专题十——【广东专用】2023年高考数学大题限时训练学案（原卷版+解析版）

专题10 大题限时练十

1．已知数列是等比数列，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和，并证明：．

【答案】（1），；（2）见解析

【详解】（1）解：由题意，设等比数列的公比为，

则，即，

，

，即，

解得，

，．

（2）证明：由（1），

可得，

故

，

不等式对恒成立．

2．已知在中，角，，的对边分别为，，，．

（1）求角的大小；

（2）若，求周长的最大值．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）中，因为，

由正弦定理得，

由余弦定理得，

又，

所以；

（2）由，，

根据正弦定理得，

所以，，

所以，

又，

所以当时，周长取得最大值为．

3．袋中装着标有数字1，2，3，4不同的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．

（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

（2）用表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量的分布列和数学期望．

【答案】见解析

【详解】（1）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，

则；

（2）由题意所有可能的取值为：1，2，3，4，

，

，

，

，

所以随机变量的分布列为：

随机变量的均值为：

．

4．如图所示，为半圆锥顶点，为圆锥底面圆心，为底面直径，为弧中点．是边长为2的等边三角形，弦上点使得二面角的大小为，且．

（1）求的值；

（2）对于平面内的动点总有平面，请指出的轨迹，并说明该轨迹上任意点都使得平面的理由．

【答案】（1）；（2）见解析

【详解】（1）由题意知，平面，且，

又平面，平面，

，，

所以以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

所以，0，，，0，，，，，，1，，，0，，

设，，，所以，，，，1，，

由．得到，，，1，，，，

所以，，，，，，

所以，，，，1，，，2，，

设平面的一个法向量为，，，

所以，令，，，

所以平面的一个法向量为，，，

又平面的一个法向量为，0，，

，

解得（舍去）；

（2）取的中点，的中点，连接，，，

由三角形中位线定理得到，，，，

所以由面面平行的判定易知，平面平面，

且平面平面，所以点的轨迹是直线，

因为平面平面，平面，

所以对任意点直线，都有平面，如图所示

5．已知动点到点和直线的距离相等．

（1）求动点的轨迹方程；

（2）设点的轨迹为曲线，点在直线上，过的两条直线，与曲线相切，切点分别为，，以为直径作圆，判断直线和圆的位置关系，并证明你的结论．

【答案】（1）；（2）见解析

【详解】（1）设动点，

由抛物线定义可知点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，

所以动点的轨迹方程为．

（2）直线和圆的位置关系是相切．

证明：依题可设，，，，，．

由，即：，

求导得：，

所以切线，的斜率分别是，．

所以的方程是，

点，的坐标代入，得：，即．

同理可得．

于是，是方程的两根．

所以，，

由，得，即：．

由，可得，

所以，即：点在圆上．

所以直线和圆相切．

6．已知．

（1）求的单调区间；

（2）证明：方程在，上无实数解

【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析

【详解】（1）的定义域为，

，

令，即，解得，

令，即，解得，

综上所述，的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）证明：令，，，，

因为当，时，，

所以在，单调递减，

所以，

所以函数在，上无零点，

即方程在，上无实根．