊥bD.以上都不对
【分析】根据所给向量，求数量积和数量关系，即可得解.【解析】因为a·b＝（-2，-3，1）·（2，0，4）＝-4+4＝0，所以a⊥b.因为a＝（-2，-3，1），c＝（-4，-6，2），c＝2a，所以a∥c.故选C.
3.空间向量的长度、夹角公式与空间两点间的距离公式设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则
【方法总结】基底的选择和使用方法（1）尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底.（2）用基底表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘.
【方法总结】（1）空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外.（2）进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可以先进行向量式的化简再代入坐标运算.（3）向量的数量积运算一般有两种解题思路：一是先求坐标，再运算；二是先类比多项式进行化简，再代入坐标求解.
2.已知空间向量的坐标及其关系，求参数例 4 已知a＝（2，-1，3），b＝（-1，4，-2），c＝（7，5，λ），若a，b，c三向量共面，则实数λ等于 .
三 空间向量平行与垂直的坐标表示的应用1.利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直关系的问题例 5 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DA＝DC＝4，DD1＝3，点P是线段BD1上一动点，E是BC的中点，当点P在什么位置时，PE∥A1B？
【解题步骤】由向量的平行、垂直关系求参数的步骤（1）适当引入参数（比如向量a，b平行，可设a＝λb），建立关于参数的方程；（2）选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
【分析】 根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，套用数量积、夹角、模长公式即可.
【解题通法】1.空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角的问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角之间的关系.2.求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的空间直角坐标系，确定两点的坐标，确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般来说，要转化到平面中求解，有时也利用图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定.
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