中考数学模拟汇编二35梯形

35.梯形

A组

一 选择题

1（番禺区综合训练）下列命题中，正确的是（※）.

（A）对顶角相等                  （B）梯形的对角线相等

（C）同位角相等                  （D）平行四边形对角线相等

答案:A.

2. （广州六校一摸）如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ADO的面积记作S1, △BCO的面积记作S2,△ABO的面积记作S3,△CDO的面积记作S4,则下列关系正确是（   ）

A. S1= S2

B. S1 × S2= S3 × S4

C. S1 + S2 = S4 + S3

D. S2= 2S3

答案:B

二 填空题

1．（南京市建邺区中考一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G、H是两腰上的点，AE=EF=FB，CG=GH=HD，且四边形EFGH的面积为6cm2，则梯形ABCD的面积为  ▲  cm2．

答案：18 

2. （萝岗区综合测试一)如图，直角梯形中，， ，将腰以为旋转中心逆时针旋转90°至，连接的面积为3，则的长为    ﹡    ．

  答案：5

三 解答题

1．(上海市杨浦区中考模拟)已知△ABC中，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，连FE、ED，BF的延长线交ED的延长线于点G，联结GC。

求证：四边形CEFG为梯形。

【答案】证明：(1)∵点D、E分别是线段AC、BC的中点，∴DE//AB，-------------1分

∴∠A=∠FDG，∠ABF=∠FGD---------------------------------------------2分

∵F是线段AD的中点，∴AF=FD

∴△ABF≌△DGF，-------------------------------------------1分

∴BF=FG----------------------------------------------------------1分

∴--------------------------------------------------1分

∵E为BC中点，∴BC=EC，∴，-----------------------------------------1分

∴------------------------------------------------------1分

∴EF//CG----------------------------------------------------------1分

而GF与CE交于点A，∴四边形CEFG为梯形------------------------------------1分

2．（浙江金衢十一校联考）（6分）如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E为对

角线AC的中点，连结DE并延长交BC于点F，连结AF．

（1）求证：AD=CF；

（2）在原有条件不变的情况下，当AC满足条件    ▲  时（不再增添辅助线），四边形AFCD成为菱形，

【答案】（1）略……………………（4分）；   

（2） AC平分∠BCD 或ＡＣ⊥ＤＦ或AC平分∠FAD…………（2分）  

3．（南京市溧水县中考一模）（8分）在平面上有且只有4个点，这4个点中有一个独特的性质：连结每两点可得到6条线段，这6条线段有且只有两种长度．我们把这四个点称作准等距点．例如正方形ABCD的四个顶点(如图1)，有AB=BC=CD=DA，AC=BD．其实满足这样性质的图形有很多，如图2中A、B、C、O四个点，满足AB=BC=CA，OA=OB=OC；如图3中A、B、C、O四个点，满足OA=OB=OC=BC，AB=AC．

（1）如图，若等腰梯形ABCD的四个顶点是准等距点，且AD∥BC．

①写出相等的线段（不再添加字母）；

②求∠BCD的度数．

（2）请再画出一个四边形，使它的四个顶点为准等距点，并写出相等的线段．

解：（1）①AB=DC=AD， AC=BD=BC．……………………………………………2分

②∵AC=BD，AB=DC，BC=BC，∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，……3分

  ∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，

∵DC=AD，∠DAC=∠ACD，∴∠ACD=∠ACB，………………………………4分

∵BC=BD，∠BDC=∠BCD=2∠ACB，……………………………………………5分

设∠ACB=x°，则∠BDC=∠BCD=2 x°，∠DBC= x°，

∴2 x+2 x+ x=180，解得x=36，

∴∠BCD=72°．…………………………………………………………………6分

（2）                              

AB=BD=AD =AC，BC = CD．  或     AB= BC= CD=BD=AD，AC，．……8分

4．（南京市溧水县中考一模）（9分）已知，，（如图）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．

（1）设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；

（3）连结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．

解：解：（1）取中点，连结，

为的中点，，．······················································1分

又，．·······························································2分

，得；····························································3分

（2）过D作DP⊥BC，垂足为P，∠DAB=∠ABC=∠BPD=90°，∴四边形ABPD是矩形．

以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，

， 又，∴DE=BE+AD-AB=x+4-2=x+2……4分

PD=AB=2，PE= x-4，DE2= PD2+ PE2，…………………………………………………5分

∴（x+2）2=22+（x-4）2，解得：．

∴线段的长为．…………………………………………………………………………6分

（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，

又易证得．···························································· 7分

由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．

①当时，，．．

，易得．得；·························································· 8分

②当时，，．

．又，．

，即=，得x2=[22+（x-4）2]．

解得，（舍去）．即线段的长为2．·········································9分

综上所述，所求线段的长为8或2．

5．（南京市浦口区中考一模）

（10分）如图，已知直角梯形ABCD中，AD//BC， DC⊥BC，AB＝5，BC＝6，∠B＝53°．

点O为BC边上的一个点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN．

（1）当BO＝AD时，求BP的长；

（2）在点O运动的过程中，线段 BP与MN能否相等？若能，请求出当BO为多长时BP＝MN；若不能，请说明理由；

（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围.

(参考数据：cos53°≈0．6；sin53°≈0．8；tan74°3.5)

解：（1）∵AD//BC,BO=AD

∴四边形AB0D为平行四边形-------------------------------------------------------------------------1分

∴AB//OD, ∠COD=∠ABO=53°，DO=AB=5

在RtOCD中， , BO=BC-CO=3.-----------------2分

在RtPOB中，BO=PO, ∴BP=-------------------------------------------3分

（2）不存在.---------------------------------------------------------------4分

如图,过A点作AE⊥BC交BC于E点.若BP = MN，则△BOP≌△MON--------------------------------5分 

∴∠BOP=∠MON=180°- 2∠B = 74°

DC=AE= -------------------------------------------------------------------------6分

在RtOCD中，.     BO=BC-CO=

在△POB中,BP=

因为AB=5,所以BP>AB.

又因为P点在边AB上，即BP＜AB.

所以BP与MN不可能相等.--------------------------------------------------------------------------- 8分

（3）当⊙O与⊙C外切，CN 取值范围为 0< CN < 6 ------------ 9分

当⊙O与⊙C内切，CN 取值范围为 ------------- 10分

6．（南京市下关区秦淮区沿江区中考一模）(6分)如图，已知，四边形ABCD为梯形，分别过点A、D作底边BC的垂线，垂足分别为点E、F．四边形ADFE是何种特殊的四边形？请写出你的理由．

答案：四边形ADFE是矩形．…………1分

证明：因为四边形ABCD为梯形，所以AD∥EF．……………………2分

因为AE是底边BC的垂线，所以∠AEF＝90°．同理，∠DFE＝90°．

所以，AE∥DF，……………………4分

所以，四边形ADFE为平行四边形．

又因为∠AEF＝90°，……………………6分

所以四边形ADFE是矩形．

7、(海淀一模) 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠ADC=105°，AD=6，且AC⊥AB，求AB的长．

考查内容:

答案：解：过点D作DE⊥AC于点E，则∠AED=∠DEC=90°.     ………….……………………1分

    ∵ AC⊥AB，

∴ ∠BAC=90°.

    ∵ ∠B=60°,

∴ ∠ACB=30°.

∵ AD∥BC，

∴ ∠DAC=∠ACB=30°.            ………….……………………2分

        ∴ 在Rt△ADE中，DE=AD=3，AE=，∠ADE=60°.   ….………3分

        ∵ ∠ADC=105°，

∴ ∠EDC=45°.

∴ 在Rt△CDE中， CE=DE=3.      …………….……………………………4分

        ∴ AC=AE+CE=.

∴ 在Rt△ABC中，AB=ACtan∠ACB=.   …….……………………5分

B组

35.梯形

一 选择题

1.(白云区初中毕业班综合测试)选择题等腰梯形的一底角为６０°，两底之和为１１，下底比上底的２倍多２．则腰长为（＊）

（Ａ）３　（Ｂ）５　（Ｃ）８　（Ｄ）９

答案 B

2、(北京市西城区初三一模试卷)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，

∠B=30°， 若AD=CD=6，则AB的长等于（　　）．

    A．9     B．12    C．   D．18

答案D

3.（路桥二中一模）如图1，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，点P运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P运动的时间为秒，△ABP的面积为，如果y关于x的函数图像如图2所示，则M点的纵坐标为（  ▲  ）

A．16           B．48    

C．24           D．64                               

答案   B

4. (武汉样卷) 在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD，连接DE交对角线AC于H，连接BH.下列结论：

①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③=2；④=．

其中结论正确的是（　　）

A．只有①②　　B．只有①②④     C．只有③④　　D．①②③④

答案  A

二 解答题

1．（北京昌平区统一练习一）

在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，BC=2cm.

(1)求∠CBD的度数；

(2)求下底AB的长.

解：∵,

∴.

∵,

∴.………………………………1分

∵∥CD,

∴ .……………………2分

∵BC=CD,

∴. ……………………3分

∴.

∴.

∴梯形ABCD是等腰梯形.  …………………4分

∴AD=BC=2.

在中，，，

∴AB=2AD=4.  ………………………………5分

2.(广州四中初三第一次模拟测试)已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且．

（1）求证：；

答案

（2）若，求AB的长．

答案

（1）证明：于点，

．······································（1分）

，

········································（2分）

．······································（3分）

连接，···································（4分）

，

．······································（5分）

．······································（6分）

（2）解：，

．··································································（7分）

．

，··································································（8分）

．··································································（9分）

．··································································（10分）

3.（北京平谷区一模）．已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，∠C=45°，

BE⊥DC于E，BC=5，AD:BC=2:5.

求ED的长.

答案  解：作DF⊥BC于F,EG⊥BC于G.  ……1分

∵∠A=90°，AD∥BC

∴ 四边形ABFD是矩形.

∵ BC=5,AD:BC=2:5.

∴ AD=BF=2.  ………………………………………..2分

∴ FC=3.

在Rt△DFC中，

∵ ∠C=45°，

∴ DC=.…………………………………………3分

在Rt△BEC中，

∴ EC=……………………………………………….……………………………....4分

∴ DE=……………………………………………………………….5分

4.（重庆一模）．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，，BC=BD，在AB上截取BE ,使BE=BC，过点B作于B，交CD于点F．连接CE，交BD于点H，交BF于点G．

（1）求证：EH=CG；

（2）已知AD=3，BG=2，求AB的长.

答案  证明：（1）

∵

∴

∵BF⊥AB于B

∴

∴

∵EB=CB

∴

∴≌

∴EH=CG

（也可证明≌）

(2)方法一：过点C作BC的垂线交BF的延长线于M

∵

∴

∵

∴

∴

又∵DB=BC

由（1）知

∴≌

∴AB=BM    AD=CM=3

由（1）知≌

∴BH=BG=2

∴

∵

∴

∴,

∴

∴MG=MC=3

∴BM=AB=5