高考数学一轮复习 专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数（讲）

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高考数学一轮复习策略1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。2、精练习题复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。3、加强审题的规范性每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。4、重视错题“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。 专题5.1   任意角和弧度制及任意角的三角函数新课程考试要求1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.2. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（例1.5.6）、数学建模（例7.8）、直观想象（例7.8）、数学运算（多例）、数据分析等.考向预测（1）三角函数的定义； （2）扇形的面积、弧长及圆心角；（3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．【知识清单】知识点1．象限角及终边相同的角1．任意角、角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．2.弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．若一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝()°，n°＝n· rad．知识点2．三角函数的定义1.任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么（1）点P的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sin α＝y；（2）点P的横坐标叫角α的余弦函数，记作cos α＝x；（3）点P的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tan α＝.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数． 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y＝sinx，x∈R； 余弦函数 y＝cosx，x∈R； 正切函数 y＝tanx，x≠＋kπ（k∈Z）．2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦知识点3．扇形的弧长及面积公式 (1)弧长公式在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝，变形可得l＝|α|r，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．(2)扇形面积公式由圆心角为1 rad的扇形面积为＝r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为 rad，故其面积为S＝×＝lr，将l＝|α|r代入上式可得S＝lr＝|α|r2，此公式称为扇形面积公式．(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示名称角度制弧度制弧长公式l＝l＝__|α|r__扇形面积公式S＝S＝　r2　＝　lr　注意事项r是扇形的半径，n是圆心角的角度数r是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l是弧长【考点分类剖析】考点一  象限角及终边相同的角【典例1】（2021·赤峰二中高三月考（理））若角的终边与240°角的终边相同，则角的终边所在象限是（    ）A．第二或第四象限 B．第二或第三象限C．第一或第四象限 D．第三或第四象限【规律方法】象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．【变式探究】（2021·上海高一课时练习）设与终边相同的角的集合为M，则①；②M中最小正角是；③M中最大负角是，其中正确的有____________.（选填序号）【总结提升】象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示(1)象限角：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} (2)轴线角：角的终边的位置集合表示终边落在x轴的非负半轴上{α|α＝k·360°，k∈Z}终边落在x轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}终边落在y轴的非负半轴上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}终边落在y轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}终边落在y轴上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}终边落在x轴上{α|α＝k·180°，k∈Z}终边落在坐标轴上{α|α＝k·90°，k∈Z}考点二   三角函数的定义【典例2】（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））若点在角的终边上，则（    ）A． B． C． D．【典例3】（2021·重庆市长寿中学校高三其他模拟）角终边上有一点，则“”是“”的（    ）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例4】（江西高考真题）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_______.【规律方法】1.已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．【变式探究】1. （2021·黑龙江高三其他模拟（理））已知点是角的终边与单位圆的交点，则（    ）A． B． C． D．2. 已知角的终边过点,且，则的值为(    )A.     B.     C.     D. 3．已知角的终边在射线上，则等于（   ）A.     B.     C.     D. 【总结提升】 (1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝，余弦值cosα＝，正切值tanα＝．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．考点三：三角函数值的符号判定【典例5】（2021·全国高一专题练习）若，则角是（    ）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【典例6】（2021·吉林吉林市·高三其他模拟（理））已知是第二象限角，则（    ）A． B． C． D．【总结提升】判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．【变式探究】1.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(　　)A．(－2,3]         B．(－2,3)C．[－2,3)         D．[－2,3]2. 已知且，则角的终边所在的象限是A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限考点四：扇形的弧长及面积公式
【典例7】（2021·江苏南通市·高三其他模拟）《掷铁饼者》取材于希腊现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在挪铁饼的过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，掷铁饼者双手之间的距离约为，“弓”所在圆的半径约为，则挪铁饼者的肩宽约为___________.(精确到)【典例8】（2021·广东佛山市·高三其他模拟）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝ （弦 矢＋），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为___________平方米（精确到1平方米，参考数据【典例9】（2021·浙江高一期末）已知一扇形的周长为，当这个扇形的面积最大时，半径的值为_________________．【总结提升】1.(1) 弧度制下l＝|α|·r，S＝lr，此时α为弧度．扇形面积公式，扇形中弦长公式，扇形弧长公式在角度制下，弧长l＝，扇形面积S＝，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．2.当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S转化为r的函数，函数思想、转化为方程的思想是解决数学问题的常用思想．【变式探究】1.（2021·全国高三其他模拟（理））中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从一个圆形中前下的扇形制作而成的，当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为（    ）A． B． C． D．2．（2021·安徽合肥市·高三三模（理））在平面直角坐标系中，已知点，，当t由变化到时，线段扫过形成图形的面积等于（    ）A．2 B． C． D．3.一个扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积．【特别提醒】应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．