预测卷01——【备考2023】高考数学大题精练 （全国通用）.1（原卷版+解析版）

预测卷01 文科数学 

（满分：70分     建议用时：70分钟）

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）   必考题：共60分．

17．某公司为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，统计了近5年的年营销费用和年销售量，得到的散点图如图所示，对数据进行初步处理后，得到一些统计量的值如下表所示．

表中，，，．已知可以作为年销售量y关于年营销费用x的回归方程．

(1)求y关于x的回归方程；

(2)若公司每件产品的销售利润为4元，固定成本为每年120万元，用所求的回归方程估计该公司每年投入多少营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益销售利润营销费用固定成本）

参考数据：，．

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

【答案】(1)

(2)该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收益达到最大

【分析】(1)根据题目要求可知，y关于x的回归方程为非线性的，设，可得，代入已知条件所给的数据，计算即可.(2)列出年收益与营销费用的关系式，通过求导来求得最值.

【详解】（1）由得，，令，，，则．

由表中数据可得，，

则，所以．

即，因为，所以，

故所求的回归方程为．

（2）设年收益为W万元，则，

对求导，得，

令，解得，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

因此，当时W有最大值，即该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收益达到最大．

18．如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记．

(1)当时，求OP的长；

(2)当面积最大时，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出的值，由正弦定理即可求出OP的长；

（2）由余弦定理及基本不等式求出与的乘积关系，写出面积表达式，即可得出的值.

【详解】（1）由题意，

在中，，，，

∴为等腰直角三角形，

∴在以为直径的圆上，

取的中点，连接，

∴，，

在中，，，

由正弦定理，

，

解得：

（2）由题意及（1）知，，，

在中，，，

由余弦定理，

，

即，

即，

∴，当且仅当时，等号成立，

又，

∴当且仅当时，的面积最大，此时，

∴．

19．如图，在四棱锥中底面是菱形，，是边长为的正三角形，，为线段的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）是否存在满足的点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在；.

【解析】（1）利用面面垂直的判定定理证明即可；

（2）由，知，所以可得出，因此，等价于，继而得出的值.

【详解】（1）证明：因为是正三角形，为线段的中点，所以.

因为是菱形，所以.因为，所以是正三角形，

所以，而，所以平面.

又，所以平面.

因为平面，所以平面平面.

（2）由，知.

所以，，

.

因此，等价于，所以，.

即存在满足的点，使得，此时.

【点睛】本题主要考查平面与平面垂直的判定、三棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，属于难题.

20．已知函数在点处的切线l与直线垂直.

(1)求切线l的方程；

(2)判断在上零点的个数，并说明理由.

【答案】(1)

(2)在上有且只有一个零点，理由见解析

【分析】（1）首先求函数的导数，然后利用垂直关系求实数a的值，最后求切线方程；

（2）利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理，讨论函数的零点个数.

【详解】（1），

所以切线的斜率，由题意，解得.

所以，

所以，

所以切线l的方程为，即.

（2）由（1）知，所以，

由，可得，

令，

所以，

①当时，，

所以，

所以在上单调递增，

又因为，

所以在上无零点，

②当时，令，

所以，即在上单调递减，

又因为，

所以存在，使得，

所以在上单调递增，在单调递减，

因为，

所以在上且只有一个零点，

综上所述：在上有且只有一个零点.

21．已知椭圆的离心率为，且直线截椭圆所得的弦长为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与y轴交于点P，A、C为椭圆上的两个动点、且位于第一象限（不在直线上），直线分别交椭圆于B、D两点，若直线分别交直线于E、F两点，求证：.

【答案】(1)

(2)证明过程见解析

【分析】（1）根据弦长得到，结合离心率和，求出，得到椭圆方程；

（2）平移坐标系，将变为，椭圆方程为，设，，，表达出，，表达出直线，得到，同理得到，通过计算得到，从而得到，故.

【详解】（1）中令得：，

故①，

又，，故，代入①中，

解得：，故，

则椭圆的标准方程为；

（2）由题意得：，

因为A、C为椭圆上的两个动点且位于第一象限，且不在直线上，

所以直线的斜率存在且斜率不为0，

把平面直角坐标系向上平移1个单位，则变为，

直线分别交直线于E、F两点，变为直线分别交直线于E、F两点，

此时椭圆方程为，

设，，

由于平移后的椭圆不再关于原点对称，故，

其中，，

，同理可得：，

则直线为，

令得：

，

其中，

直线为，

令得：

，

其中，

故，

则，故.

【点睛】圆锥曲线中，若设出直线方程，与圆锥曲线联立，计算量特别大时，可平移坐标系，减小计算难度和计算量，平移坐标系后，圆锥曲线的方程书写时，满足“左加右减，上减下加”，或理解为将圆锥曲线的中心移至某点，移动方向与坐标轴正方向相同则加，相反则减，要保证平移坐标系后方程的正确性.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.

(1)求曲线C的普通方程；

(2)若P为C上一动点，求P到l的距离的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由可消参得普通方程，并讨论x，y的范围排除对应点；

（2）令得直线的直角坐标方程，设且，由点线距离公式结合辅助角公式化简即可求得范围.

【详解】（1），，

又，

曲线的普通方程为.

（2）设到的距离为.

令得直线的直角坐标方程为，

设且，

则，其中，

的取值范围是.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

(1)若，且，求m的值；

(2)若，，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意直接法解不等式，与已知解集相等，可求m的值；

（2）已知可得，，利用绝对值三角不等式证明结论.

【详解】（1）因为，所以，由，得，则，解得，因为，所以，即，故．

（2）证明：由，，得，，则，，

所以，

故．