高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题8.1   空间几何体及其三视图和直观图

【知识清单】

知识点1．空间几何体的结构特征

一、多面体的结构特征

二、旋转体的形成

三、简单组合体

简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．

知识点2．空间几何体的直观图

简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：

(1)画几何体的底面

在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．

(2)画几何体的高

在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．

知识点3．空间几何体的三视图

三视图

几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.

【考点分类剖析】

考点一 ：空间几何体的结构特征

【典例1】（2021·江苏高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再套公式求解.

【详解】

根据题意作图，

设圆锥的底面圆半径为，高为 ，母线长为 .

若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，

则有，.

该圆锥的底面积与侧面积比值为.

故选：C.

【典例2】（2018·上海高考真题）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）

A.4 B.8 C.12 D.16

【答案】D

【解析】

根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，

而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4=8，

当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，

当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，

故有8+4+4=16

故选：D．

【总结提升】

解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧

(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可．

(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．

(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．

【变式探究】

1.（2021·唐山市第十一中学高一月考）以下命题正确的是（    ）

A．直角三角形绕其一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥

B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱

C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台

D．棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台

【答案】C

【解析】

根据圆锥的几何特征即可判断A；

根据圆柱的几何特征即可判断B；

根据圆台的几何特征即可判断C；

根据棱台的几何特征即可判断D.

【详解】

解：对于A：直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥，故A错误；

对于B：，因为当两平行的截面与圆柱的底面不平行时，截得的几何体的两个平行的底面有可能是椭圆，另外当截面平行于圆柱的高线时，截得的几何体也不是圆柱，故B错误；

对于C：圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，正确；

对于选项D：当截面不平行于底面时，棱锥截去一个小棱锥后剩余部分不是棱台，故D错．

故选：C．

2.【多选题】（2021·湖北高一期末）过正方体棱上三点D，E，F（均为棱中点）确定的截面过点P(点P为BB1中点)有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】

根据正方体的性质对ABD作出截面后判断，对C由四点不共面可判断．

【详解】

A中过三点的截面如图，可知截面过点，

B中过三点的截面如图，可知截面不过点，

C中，在正方体的一个侧面上，而不在这个侧面上，因此四点不共面，过三点的截面不过点，

D中，过三点的截面如图，可知截面过点．

故选：AD．

【特别提醒】

三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，要特别注意掌握它们的几何特征．

考点二 ：空间几何体的直观图

【典例3】（2021·浙江高一期末）已知的面积为，用斜二测法画出其水平放置的直观图如图所示，若，则的长为________.

【答案】1

【解析】

根据斜二测法求出直观图△的面积，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出的值．

【详解】

解：的面积为，

则用斜二测法画出其水平放置的直观图△的面积为，

即，解得，

△中，由余弦定理得，，

所以．

故答案为：1．

【典例4】（2020-2021学年高一）如图，、分别为正方形的面与面的中心，则四边形在正方体的面上的正投影可能是（要求：把可能的图的序号都填上）________

【答案】②③

【解析】

根据正方体的性质，只需确定四边形在面、面、面上的射影即可，结合平行投影的特点，画出投影形状即可.

【详解】

由正方体是对称的几何体，四边形在该正方体的面上的射影可分为：自上而下、自左至右、由前及后三个方向的射影，即在面、面、面上的射影．

四边形在面和面上的射影相同，如下图所示；

四边形在该正方体对角面的内，它在面上的射影显然是一条线段，如下图示：

故答案为：②③．

【总结提升】

1.用斜二测画法画直观图的技巧

在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出.

2.解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.

3.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：

S直观图＝S原图形，S原图形＝S直观图．

【变式探究】

1. （2020·安徽金安�六安一中高一期末（理））如图所示，是水平放置的的直观图，轴，轴，，，则中，（    ）

A．2 B．5 C．4 D．

【答案】B

【解析】

根据直观图可知，所以.

故选：B

2.（2021·东莞市新世纪英才学校高一月考）一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且，，，则原梯形的面积为（    ）

A． B． C．8 D．4

【答案】C

【解析】

由题意，原图形为直角梯形，在原图形中，，，，即可求出原梯形的面积．

【详解】

解：由题意，原图形为直角梯形，在原图形中，，，，

所以原梯形的面积为，

故选：C．

考点三 ：  空间几何体的三视图

【典例5】（2021·全国高考真题（文））在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.

【详解】

由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，

所以其侧视图为

故选：D

【典例6】（2018年理新课标I卷）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（    ）

A.     B.

C.         D. 2

【答案】B[来源:教培星球ZXXK]

【解析】

根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.

【规律方法】

三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.

简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．

在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．

【典例7】（2021·浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】A

【解析】

根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.

【详解】

几何体为如图所示的四棱柱，其高为1，底面为等腰梯形，

该等腰梯形的上底为，下底为，腰长为1，故梯形的高为，

故，

故选：A.

【典例8】（2020·全国高考真题（文））下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（    ）

A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2

【答案】C

【解析】

根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形

根据立体图形可得：

根据勾股定理可得：

是边长为的等边三角形

根据三角形面积公式可得：

该几何体的表面积是：.

故选：C.

【总结提升】

1.三视图问题的常见类型及解题策略

(1)由几何体的直观图求三视图．注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．

(2)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．

(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．

2.几类空间几何体表面积、体积的求法

(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．

(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．

(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．

(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．

【变式探究】

1．（2018年文北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（   ）

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

【答案】C

共三个，故选C.

2．（2018·全国高考真题（文））中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】A

【解析】

由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，

且俯视图应为对称图形

故俯视图为

故选A.

3．（2019·浙江高考真题）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式，其中是柱体的底面积，是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（  ）

A．158 B．162

C．182 D．32

【答案】B

【解析】

由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为.

4. （2021·江西景德镇一中高三月考（理））如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个四面体的三视图，则该四面体四个面中，最大面的面积为（    ）

A．2 B． C．3 D．4

【答案】C

【解析】

由三视图可知，四面体可以嵌入到棱长为2的正方体中，其中，分别是对应棱的中点，如图所示.  分别计算出四个面的面积，进而可得结果.

【详解】

由三视图可知，四面体可以嵌入到棱长为2的正方体中，其中，分别是对应棱的中点，如图所示.

的面积为，

的面积为，

的面积为，

对于，，，，

由余弦定理得，则，

所以，的面积为.

故该四面体四个面中，最大面的面积为3.

故选：C.