卷02（理科）——【备考2023】高考数学真题重组卷（课标全国卷）（含解析）

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课标全国卷地区专用（解析版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·全国·统考高考真题）若z=-1+3i，则zzz-1=（ ）
A．-1+3iB．-1-3iC．-13+33iD．-13-33i
【答案】C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】z=-1-3i,zz=(-1+3i)(-1-3i)=1+3=4.
zzz-1=-1+3i3=-13+33i
故选 ：C
2．（2021·全国·统考高考真题）已知集合S=ss=2n+1,n∈Z，T=tt=4n+1,n∈Z，则S∩T=（ ）
A．∅B．SC．TD．Z
【答案】C
【分析】分析可得T⊆S，由此可得出结论.
【详解】任取t∈T，则t=4n+1=2⋅2n+1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，
因此，S∩T=T.
故选：C.
3．（2020·全国·统考高考真题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A．5-14B．5-12C．5+14D．5+12
【答案】C
【分析】设CD=a,PE=b，利用PO2=12CD⋅PE得到关于a,b的方程，解方程即可得到答案.
【详解】如图，设CD=a,PE=b，则PO=PE2-OE2=b2-a42，
由题意PO2=12ab，即b2-a24=12ab，化简得4(ba)2-2⋅ba-1=0，
解得ba=1+54（负值舍去）.
故选：C.
【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.
4．（2022·全国·统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．16B．13C．12D．23
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C72=21种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种，
故所求概率P=21-721=23.
故选：D.
5．（2021·天津·统考高考真题）设a=lg20.3,b=lg120.4,c=0.40.3，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a0,当x>2ln2时，f'x0；当x∈alna,+∞时，g'(x)0,h(a)在区间(1,e)内单调递增；a∈(e,+∞),h'(a)1且a≠e时有01，即alnaaaalna=aa-alna(lna)a>1，即aa-alna>(lna)a,a1-1lna>lna，两边取对数，得1-1lnalna>ln(lna)，即lna-1>ln(lna)．
令lna=t，则t-1>lnt，令h(x)=lnx-x+1，则h'(x)=1x-1，所以h(x)在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,+∞)内单调递减，所以h(x)≤h(1)=0，所以t-1≥lnt，则t-1>lnt的解为t≠1，所以lna≠1，即a≠e．
故实数a的范围为(1,e)∪(e,+∞)．]
【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，
方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.
方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.
方法三：将问题取对，分成g(x)=lnx与p(x)=xlnaa两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论．
方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（2021·全国·统考高考真题）在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C2,1，半径为1．
（1）写出⊙C的一个参数方程;
（2）过点F4,1作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
【答案】（1）x=2+csαy=1+sinα，（α为参数）；
（2）ρsinθ+5π6=2-32和ρsinθ+π6=2+32．
【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；
（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.
【详解】（1）由题意，⊙C的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=1，
所以⊙C的参数方程为x=2+csαy=1+sinα，（α为参数）
（2）[方法一]：直角坐标系方法
①当直线的斜率不存在时，直线方程为x=4，此时圆心到直线的距离为2>r，故舍去．
②当切线斜率存在时，设其方程为y=k(x-4)+1，即kx-y-4k+1=0．
故|2k-1-4k+1|1+k2=1，即|2k|=1+k2,4k2=1+k2，解得k=±33．
所以切线方程为y=33(x-4)+1或y=-33(x-4)+1．
两条切线的极坐标方程分别为ρsinθ=33ρcsθ-433+1和ρsinθ=-33ρcsθ+433+1．
即ρsinθ+5π6=2-32和ρsinθ+π6=2+32．
[方法二]【最优解】：定义求斜率法
如图所示，过点F作⊙C的两条切线，切点分别为A，B．
在△ACF中，tan∠AFC=ACAF=33，又CF∥x轴，所以两条切线FA,FB的斜率分别33和-33．
故切线的方程为y=33(x-4)+1，y=-33⋅(x-4)+1，这两条切线的极坐标方程为ρsinθ=33ρcsθ-433+1和ρsinθ=-33ρcsθ+433+1．
即ρsinθ+5π6=2-32和ρsinθ+π6=2+32．
【整体点评】（2）
方法一：直角坐标系中直线与圆相切的条件求得切线方程，再转化为极坐标方程，
方法二：直接根据倾斜角求得切线的斜率，得到切线的直角坐标方程，然后转化为极坐标方程,在本题中巧妙的利用已知圆和点的特殊性求解，计算尤其简洁，为最优解.
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（2022·全国·统考高考真题）已知a，b，c都是正数，且a32+b32+c32=1，证明：
(1)abc≤19；
(2)ab+c+ba+c+ca+b≤12abc；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；
（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．
【详解】（1）证明：因为a>0，b>0，c>0，则a32>0，b32>0，c32>0，
所以a32+b32+c323≥3a32⋅b32⋅c32，
即abc12≤13，所以abc≤19，当且仅当a32=b32=c32，即a=b=c=319时取等号．
（2）证明：因为a>0，b>0，c>0，
所以b+c≥2bc，a+c≥2ac，a+b≥2ab，
所以ab+c≤a2bc=a322abc，ba+c≤b2ac=b322abc，ca+b≤c2ab=c322abc
ab+c+ba+c+ca+b≤a322abc+b322abc+c322abc=a32+b32+c322abc=12abc
当且仅当a=b=c时取等号．
样本号ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9