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    高考数学一轮复习 专题9.7 圆锥曲线综合问题(讲)

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    这是一份高考数学一轮复习 专题9.7 圆锥曲线综合问题(讲),文件包含专题97圆锥曲线综合问题讲教师版docx、专题97圆锥曲线综合问题讲学生版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共46页, 欢迎下载使用。

    高考数学一轮复习策略

    1揣摩例题。

    课本上和老师讲解的例题,一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究,深刻理解,要透过“样板”,学会通过逻辑思维,灵活运用所学知识去分析问题和解决问题,特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法,并能总结出解题的规律。

    2精练习题

    复习时不要搞“题海战术”,应在老师的指导下,选一些源于课本的变式题,或体现基本概念、基本方法的基本题,通过解题来提高思维能力和解题技巧,加深对所学知识的深入理解。在解题时,要独立思考,一题多思,一题多解,反复玩味,悟出道理。

    3加强审题的规范性

    每每大考过后,总有同学抱怨没考好,纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否,不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系,确定解题思路 。

    4重视错题

    “错误是最好的老师”,但更重要的是寻找错因,及时进行总结,三五个字,一两句话都行,言简意赅,切中要害,以利于吸取教训,力求相同的错误不犯第二次。

     

    专题9.7   圆锥曲线综合问题

    新课程考试要求

    1.理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想.了解圆锥曲线的简单应用.

    核心素养

    本节涉及直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理、数学抽象等核心数学素养.

    高考预测

    命题的主要特点有:一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”,结合曲线的定义及几何性质,利用待定系数法先行确定曲线的标准方程,进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等;二是以不同曲线(圆、椭圆、抛物线)的位置关系为基础设计“连环题”,结合曲线的定义及几何性质,利用待定系数法先行确定曲线的标准方程,进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等;三是直线与圆锥曲线的位置关系问题,综合性较强,往往与向量(共线、垂直、数量积)结合,涉及方程组联立,根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.

    考点分类剖析

    考点一 :圆锥曲线中的定点问题

    【典例15.(2020·全国高考真题(理))已知AB分别为椭圆Ea>1)的左、右顶点,GE的上顶点,P为直线x=6上的动点,PAE的另一交点为CPBE的另一交点为D

    1)求E的方程;

    2)证明:直线CD过定点.

    【答案】1;(2)证明详见解析.

    【解析】

    (1)依据题意作出如下图象:

    由椭圆方程可得:

    椭圆方程为:

    (2)证明:设

    则直线的方程为:,即:

    联立直线的方程与椭圆方程可得:,整理得:

    ,解得:

    代入直线可得:

    所以点的坐标为.

    同理可得:点的坐标为

    时,

    直线的方程为:

    整理可得:

    整理得:

    所以直线过定点

    时,直线,直线过点

    故直线CD过定点

    【典例2】(2020届山东省潍坊市高三模拟二)已知P是圆F1:(x+12+y216上任意一点,F210),线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q,当点P在圆F1上运动时,记点Q的轨迹为曲线C.

    1)求曲线C的方程;

    2)记曲线Cx轴交于AB两点,M是直线x1上任意一点,直线MAMB与曲线C的另一个交点分别为DE,求证:直线DE过定点H40.

    【答案】12)证明见解析

    【解析】

    1)由已知|QF1|+|QF2||QF1|+|QP||PF1|4

    所以点Q的轨迹为以为F1F2焦点,长轴长为4的椭圆,

    2a4a2c1b2a2c23

    所以曲线C的方程为

    2)由(1)可得A(﹣20),B20),设点M的坐标为(1m

    直线MA的方程为:

    联立消去y整理得:(4m2+27x2+16m2x+16m21080

    设点D的坐标为(xDyD),则

    ,则

    直线MB的方程为:y=﹣mx2

    y=﹣mx2)与联立消去y整理得:(4m2+3x216m2x+16m2120

    设点E的坐标为(xEyE),则

    ,则

    HD的斜率为

    HE的斜率为

    因为k1k2,所以直线DE经过定点H.

    【规律方法】

    1.圆锥曲线中定点问题的求解策略

    圆锥曲线中的定点问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关,如椭圆的长、短轴,双曲线的虚、实轴,抛物线的焦参数等.解答这类题要大胆设参,运算推理,到最后参数必清.

    2.圆锥曲线中定点问题的两种解法

    【变式探究】

    1.(2019·北京高考真题(文))已知椭圆的右焦点为,且经过点.

    (Ⅰ)求椭圆C的方程;

    (Ⅱ)设O为原点,直线与椭圆C交于两个不同点PQ,直线APx轴交于点M,直线AQx轴交于点N,若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.

    【答案】(Ⅰ)

    (Ⅱ)见解析.

    【解析】

    (Ⅰ)因为椭圆的右焦点为,所以

    因为椭圆经过点,所以,所以,故椭圆的方程为.

    (Ⅱ)设

    联立

    .

    直线,令,即

    同理可得.

    因为,所以

    ,解之得,所以直线方程为,所以直线恒过定点.

    2.2019年高考北京卷理已知抛物线Cx2=2py经过点(2,1).

    (1)求抛物线C的方程及其准线方程;

    (2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点MN,直线y=1分别交直线OMON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

    【答案】(1)抛物线的方程为准线方程为;(2)见解析.

    【解析】(1)由抛物线经过点,得.

    所以抛物线的方程为,其准线方程为.

    (2)抛物线的焦点为.

    设直线的方程为.

    .

    ,则.

    直线的方程为.

    ,得点A的横坐标.

    同理得点B的横坐标.

    设点,则

    .

    ,即,则.

    综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点.

    考点   圆锥曲线中的定值问题

    【典例32021·全国高考真题)已知椭圆C的方程为,右焦点为,且离心率为

    1)求椭圆C的方程;

    2)设MN是椭圆C上的两点,直线与曲线相切.证明:MNF三点共线的充要条件是

    【答案】(1;(2)证明见解析.

    【分析】

    1)由离心率公式可得,进而可得,即可得解;

    2)必要性:由三点共线及直线与圆相切可得直线方程,联立直线与椭圆方程可证

    充分性:设直线,由直线与圆相切得,联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得,进而可得,即可得解.

    【详解】

    1)由题意,椭圆半焦距,所以

    ,所以椭圆方程为

    2)由(1)得,曲线为

    当直线的斜率不存在时,直线,不合题意;

    当直线的斜率存在时,设

    必要性:

    MNF三点共线,可设直线

    由直线与曲线相切可得,解得

    联立可得,所以

    所以,

    所以必要性成立;

    充分性:设直线

    由直线与曲线相切可得,所以

    联立可得

    所以

    所以

    化简得,所以

    所以,所以直线

    所以直线过点MNF三点共线,充分性成立;

    所以MNF三点共线的充要条件是

    【典例4】(2020·浙江高三月考)已知椭圆)的焦距为,且过点

    (Ⅰ)求椭圆的方程;

    (Ⅱ)若点,设为椭圆上位于第三象限内一动点,直线轴交于点,直线轴交于点,求证:四边形的面积为定值,并求出该定值.

    【答案】(Ⅰ)

    (Ⅱ)四边形的面积为定值2;证明见解析.

    【解析】

    (Ⅰ)由题意,,且,求得,所以

    所以椭圆的方程为

    (Ⅱ)设),则

    ,所以直线的方程为

    ,得,从而

    直线的方程为

    ,得,从而

    所以四边形的面积

       

    所以四边形的面积为定值2.

    【规律方法】

    1.圆锥曲线中定值问题的特征

    圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关,如椭圆的长、短轴,双曲线的虚、实轴,抛物线的焦参数等.定值问题的求解与证明类似,在求定值之前,已经知道定值的结果(题中未告知,可用特殊值探路求之),解答这类题要大胆设参,运算推理,到最后参数必清,定值显现.

    2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

    3.两种解题思路

    从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;

    引进变量法:其解题流程为:

    【变式探究】

    1. (2020届山东省高考模拟)已知椭圆的离心率为,椭圆截直线所得的线段的长度为.

    (Ⅰ)求椭圆的方程;

    (Ⅱ)设直线与椭圆交于两点,点是椭圆上的点,是坐标原点,若,判定四边形的面积是否为定值?若为定值,求出定值;如果不是,请说明理由.

    【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析

    【解析】

     (Ⅰ)由解得

    得椭圆的方程为.

    (Ⅱ)当直线的斜率不存在时,直线的方程为

    此时四边形的面积为

    当直线的斜率存在时,设直线方程是,联立椭圆方程

    到直线的距离是

    因为点在曲线上,所以有

    整理得

    由题意四边形为平行四边形,所以四边形的面积为

    , 故四边形的面积是定值,其定值为

    2. 2021·福建高三月考)已知椭圆的左、右焦点分别为,点,直线的倾斜角为60°,原点到直线的距离是

    1)求的方程;

    2)过上任一点作直线分别交(异于的两点),且,探究是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.

    【答案】(1;(2)是定值,定值为6

    【分析】

    1)先求出,然后由点到直线的距离列出关于的方程,求出的值,进而得到的值,从而得到的方程;

    2当点为椭圆右顶点时,求出当点为椭圆左顶点时,求出当点不为椭圆顶点,即直线的斜率均不为零时,设直线的方程,分别与椭圆方程联立,得到韦达定理,然后利用向量的关系,求出,即可得到答案.

    【详解】

    1)由题意,点,直线的倾斜角为60°,所以

    中,求得点到直线的距离是

    又由原点到直线的距离是,则,所以

    的标准方程为.

    2当点为椭圆右顶点时,,所以

    当点为椭圆左顶点时,同理可得

    当点不为椭圆顶点,即直线的斜率均不为零时,

    设直线的方程是,直线的方程是

    分别代入椭圆方程

    可得

    ,则

    ,可得,则

    由直线的方程,可得

    所以

    ,同理可得,所以为定值.

    综上所述,为定值6

    【点睛】

    (1)椭圆的焦点三角形的周长为定值:

    (2)圆,圆上一点处的切线方程为:.

    考点   圆锥曲线中的最值与范围问题

    【典例52021·北京高考真题)已知椭圆一个顶 点,以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为

    1)求椭圆E的方程;

    2)过点P(0-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点BC,直线ABAC分别与直线交y=-3交于点MN,当|PM|+|PN|≤15时,求k的取值范围.

    【答案】(1;(2

    【分析】

    1)根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,从而可求椭圆的标准方程.

    2)设,求出直线的方程后可得的横坐标,从而可得,联立直线的方程和椭圆的方程,结合韦达定理化简,从而可求的范围,注意判别式的要求.

    【详解】

    1)因为椭圆过,故

    因为四个顶点围成的四边形的面积为,故,即

    故椭圆的标准方程为:.

    2

    因为直线的斜率存在,故

    故直线,令,则,同理.

    直线,由可得

    ,解得.

    ,故,所以

    综上,.

    【典例6】(2019年高考全国Ⅱ卷理21)已知点A(2,0),B(2,0),动点M(xy)满足直线AMBM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.

    (1)求C的方程,并说明C是什么曲线;

    (2)过坐标原点的直线交CPQ两点,点P在第一象限,PEx轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.

    (i)证明:是直角三角形;

    (ii)求面积的最大值.

    【答案】(1)见解析;(2).

    【解析】(1)由题设得,化简得,所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.

    (2)(i)设直线PQ的斜率为k,则其方程为

    ,则

    于是直线的斜率为,方程为

    ,则是方程的解,故,由此得

    从而直线的斜率为

    所以,即是直角三角形.

    (ii)由(i)得,所以PQG的面积

    t=k+,则由k>0得t≥2,当且仅当k=1时取等号.

    因为在[2,+∞)单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为

    因此,PQG面积的最大值为

    【典例7】2021·上海市控江中学高三开学考试)在平面直角坐标系中,抛物线,点上的两点,在第一象限,满足.

    1)求证:直线过定点,并求定点坐标;

    2)设上的动点,求的取值范围;

    3)记的面积为的面积为,求的最小值.

    【答案】(1)证明见解析,;(2;(3.

    【分析】

    1)设,由已知并结合向量数量的坐标表示易得,再设联立抛物线,应用韦达定理有,求得,即可证结论.

    2)设并求关于参数a的表达式,由目标式化简,应用换元法并结合二次函数的性质求范围.

    3)由(1),用参数k表示的距离,由可得关于k的函数,应用判别式法求值域,进而可得最小值.

    【详解】

    1)令,则

    知:,又

    ,则

    设直线,联立抛物线方程整理得:,则

    ,故直线,即直线过定点.

    2)设,则

    ,令

    时,;当时,.

    .

    3)由(1),直线, 联立抛物线整理得:

    ,有,由在第一象限,则,即

    ,可得.

    ,又的距离

    ,而

    ,整理得

    ,即,又,得:.

    的最小值为.

    【总结提升】

    1.处理圆锥曲线最值问题的求解方法

    圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.

    2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面

    (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.

    (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.

    (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.

    (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.

    (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.

    【变式探究】

    1.2020·浙江金华高二期末)已知:抛物线,过外点的两条切线,切点分别为.

    )若,求两条切线的方程;

    )点是椭圆上的动点,求面积的取值范围.

    【答案】;(.

    【解析】

    )设过点的切线方程为,将其代入,可得

    因为直线与抛物线相切,,解得.

    因此,所求的两条切线的方程为

    )设,由,可得

    则切线的方程为,又

    .同理,切线的方程为.

    都过点.

    直线方程为,即.

    联立,得.

    ,

    由韦达定理得.

    .

    到直线的距离为

    的面积.

    .

    2.(2019·四川高三月考(理))已知抛物线,过点的直线与抛物线交于 两点,又过两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点.

    (1)证明:直线的斜率之积为定值;

    (2)求面积的最小值

    【答案】(1)见解析;(2)

    【解析】

    (1)证明:由题意设 的方程为

    联立 ,得 因为

    所以设 ,则

    设直线 的斜率分别为

    求导得

    所以

    所以,(定值)

    (2)解:由(1)可得直线 的方程为

    直线 的方程为

    联立①②,得点 的坐标为

    由(1)得

    所以 .

    于是

    到直线 的距离

    所以

    ,即时,的面积取得最小值

    3.(2020·陕西安康·高三三模(理))已知椭圆E()的左焦点为,过F的直线交EAC两点,的中点坐标为.

    1)求椭圆E的方程;

    2)过原点O的直线相交且交EBD两点,求四边形面积的最大值.

    【答案】1;(2.

    【解析】

    1)设

    可得,两式相减得

    代入上式,

    ,即有

    则椭圆E的方程为

    2)直线AC的方程为

    联立,解得

    ,且直线的斜率存在,设方程为()

    联立,得,则

    分别表示BD到直线的距离,

    所以

    ,则

    当且仅当,即时,四边形的面积取得最大值.

    考点   圆锥曲线中的探索性问题

    【典例8(2019·全国高考真题(文))已知点AB关于坐标原点O对称,│AB│ =4,⊙M过点AB且与直线x+2=0相切.

    (1)若A在直线x+y=0上,求⊙M的半径.

    (2)是否存在定点P,使得当A运动时,│MA│-│MP│为定值?并说明理由.

    【答案】(1)

    (2)见解析.

    【解析】

    (1)在直线    ,则

        ,解得:

    过点    圆心必在直线

    ,圆的半径为

    相切   

    ,即

    ,解得:

    时,;当时,

    的半径为:

    (2)存在定点,使得

    说明如下:

    关于原点对称且

    直线必为过原点的直线,且

    ①当直线斜率存在时,设方程为:

    的圆心必在直线

    的半径为

    相切   

    ,整理可得:

    点轨迹方程为:,准线方程为:,焦点

    ,即抛物线上点到的距离   

    重合,即点坐标为时,

    ②当直线斜率不存在时,则直线方程为:

    轴上,设

    ,解得:,即

    ,则

    综上所述,存在定点,使得为定值.

    【例9】2021·河南高二期末(文))已知以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴的椭圆经过点

    1)求椭圆的标准方程.

    2)设过点的直线交于两点,点轴上,且,是否存在常数使?如果存在,请求出;如果不存在,请说明理由.

    【答案】(1;(2)存在实数满足题意.

    【分析】

    (1)设出椭圆标准方程,将给定点的坐标代入列出方程组,求解即得;

    (2)直线斜率存在时,设出的方程,联立的方程消元,借助韦达定理求出线段MN长,再求出QF长即可,验证斜率不存在时即可判断作答.

    【详解】

    1)设椭圆的标准方程为,因点在椭圆上,

    则有,解得

    所以椭圆的标准方程为

    2)显然点为椭圆的右焦点,当直线的斜率存在时,设直线的方程为

    消去y并整理得:

    ,则

    于是得

    ,则线段的中点坐标为

    因为点轴上,且,则为线段的垂直平分线与轴的交点,

    时,,则

    时,线段的垂直平分线方程为

    ,得,即,则有,于是得

    当直线的斜率不存在时,,取能满足

    综上所述,存在实数满足题意.

    总结提升

    1.探索性问题的求解方法:先假设成立,在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论,说明结论成立,否则说明结论不成立.处理这类问题,一般要先对结论做出肯定的假设,然后由此假设出发,结合已知条件进行推理论证.若推出相符的结论,则存在性随之解决;若推出矛盾,则否定了存在性;若证明某结论不存在,也可以采用反证法.

    2.解析几何中存在性问题的求解方法:

    (1)通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化,其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于特定参数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在,否则(点、直线、曲线或参数)不存在.

    (2)反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法.

    【变式探究】

    1.2021·全国高三(理))已知椭圆的离心率为,两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为

    1)求椭圆的标准方程;

    2)我们称圆心在椭圆上运动,半径为的圆是椭圆卫星圆,过原点作椭圆卫星圆的两条切线,分别交椭圆两点,若直线的斜率存在,记为

    求证:为定值;

    试问是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

    【答案】(1;(2

    【分析】

    1)依题意列方程组即可求解;

    2设椭圆卫星圆的圆心为,由切线条件得,化简即可求得为定值;由题意得,由于,所以,根据距离公式即可求得结果.

    【详解】

    1)依题意得,解得

    所以椭圆的标准方程为

    2直线的方程分别为,设椭圆卫星圆的圆心为

    因为直线卫星圆的两条切线,则

    化简得

    所以为方程的两根,故

    又因为,所以,故为定值

    由于,所以

    所以为定值

    2.2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二月考)已知椭圆T经过以下四个不同点中的某三个点:

    1)求椭圆T的方程;

    2)将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的倍,横坐标不变,得到椭圆E.已知MN两点的坐标分别为,点F是直线上的一个动点,且直线分别交椭圆EGHGH分别异于MN点)两点,试判断直线是否恒过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.

    【答案】(1;(2)直线恒过定点.

    【分析】

    1)分析可得三点在椭圆上,代入椭圆方程,待定系数即得解;

    2)先通过伸缩变换得到椭圆E方程为:,设,分别表示直线的方程,与椭圆联立,求得GH坐标,表示直线的方程,整理即得定点.

    【详解】

    1)由题意可得AC一定在椭圆上,即

    B在椭圆上,则

    ①②可得,不存在,

    所以D在椭圆上,可得

    ①③可得

    所以椭圆的方程为:

    2)将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的倍,横坐标不变,设E上的点为:,对应的点,由题意可得

    所以

    所以E的方程

    所以直线的方程为:,直线的方程

    联立直线与椭圆的方程整理可得,所以,即

    联立直线NF与椭圆的方程:整理可得,所以

    所以直线的斜率为:

    所以直线的方程为:

    整理可得,当.

    所以直线恒过定点

    考点   直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

    【典例10】(2020·全国高考真题(理))若直线l与曲线y=x2+y2=都相切,则l的方程为(   

    A.y=2x+1 B.y=2x+ C.y=x+1 D.y=x+

    【答案】D

    【解析】

    设直线在曲线上的切点为,则

    函数的导数为,则直线的斜率

    设直线的方程为,即

    由于直线与圆相切,则

    两边平方并整理得,解得(舍),

    则直线的方程为,即.

    故选:D.

    【典例11】2021·福建莆田·高三)曲线上任意一点到点的距离与它到直线的距离之比等于,过点且与轴不重合的直线交于不同的两点

    1)求的方程;

    2)求证:内切圆的圆心在定直线上.

    【答案】(1;(2)证明见解析.

    【分析】

    1)设点,根据条件建立等式,化简即可;

    2)设出直线和点,将代入C,消元后根据根与系数的关系得到两根间的关系,设出直线AFBF的斜率然后求和,化为两根关系结合根与系数的关系化简,进而得到答案.

    【详解】

    1)设,由题意:

    化简得:,即C的方程为:.

    2)设直线,将代入C得:

    设直线AFBF的斜率分别为,则

    .

    ,则直线平分,而三角形内心在的角平分线上,内切圆的圆心在定直线.

    【典例12】2021·吉林长春市·东北师大附中高三月考(理))椭圆与抛物线有一个公共焦点且经过点.

    1)求椭圆的方程及其离心率;

    2)直线与椭圆相交于两点,为原点,是否存在点满足,若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由

    【答案】(1;(2)存在,.

    【分析】

    1)由题意,椭圆的,再代入,联立即得解,再由即可得离心率;

    2)由题意,R的重心,将直线与椭圆联立,借助韦达定理可得

    ,且在圆上,代入可得

    ,由可得,,代入可得,结合的范围可得解.

    【详解】

    1)由题意,抛物线的标准方程为

    抛物线焦点坐标为

    即在椭圆中

    将点代入曲线的方程,

    则椭圆的方程为

    则椭圆的离心率

    2)存在符合要求的点.

    直线与椭圆相交于两点,

    联立方程,整理得

    两点坐标为

    满足

    的重心在圆

    【总结提升】

    直线、圆及圆锥曲线的交汇问题,要认真审题,学会将问题拆分成基本问题,然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题,这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力.

    【变式探究】

    1.(2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考)已知抛物线,的焦点为,过点的直线的斜率为,与抛物线交于两点,抛物线在点处的切线分别为,两条切线的交点为

    1)证明:

    2)若的外接圆与抛物线有四个不同的交点,求直线的斜率的取值范围.

    【答案】(1)证明见解析(2)

    【解析】

    (1)证明:依题意有,直线

    ,直线与抛物线相交,

    联立方程消去,化简得

    所以,

    又因为,所以直线的斜率

    同理,直线的斜率

    所以,

    所以,直线,即

    (2)由(1)可知,圆是以为直径的圆,

    是圆上的一点,则

    所以,圆的方程为

    又因为

    所以,圆的方程可化简为

    联立圆与抛物线

    消去,得

    ,即

    若方程与方程有相同的实数根

    ,矛盾,

    所以,方程与方程没有相同的实数根,

    所以,圆与抛物线有四个不同的交点等价于

    综上所述,

    2.(2019年高考全国Ⅲ卷理已知曲线Cy=D为直线y=上的动点,过DC的两条切线,切点分别为AB.

    (1)证明:直线AB过定点:

    (2)若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.

    【答案】(1)见详解;(2)3或.

    【解析】(1).

    由于,所以切线DA的斜率为,故 .

    整理得

    ,同理可得.

    故直线AB的方程为.

    所以直线AB过定点.

    (2)由(1)得直线AB的方程为.

    ,可得.

    于是

    .

    分别为点DE到直线AB的距离,则.

    因此,四边形ADBE的面积.

    M为线段AB的中点,则.

    由于,而与向量平行,所以.解得t=0或.

    =0时,S=3;当时,.

    因此,四边形ADBE的面积为3或.

    32020·黑龙江道里·哈尔滨三中高二月考(文))已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-20)(20),并且经过点是椭圆上的不同两点,且以为直径的圆经过原点.

    1)求椭圆的标准方程;

    2)是否存在圆心在原点的圆恒与直线相切,若存在,求出该圆的方程,若不存在,说明理由.

    【答案】1;(2)存在,.

    【解析】

    1)设椭圆方程为

    由椭圆定义得

    所以椭圆方程为

    2)假设存在圆心在原点的圆恒与直线相切,

    由以为直径的圆经过原点,即

    ,与联立,消去

    整理得

    又原点到直线的距离,

    故存在圆心在原点的圆恒与直线相切,且圆的方程为.


     

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