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2012年广东省深圳市中考数学试卷
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这是一份2012年广东省深圳市中考数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
2．（3分）第八届中国（深圳）文博会以总成交额143 300 000 000元再创新高，将数143 300 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．1.433×1010B．1.433×1011
C．1.433×1012D．0.1433×1012
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣3b＝5abB．a2•a3＝a5C．（2a）3＝6a3D．a6+a3＝a9
5．（3分）体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生成绩的（ ）
A．平均数B．频数分布C．中位数D．方差
6．（3分）如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．120°B．180°C．240°D．300°
7．（3分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）下列命题
①方程x2＝x的解是x＝1； ②4的平方根是2；
③有两边和一角相等的两个三角形全等；
④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形；
其中正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
9．（3分）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径长为（ ）
A．6B．5C．3D．3
10．（3分）已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是 ．
11．（3分）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A．（6+）米B．12米C．（4﹣2）米D．10米
12．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．6B．12C．32D．64
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：a3﹣ab2＝ ．
14．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+6的最小值是 ．
15．（3分）如图，双曲线y＝（k＞0）与⊙O在第一象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线．已知点P坐标为（1，3），则图中阴影部分的面积为 ．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝5，OC＝6，则另一直角边BC的长为 ．
三、解答题：（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，）
17．（5分）计算：|﹣4|+﹣﹣cs45°．
18．（6分）已知a＝﹣3，b＝2，求代数式的值．
19．（7分）为了了解2012年全国中学生创新能力大赛中竞赛项目“知识产权”笔试情况，随机抽查了部分参赛同学的成绩，整理并制作图表如下：
请根据以上图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 ；
（2）在表中：m＝ ，n＝ ；
（3）补全频数分布直方图；
（4）参加比赛的小聪说，他的比赛成绩是所有抽查同学成绩的中位数，据此推断他的成绩落在 分数段内；
（5）如果比赛成绩80分以上（含80分）为优秀，那么你估计该竞赛项目的优秀率大约是 ．
20．（8分）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）设AE＝a，ED＝b，DC＝c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．
21．（8分）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如表所示：
（1）在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？
（2）在“2012年消费促进月”促销活动期间，商家针对这三种节能型产品推出“现金每购1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在（1）的条件下，若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出多少张？
22．（9分）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE＝CE；
（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？
（4）若点P为直线AE上一动点，当CP+DP取最小值时，求P点的坐标．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣2x+b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化．
（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2．
当b＝ 时，直线l：y＝﹣2x+b（b≥0）经过圆心M；
当b＝ 时，直线l：y＝﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切；
（2）若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．
2012年广东省深圳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12分，每小题3分．共36分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选：D．
【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．
2．（3分）第八届中国（深圳）文博会以总成交额143 300 000 000元再创新高，将数143 300 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．1.433×1010B．1.433×1011
C．1.433×1012D．0.1433×1012
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于143 300 000 000有12位，所以可以确定n＝12﹣1＝11．
【解答】解：143 300 000 000＝1.433×1011．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣3b＝5abB．a2•a3＝a5C．（2a）3＝6a3D．a6+a3＝a9
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，分别进行计算，即可选出正确答案．
【解答】解：A、2a与3b不是同类项，不能合并，故A选项错误；
B、a2•a3＝a5，故B选项正确；
C、（2a）3＝8a3，故C选项错误；
D、a6与a3不是同类项，不能合并，故D选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，关键是熟练掌握各种计算的计算法则，不要混淆．
5．（3分）体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生成绩的（ ）
A．平均数B．频数分布C．中位数D．方差
【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生了5次短跑训练成绩的方差．
【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生了5次短跑训练成绩的方差．
故选：D．
【点评】此题主要考查了方差，关键是掌握方差所表示的意义．
6．（3分）如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．120°B．180°C．240°D．300°
【分析】三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360度即可求得∠1+∠2的度数．
【解答】解：根据三角形的内角和定理得：
四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°﹣60°＝120°，
则根据四边形的内角和定理得：
∠1+∠2＝360°﹣120°＝240°．
故选：C．
【点评】主要考查了三角形及四边形的内角和是360度的实际运用与三角形内角和180度之间的关系．
7．（3分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】让红豆粽的总个数除以粽子的总个数即为小颖吃到红豆粽的概率．
【解答】解：P（红豆粽）＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（3分）下列命题
①方程x2＝x的解是x＝1；
②4的平方根是2；
③有两边和一角相等的两个三角形全等；
④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形；
其中正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】①运用因式分解法求出方程的解即可判断；
②根据平方根的定义即可判断；
③根据全等三角形的判定方法即可判断；
④根据平行四边形的判定方法即可判断．
【解答】解：①方程x2＝x的解是x1＝0，x2＝1，故错误；
②4的平方根是±2，故错误；
③有两边和夹角相等的两个三角形全等，故错误；
④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形，正确．
故正确的个数有1个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了命题与定理，解一元二次方程﹣因式分解法，平方根，全等三角形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，综合性较强，但难度不大．
9．（3分）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径长为（ ）
A．6B．5C．3D．3
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB的度数，由圆周角定理可知∠AOB＝90°，故可得出∠ABO的度数，根据直角三角形的性质即可得出AB的长，进而得出结论．
【解答】解：∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO＝120°，
∴∠BAO＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB是⊙C的直径，
∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝90°﹣60°＝30°，
∵点A的坐标为（0，3），
∴OA＝3，
∴AB＝2OA＝6，
∴⊙C的半径长＝＝3．
故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理及直角三角形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．
10．（3分）已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是 ．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”，再根据各象限内的点的坐标的特点列出不等式组求解即可．
【解答】解：∵点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，
∴点P在第四象限，
∴，
解不等式①得，a＞﹣1，
解不等式②得，a＜，
所以，不等式组的解集是﹣1＜a＜，
故答案为：﹣1＜a＜．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，以及各象限内点的坐标的特点，判断出点P在第四象限是解题的关键．
11．（3分）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A．（6+）米B．12米C．（4﹣2）米D．10米
【分析】延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．
【解答】解：延长AC交BF延长线于D点，
则∠CFE＝30°，作CE⊥BD于E，
在Rt△CFE中，∠CFE＝30°，CF＝4m，
∴CE＝2（米），EF＝4cs30°＝2（米），
在Rt△CED中，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE＝2（米），CE：DE＝1：2，
∴DE＝4（米），
∴BD＝BF+EF+ED＝12+2（米）
在Rt△ABD中，AB＝BD＝（12+2）＝（+6）（米）．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．
12．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．6B．12C．32D．64
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．
【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：A6B6＝32B1A2＝32．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2进而发现规律是解题关键．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：a3﹣ab2＝ a（a+b）（a﹣b） ．
【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
【解答】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式．
本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．
14．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+6的最小值是 5 ．
【分析】利用配方法将原函数关系式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值．
【解答】解：y＝x2﹣2x+6＝x2﹣2x+1+5
＝（x﹣1）2+5，
可见，二次函数的最小值为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了二次函数的最值，将原式化为顶点式是解题的关键．
15．（3分）如图，双曲线y＝（k＞0）与⊙O在第一象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线．已知点P坐标为（1，3），则图中阴影部分的面积为 4 ．
【分析】由于⊙O和y＝（k＞0）都关于y＝x对称，于是易求Q点坐标是（3，1），那么阴影面积等于两个面积相等矩形的面积减去2个边长是1的正方形的面积．
【解答】解：∵⊙O在第一象限关于y＝x对称，
y＝（k＞0）也关于y＝x对称，
P点坐标是（1，3），
∴Q点的坐标是（3，1），
∴S阴影＝1×3+1×3﹣2×1×1＝4．
故答案是4．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是知道反比例函数在k＞0时关于y＝x对称．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝5，OC＝6，则另一直角边BC的长为 7 ．
【分析】过O作OF垂直于BC，再过A作AM垂直于OF，由四边形ABDE为正方形，得到OA＝OB，∠AOB为直角，可得出两个角互余，再由AM垂直于MO，得到△AOM为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，OA＝OB，利用AAS可得出△AOM与△BOF全等，由全等三角形的对应边相等可得出AM＝OF，OM＝FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形，根据矩形的对边相等可得出AC＝MF，AM＝CF，等量代换可得出CF＝OF，即△COF为等腰直角三角形，由斜边OC的长，利用勾股定理求出OF与CF的长，根据OF﹣MF求出OM的长，即为FB的长，由CF+FB即可求出BC的长．
【解答】解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠AOM+∠BOF＝90°，
又∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠BOF＝∠OAM，
在△AOM和△BOF中，
，
∴△AOM≌△BOF（AAS），
∴AM＝OF，OM＝FB，
又∠ACB＝∠AMF＝∠CFM＝90°，
∴四边形ACFM为矩形，
∴AM＝CF，AC＝MF＝5，
∴OF＝CF，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∵OC＝6，
∴根据勾股定理得：CF2+OF2＝OC2，
解得：CF＝OF＝6，
∴FB＝OM＝OF﹣FM＝6﹣5＝1，
则BC＝CF+BF＝6+1＝7．
故答案为：7．
解法二：如图2所示，
过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．
易证△OMA≌△ONB，∴OM＝ON，MA＝NB．
∴O点在∠ACB的平分线上，
∴△OCM为等腰直角三角形．
∵OC＝6，
∴CM＝ON＝6．
∴MA＝CM﹣AC＝6﹣5＝1，
∴BC＝CN+NB＝6+1＝7．
故答案为：7．
【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的判定，利用了转化及等量代换的思想，根据题意作出相应的辅助线是解本题的关键．
三、解答题：（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，）
17．（5分）计算：|﹣4|+﹣﹣cs45°．
【分析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、0指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝4+2﹣1﹣2×
＝5﹣2
＝3．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握绝对值、负整数指数幂、0指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值等考点的运算．
18．（6分）已知a＝﹣3，b＝2，求代数式的值．
【分析】将所求式子括号中的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，后一项分子利用完全平方式分解因式后约分，得到最简结果，然后将a与b的值代入化简后的式子中计算，即可得到所求式子的值．
【解答】解：
＝÷
＝÷（a+b）
＝，
当a＝﹣3，b＝2时，
原式＝＝﹣．
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分．
19．（7分）为了了解2012年全国中学生创新能力大赛中竞赛项目“知识产权”笔试情况，随机抽查了部分参赛同学的成绩，整理并制作图表如下：
请根据以上图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 300 ；
（2）在表中：m＝ 120 ，n＝ 0.3 ；
（3）补全频数分布直方图；
（4）参加比赛的小聪说，他的比赛成绩是所有抽查同学成绩的中位数，据此推断他的成绩落在 80～90 分数段内；
（5）如果比赛成绩80分以上（含80分）为优秀，那么你估计该竞赛项目的优秀率大约是 60% ．
【分析】（1）利用第一组的频数除以频率即可得到样本容量；
（2）90÷300即为70≤x＜80组频率，可求出n的值；300×0.4即为80≤x＜90组频数，m的值；
（3）根据80≤x＜90组频数即可补全直方图；
（4）根据中位数定义，找到位于中间位置的两个数所在的组即可．
（5）将比赛成绩80分以上的两组数的频率相加即可得到计该竞赛项目的优秀率．
【解答】解：（1）此次调查的样本容量为30÷0.1＝300；
（2）n＝＝0.3；m＝0.4×300＝120；
（3）如图：
（4）中位数为第150个数据和第151个数据的平均数，而第150个数据和第151个数据位于80≤x＜90这一组，故中位数位于80≤x＜90这一组；
（5）将80≤x＜90和90≤x≤100这两组的频率相加即可得到优秀率，优秀率为60%．
【点评】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、频率分布表、中位数等知识，要具有读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20．（8分）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）设AE＝a，ED＝b，DC＝c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．
【分析】（1）由矩形ABCD与折叠的性质，易证得△CEF是等腰三角形，即CE＝CF，即可证得AF＝CF＝CE＝AE，即可得四边形AFCE为菱形；
（2）由折叠的性质，可得CE＝AE＝a，在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2＝b2+c2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF＝∠EFC，
由折叠的性质，可得：∠AEF＝∠CEF，AE＝CE，AF＝CF，
∴∠EFC＝∠CEF，
∴CF＝CE，
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∴四边形AFCE为菱形；
（2）a、b、c三者之间的数量关系式为：a2＝b2+c2．
理由：由折叠的性质，得：CE＝AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵AE＝a，ED＝b，DC＝c，
∴CE＝AE＝a，
在Rt△DCE中，CE2＝CD2+DE2，
∴a、b、c三者之间的数量关系式为：a2＝b2+c2．
【点评】此题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
21．（8分）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如表所示：
（1）在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？
（2）在“2012年消费促进月”促销活动期间，商家针对这三种节能型产品推出“现金每购1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在（1）的条件下，若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出多少张？
【分析】（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40﹣2x）台，根据空调的数量不超过电视机的数量的3倍，且x以及40﹣2x都是非负整数，即可确定x的范围，从而确定进货方案；
（2）三种电器在活动期间全部售出的金额，可以表示成x的函数，根据函数的性质，即可确定y的最大值，从而确定所要送出的消费券的最大数目．
【解答】解：（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40﹣2x）台，
根据题意得：，
解得：8≤x≤10，
根据x是整数，则从8到10共有3个正整数，分别是8、9、10，因而有3种方案：
方案一：电视机8台、洗衣机8台、空调24台；
方案二：电视机9台、洗衣机9台、空调22台；
方案三：电视机10台、洗衣机10台、空调20台．
（2）三种电器在活动期间全部售出的金额y＝5500x+2160x+2700（40﹣2x），
即y＝2260x+108000．
由一次函数性质可知：当x＝10最大时，y的值最大值是：2260×10+108000＝130600（元）．
由现金每购1000元送50元家电消费券一张，可知130600元的销售总额最多送出130张消费券．
【点评】本题考查了不等式组的应用以及一次函数的应用，正确确定x的条件是解题的关键．
22．（9分）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE＝CE；
（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？
（4）若点P为直线AE上一动点，当CP+DP取最小值时，求P点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数发求解即可得出抛物线的解析式；
（2）求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论；
（3）求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，由题意得∠ABF＝∠CBA，然后判断出是否等于即可作出判断．
【解答】方法一：
解：（1）设函数解析式为：y＝ax2+bx+c，
由函数经过点A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6），
可得，
解得：，
故经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
由题意得：，
解得：，
即直线BC的解析式为y＝﹣2x+2．
故可得点E的坐标为（0，2），
从而可得：AE＝＝2，CE＝＝2，
故可得出AE＝CE；
（3）相似．理由如下：
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
即直线AD的解析式为y＝x+4．
联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，
解得：，
即点F的坐标为（﹣，），
则BF＝＝，
又∵AB＝5，BC＝＝3，
∴＝，＝，
∴＝，
又∵∠ABF＝∠CBA，
∴△ABF∽△CBA．
故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似．
方法二：
（1）略．
（2）略．
（3）若△ABF∽△ABC，则，即AB2＝BF×BC，
∵A（﹣4，0），D（0，4），
∴lAD：y＝x+4，lBC：y＝﹣2x+2，
∴lAD与lBC的交点F（﹣，），
∴AB＝5，BF＝，BC＝3，
∴AB2＝25，BF×BC＝×3＝25，
∴AB2＝BF×BC，
又∵∠ABC＝∠ABC，
∴△ABF∽△ABC．
（4）由（3）知：KAE＝，KCE＝﹣2，
∴KAE×KCE＝﹣1，
∴AE⊥CE，
过C点作直线AE的对称点C，点E为CC′的中点，
∴，，
∵C（﹣2，6），E（0，2），
∴C′X＝2，C′Y＝﹣2，
∵D（0，4），∴lC′D：y＝﹣3x+4，
∵lAE：y＝x+2，
∴lC′D与lAE的交点P（，）．
【点评】此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离公式，解答本题要求我们仔细审题，将所学知识联系起来，综合解答．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣2x+b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化．
（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2．
当b＝ 10 时，直线l：y＝﹣2x+b（b≥0）经过圆心M；
当b＝ 10±2 时，直线l：y＝﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切；
（2）若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．
【分析】（1）①当直线经过圆心M（4，2）时，将圆心坐标代入直线解析式，即可求得b的值；
②当若直线与⊙M相切，如答图1所示，应有两条符合条件的切线，不要遗漏．
欲求此时b的值，可以先求出切点P的坐标，代入解析式即可；欲求切点P的坐标，可以构造相似三角形△PMN∽△BAO，求得PN＝2MN，然后在Rt△PMN中利用勾股定理求出MN和PN，最后求出P点坐标；
（2）本问关键是弄清直线扫过矩形ABCD的运动过程，可以分为五个阶段，分别求出每一阶段S的表达式，如答图2﹣4所示．
【解答】解：（1）①直线l：y＝﹣2x+b（b≥0）经过圆心M（4，2）时，则有：2＝﹣2×4+b，∴b＝10；
②若直线l：y＝﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切，如答图1所示，应有两条符合条件的切线．
设直线与x轴、y轴交于A、B点，则A（，0）、B（0，b），∴OB＝2OA．
由题意，可知⊙M与x轴相切，设切点为D，连接MD；
设直线与⊙M的一个切点为P，连接MP并延长交x轴于点G；
过P点作PN⊥MD于点N，PH⊥x轴于点H．
易证△PMN∽△BAO，
∴PN：MN＝OB：OA＝2：1，
∴PN＝2MN．
在Rt△PMN中，由勾股定理得：PM2＝PN2+MN2，解得：MN＝，PN＝，
∴PH＝ND＝MD﹣MN＝2﹣，OH＝OD﹣HD＝OD﹣PN＝4﹣，
∴P（4﹣，2﹣），代入直线解析式求得：b＝10﹣2；
同理，当切线位于另外一侧时，可求得：b＝10+2．
（2）由题意，可知矩形ABCD顶点D的坐标为（2，2）．
由一次函数的性质可知，当b由小到大变化时，直线l：y＝﹣2x+b（b≥0）向右平移，依次扫过矩形ABCD的不同部分．
可得当直线经过A（2，0）时，b＝4；当直线经过D（2，2）时，b＝6；当直线经过B（6，0）时，b＝12；当直线经过C（6，2）时，b＝14．
①当0≤b≤4时，S＝0；
②当4＜b≤6时，如答图2所示．
设直线l：y＝﹣2x+b与x轴交于点P，与AD交于点Q．
令y＝0，可得x＝，∴AP＝﹣2；
令x＝2，可得y＝b﹣4，∴AQ＝b﹣4．
∴S＝S△APQ＝AP•AQ＝（﹣2）（b﹣4）＝b2﹣2b+4；
③当6＜b≤12时，如答图3所示．
设直线l：y＝﹣2x+b与x轴交于点P，与CD交于点Q．
令y＝0，可得x＝，∴AP＝﹣2；
令y＝2，可得x＝﹣1，∴DQ＝﹣3．
S＝S梯形APQD＝（DQ+AP）•AD＝b﹣5；
④当12＜b≤14时，如答图4所示．
设直线l：y＝﹣2x+b与BC交于点P，与CD交于点Q．
令x＝6，可得y＝b﹣12，∴BP＝b﹣12，CP＝14﹣b；
令y＝2，可得x＝﹣1，∴DQ＝﹣3，CQ＝7﹣．
S＝S矩形ABCD﹣S△PQC＝8﹣CP•CQ＝b2+7b﹣41；
⑤当b＞14时，S＝S矩形ABCD＝8．
综上所述，当b由小到大变化时，S与b的函数关系式为：
．
【点评】本题是动线型压轴题，综合考查了一次函数的图象与性质、圆的切线性质、相似三角形、矩形、梯形、勾股定理以及图形面积等重要知识点，涉及的考点较多，难度较大，对同学们的解题能力提出了很高的要求．本题的难点在于：（I）第（1）②问中，圆的切线有两条，容易遗漏．求切点坐标时候，注意运用相似关系化简运算；（II）第（2）问中，动直线的运动过程分析是难点，注意划分为五个阶段，分别求出每个阶段S的表达式．
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日期：2021/4/25 10:46:31；用户：初中数学；邮箱：sxljy01@xyh.cm；学号：24425668
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频数
频率
60≤x＜70
30
0.1
70≤x＜80
90
n
80≤x＜90
m
0.4
90≤x≤100
60
0.2
价格
种类
进价
（元/台）
售价
（元/台）
电视机
5000
5500
洗衣机
2000
2160
空 调
2400
2700
分数段
频数
频率
60≤x＜70
30
0.1
70≤x＜80
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n
80≤x＜90
m
0.4
90≤x≤100
60
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价格
种类
进价
（元/台）
售价
（元/台）
电视机
5000
5500
洗衣机
2000
2160
空 调
2400
2700
1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
2．（3分）第八届中国（深圳）文博会以总成交额143 300 000 000元再创新高，将数143 300 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．1.433×1010B．1.433×1011
C．1.433×1012D．0.1433×1012
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣3b＝5abB．a2•a3＝a5C．（2a）3＝6a3D．a6+a3＝a9
5．（3分）体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生成绩的（ ）
A．平均数B．频数分布C．中位数D．方差
6．（3分）如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．120°B．180°C．240°D．300°
7．（3分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）下列命题
①方程x2＝x的解是x＝1； ②4的平方根是2；
③有两边和一角相等的两个三角形全等；
④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形；
其中正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
9．（3分）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径长为（ ）
A．6B．5C．3D．3
10．（3分）已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是 ．
11．（3分）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A．（6+）米B．12米C．（4﹣2）米D．10米
12．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．6B．12C．32D．64
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：a3﹣ab2＝ ．
14．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+6的最小值是 ．
15．（3分）如图，双曲线y＝（k＞0）与⊙O在第一象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线．已知点P坐标为（1，3），则图中阴影部分的面积为 ．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝5，OC＝6，则另一直角边BC的长为 ．
三、解答题：（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，）
17．（5分）计算：|﹣4|+﹣﹣cs45°．
18．（6分）已知a＝﹣3，b＝2，求代数式的值．
19．（7分）为了了解2012年全国中学生创新能力大赛中竞赛项目“知识产权”笔试情况，随机抽查了部分参赛同学的成绩，整理并制作图表如下：
请根据以上图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 ；
（2）在表中：m＝ ，n＝ ；
（3）补全频数分布直方图；
（4）参加比赛的小聪说，他的比赛成绩是所有抽查同学成绩的中位数，据此推断他的成绩落在 分数段内；
（5）如果比赛成绩80分以上（含80分）为优秀，那么你估计该竞赛项目的优秀率大约是 ．
20．（8分）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）设AE＝a，ED＝b，DC＝c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．
21．（8分）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如表所示：
（1）在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？
（2）在“2012年消费促进月”促销活动期间，商家针对这三种节能型产品推出“现金每购1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在（1）的条件下，若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出多少张？
22．（9分）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE＝CE；
（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？
（4）若点P为直线AE上一动点，当CP+DP取最小值时，求P点的坐标．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣2x+b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化．
（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2．
当b＝ 时，直线l：y＝﹣2x+b（b≥0）经过圆心M；
当b＝ 时，直线l：y＝﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切；
（2）若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．
2012年广东省深圳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12分，每小题3分．共36分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选：D．
【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．
2．（3分）第八届中国（深圳）文博会以总成交额143 300 000 000元再创新高，将数143 300 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．1.433×1010B．1.433×1011
C．1.433×1012D．0.1433×1012
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于143 300 000 000有12位，所以可以确定n＝12﹣1＝11．
【解答】解：143 300 000 000＝1.433×1011．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣3b＝5abB．a2•a3＝a5C．（2a）3＝6a3D．a6+a3＝a9
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，分别进行计算，即可选出正确答案．
【解答】解：A、2a与3b不是同类项，不能合并，故A选项错误；
B、a2•a3＝a5，故B选项正确；
C、（2a）3＝8a3，故C选项错误；
D、a6与a3不是同类项，不能合并，故D选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，关键是熟练掌握各种计算的计算法则，不要混淆．
5．（3分）体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生成绩的（ ）
A．平均数B．频数分布C．中位数D．方差
【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生了5次短跑训练成绩的方差．
【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生了5次短跑训练成绩的方差．
故选：D．
【点评】此题主要考查了方差，关键是掌握方差所表示的意义．
6．（3分）如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．120°B．180°C．240°D．300°
【分析】三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360度即可求得∠1+∠2的度数．
【解答】解：根据三角形的内角和定理得：
四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°﹣60°＝120°，
则根据四边形的内角和定理得：
∠1+∠2＝360°﹣120°＝240°．
故选：C．
【点评】主要考查了三角形及四边形的内角和是360度的实际运用与三角形内角和180度之间的关系．
7．（3分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】让红豆粽的总个数除以粽子的总个数即为小颖吃到红豆粽的概率．
【解答】解：P（红豆粽）＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（3分）下列命题
①方程x2＝x的解是x＝1；
②4的平方根是2；
③有两边和一角相等的两个三角形全等；
④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形；
其中正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】①运用因式分解法求出方程的解即可判断；
②根据平方根的定义即可判断；
③根据全等三角形的判定方法即可判断；
④根据平行四边形的判定方法即可判断．
【解答】解：①方程x2＝x的解是x1＝0，x2＝1，故错误；
②4的平方根是±2，故错误；
③有两边和夹角相等的两个三角形全等，故错误；
④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形，正确．
故正确的个数有1个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了命题与定理，解一元二次方程﹣因式分解法，平方根，全等三角形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，综合性较强，但难度不大．
9．（3分）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径长为（ ）
A．6B．5C．3D．3
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB的度数，由圆周角定理可知∠AOB＝90°，故可得出∠ABO的度数，根据直角三角形的性质即可得出AB的长，进而得出结论．
【解答】解：∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO＝120°，
∴∠BAO＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB是⊙C的直径，
∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝90°﹣60°＝30°，
∵点A的坐标为（0，3），
∴OA＝3，
∴AB＝2OA＝6，
∴⊙C的半径长＝＝3．
故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理及直角三角形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．
10．（3分）已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是 ．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”，再根据各象限内的点的坐标的特点列出不等式组求解即可．
【解答】解：∵点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，
∴点P在第四象限，
∴，
解不等式①得，a＞﹣1，
解不等式②得，a＜，
所以，不等式组的解集是﹣1＜a＜，
故答案为：﹣1＜a＜．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，以及各象限内点的坐标的特点，判断出点P在第四象限是解题的关键．
11．（3分）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A．（6+）米B．12米C．（4﹣2）米D．10米
【分析】延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．
【解答】解：延长AC交BF延长线于D点，
则∠CFE＝30°，作CE⊥BD于E，
在Rt△CFE中，∠CFE＝30°，CF＝4m，
∴CE＝2（米），EF＝4cs30°＝2（米），
在Rt△CED中，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE＝2（米），CE：DE＝1：2，
∴DE＝4（米），
∴BD＝BF+EF+ED＝12+2（米）
在Rt△ABD中，AB＝BD＝（12+2）＝（+6）（米）．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．
12．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．6B．12C．32D．64
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．
【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：A6B6＝32B1A2＝32．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2进而发现规律是解题关键．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：a3﹣ab2＝ a（a+b）（a﹣b） ．
【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
【解答】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式．
本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．
14．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+6的最小值是 5 ．
【分析】利用配方法将原函数关系式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值．
【解答】解：y＝x2﹣2x+6＝x2﹣2x+1+5
＝（x﹣1）2+5，
可见，二次函数的最小值为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了二次函数的最值，将原式化为顶点式是解题的关键．
15．（3分）如图，双曲线y＝（k＞0）与⊙O在第一象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线．已知点P坐标为（1，3），则图中阴影部分的面积为 4 ．
【分析】由于⊙O和y＝（k＞0）都关于y＝x对称，于是易求Q点坐标是（3，1），那么阴影面积等于两个面积相等矩形的面积减去2个边长是1的正方形的面积．
【解答】解：∵⊙O在第一象限关于y＝x对称，
y＝（k＞0）也关于y＝x对称，
P点坐标是（1，3），
∴Q点的坐标是（3，1），
∴S阴影＝1×3+1×3﹣2×1×1＝4．
故答案是4．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是知道反比例函数在k＞0时关于y＝x对称．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝5，OC＝6，则另一直角边BC的长为 7 ．
【分析】过O作OF垂直于BC，再过A作AM垂直于OF，由四边形ABDE为正方形，得到OA＝OB，∠AOB为直角，可得出两个角互余，再由AM垂直于MO，得到△AOM为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，OA＝OB，利用AAS可得出△AOM与△BOF全等，由全等三角形的对应边相等可得出AM＝OF，OM＝FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形，根据矩形的对边相等可得出AC＝MF，AM＝CF，等量代换可得出CF＝OF，即△COF为等腰直角三角形，由斜边OC的长，利用勾股定理求出OF与CF的长，根据OF﹣MF求出OM的长，即为FB的长，由CF+FB即可求出BC的长．
【解答】解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠AOM+∠BOF＝90°，
又∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠BOF＝∠OAM，
在△AOM和△BOF中，
，
∴△AOM≌△BOF（AAS），
∴AM＝OF，OM＝FB，
又∠ACB＝∠AMF＝∠CFM＝90°，
∴四边形ACFM为矩形，
∴AM＝CF，AC＝MF＝5，
∴OF＝CF，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∵OC＝6，
∴根据勾股定理得：CF2+OF2＝OC2，
解得：CF＝OF＝6，
∴FB＝OM＝OF﹣FM＝6﹣5＝1，
则BC＝CF+BF＝6+1＝7．
故答案为：7．
解法二：如图2所示，
过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．
易证△OMA≌△ONB，∴OM＝ON，MA＝NB．
∴O点在∠ACB的平分线上，
∴△OCM为等腰直角三角形．
∵OC＝6，
∴CM＝ON＝6．
∴MA＝CM﹣AC＝6﹣5＝1，
∴BC＝CN+NB＝6+1＝7．
故答案为：7．
【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的判定，利用了转化及等量代换的思想，根据题意作出相应的辅助线是解本题的关键．
三、解答题：（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，）
17．（5分）计算：|﹣4|+﹣﹣cs45°．
【分析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、0指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝4+2﹣1﹣2×
＝5﹣2
＝3．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握绝对值、负整数指数幂、0指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值等考点的运算．
18．（6分）已知a＝﹣3，b＝2，求代数式的值．
【分析】将所求式子括号中的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，后一项分子利用完全平方式分解因式后约分，得到最简结果，然后将a与b的值代入化简后的式子中计算，即可得到所求式子的值．
【解答】解：
＝÷
＝÷（a+b）
＝，
当a＝﹣3，b＝2时，
原式＝＝﹣．
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分．
19．（7分）为了了解2012年全国中学生创新能力大赛中竞赛项目“知识产权”笔试情况，随机抽查了部分参赛同学的成绩，整理并制作图表如下：
请根据以上图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 300 ；
（2）在表中：m＝ 120 ，n＝ 0.3 ；
（3）补全频数分布直方图；
（4）参加比赛的小聪说，他的比赛成绩是所有抽查同学成绩的中位数，据此推断他的成绩落在 80～90 分数段内；
（5）如果比赛成绩80分以上（含80分）为优秀，那么你估计该竞赛项目的优秀率大约是 60% ．
【分析】（1）利用第一组的频数除以频率即可得到样本容量；
（2）90÷300即为70≤x＜80组频率，可求出n的值；300×0.4即为80≤x＜90组频数，m的值；
（3）根据80≤x＜90组频数即可补全直方图；
（4）根据中位数定义，找到位于中间位置的两个数所在的组即可．
（5）将比赛成绩80分以上的两组数的频率相加即可得到计该竞赛项目的优秀率．
【解答】解：（1）此次调查的样本容量为30÷0.1＝300；
（2）n＝＝0.3；m＝0.4×300＝120；
（3）如图：
（4）中位数为第150个数据和第151个数据的平均数，而第150个数据和第151个数据位于80≤x＜90这一组，故中位数位于80≤x＜90这一组；
（5）将80≤x＜90和90≤x≤100这两组的频率相加即可得到优秀率，优秀率为60%．
【点评】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、频率分布表、中位数等知识，要具有读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20．（8分）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）设AE＝a，ED＝b，DC＝c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．
【分析】（1）由矩形ABCD与折叠的性质，易证得△CEF是等腰三角形，即CE＝CF，即可证得AF＝CF＝CE＝AE，即可得四边形AFCE为菱形；
（2）由折叠的性质，可得CE＝AE＝a，在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2＝b2+c2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF＝∠EFC，
由折叠的性质，可得：∠AEF＝∠CEF，AE＝CE，AF＝CF，
∴∠EFC＝∠CEF，
∴CF＝CE，
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∴四边形AFCE为菱形；
（2）a、b、c三者之间的数量关系式为：a2＝b2+c2．
理由：由折叠的性质，得：CE＝AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵AE＝a，ED＝b，DC＝c，
∴CE＝AE＝a，
在Rt△DCE中，CE2＝CD2+DE2，
∴a、b、c三者之间的数量关系式为：a2＝b2+c2．
【点评】此题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
21．（8分）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如表所示：
（1）在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？
（2）在“2012年消费促进月”促销活动期间，商家针对这三种节能型产品推出“现金每购1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在（1）的条件下，若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出多少张？
【分析】（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40﹣2x）台，根据空调的数量不超过电视机的数量的3倍，且x以及40﹣2x都是非负整数，即可确定x的范围，从而确定进货方案；
（2）三种电器在活动期间全部售出的金额，可以表示成x的函数，根据函数的性质，即可确定y的最大值，从而确定所要送出的消费券的最大数目．
【解答】解：（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40﹣2x）台，
根据题意得：，
解得：8≤x≤10，
根据x是整数，则从8到10共有3个正整数，分别是8、9、10，因而有3种方案：
方案一：电视机8台、洗衣机8台、空调24台；
方案二：电视机9台、洗衣机9台、空调22台；
方案三：电视机10台、洗衣机10台、空调20台．
（2）三种电器在活动期间全部售出的金额y＝5500x+2160x+2700（40﹣2x），
即y＝2260x+108000．
由一次函数性质可知：当x＝10最大时，y的值最大值是：2260×10+108000＝130600（元）．
由现金每购1000元送50元家电消费券一张，可知130600元的销售总额最多送出130张消费券．
【点评】本题考查了不等式组的应用以及一次函数的应用，正确确定x的条件是解题的关键．
22．（9分）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE＝CE；
（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？
（4）若点P为直线AE上一动点，当CP+DP取最小值时，求P点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数发求解即可得出抛物线的解析式；
（2）求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论；
（3）求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，由题意得∠ABF＝∠CBA，然后判断出是否等于即可作出判断．
【解答】方法一：
解：（1）设函数解析式为：y＝ax2+bx+c，
由函数经过点A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6），
可得，
解得：，
故经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
由题意得：，
解得：，
即直线BC的解析式为y＝﹣2x+2．
故可得点E的坐标为（0，2），
从而可得：AE＝＝2，CE＝＝2，
故可得出AE＝CE；
（3）相似．理由如下：
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
即直线AD的解析式为y＝x+4．
联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，
解得：，
即点F的坐标为（﹣，），
则BF＝＝，
又∵AB＝5，BC＝＝3，
∴＝，＝，
∴＝，
又∵∠ABF＝∠CBA，
∴△ABF∽△CBA．
故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似．
方法二：
（1）略．
（2）略．
（3）若△ABF∽△ABC，则，即AB2＝BF×BC，
∵A（﹣4，0），D（0，4），
∴lAD：y＝x+4，lBC：y＝﹣2x+2，
∴lAD与lBC的交点F（﹣，），
∴AB＝5，BF＝，BC＝3，
∴AB2＝25，BF×BC＝×3＝25，
∴AB2＝BF×BC，
又∵∠ABC＝∠ABC，
∴△ABF∽△ABC．
（4）由（3）知：KAE＝，KCE＝﹣2，
∴KAE×KCE＝﹣1，
∴AE⊥CE，
过C点作直线AE的对称点C，点E为CC′的中点，
∴，，
∵C（﹣2，6），E（0，2），
∴C′X＝2，C′Y＝﹣2，
∵D（0，4），∴lC′D：y＝﹣3x+4，
∵lAE：y＝x+2，
∴lC′D与lAE的交点P（，）．
【点评】此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离公式，解答本题要求我们仔细审题，将所学知识联系起来，综合解答．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣2x+b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化．
（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2．
当b＝ 10 时，直线l：y＝﹣2x+b（b≥0）经过圆心M；
当b＝ 10±2 时，直线l：y＝﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切；
（2）若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．
【分析】（1）①当直线经过圆心M（4，2）时，将圆心坐标代入直线解析式，即可求得b的值；
②当若直线与⊙M相切，如答图1所示，应有两条符合条件的切线，不要遗漏．
欲求此时b的值，可以先求出切点P的坐标，代入解析式即可；欲求切点P的坐标，可以构造相似三角形△PMN∽△BAO，求得PN＝2MN，然后在Rt△PMN中利用勾股定理求出MN和PN，最后求出P点坐标；
（2）本问关键是弄清直线扫过矩形ABCD的运动过程，可以分为五个阶段，分别求出每一阶段S的表达式，如答图2﹣4所示．
【解答】解：（1）①直线l：y＝﹣2x+b（b≥0）经过圆心M（4，2）时，则有：2＝﹣2×4+b，∴b＝10；
②若直线l：y＝﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切，如答图1所示，应有两条符合条件的切线．
设直线与x轴、y轴交于A、B点，则A（，0）、B（0，b），∴OB＝2OA．
由题意，可知⊙M与x轴相切，设切点为D，连接MD；
设直线与⊙M的一个切点为P，连接MP并延长交x轴于点G；
过P点作PN⊥MD于点N，PH⊥x轴于点H．
易证△PMN∽△BAO，
∴PN：MN＝OB：OA＝2：1，
∴PN＝2MN．
在Rt△PMN中，由勾股定理得：PM2＝PN2+MN2，解得：MN＝，PN＝，
∴PH＝ND＝MD﹣MN＝2﹣，OH＝OD﹣HD＝OD﹣PN＝4﹣，
∴P（4﹣，2﹣），代入直线解析式求得：b＝10﹣2；
同理，当切线位于另外一侧时，可求得：b＝10+2．
（2）由题意，可知矩形ABCD顶点D的坐标为（2，2）．
由一次函数的性质可知，当b由小到大变化时，直线l：y＝﹣2x+b（b≥0）向右平移，依次扫过矩形ABCD的不同部分．
可得当直线经过A（2，0）时，b＝4；当直线经过D（2，2）时，b＝6；当直线经过B（6，0）时，b＝12；当直线经过C（6，2）时，b＝14．
①当0≤b≤4时，S＝0；
②当4＜b≤6时，如答图2所示．
设直线l：y＝﹣2x+b与x轴交于点P，与AD交于点Q．
令y＝0，可得x＝，∴AP＝﹣2；
令x＝2，可得y＝b﹣4，∴AQ＝b﹣4．
∴S＝S△APQ＝AP•AQ＝（﹣2）（b﹣4）＝b2﹣2b+4；
③当6＜b≤12时，如答图3所示．
设直线l：y＝﹣2x+b与x轴交于点P，与CD交于点Q．
令y＝0，可得x＝，∴AP＝﹣2；
令y＝2，可得x＝﹣1，∴DQ＝﹣3．
S＝S梯形APQD＝（DQ+AP）•AD＝b﹣5；
④当12＜b≤14时，如答图4所示．
设直线l：y＝﹣2x+b与BC交于点P，与CD交于点Q．
令x＝6，可得y＝b﹣12，∴BP＝b﹣12，CP＝14﹣b；
令y＝2，可得x＝﹣1，∴DQ＝﹣3，CQ＝7﹣．
S＝S矩形ABCD﹣S△PQC＝8﹣CP•CQ＝b2+7b﹣41；
⑤当b＞14时，S＝S矩形ABCD＝8．
综上所述，当b由小到大变化时，S与b的函数关系式为：
．
【点评】本题是动线型压轴题，综合考查了一次函数的图象与性质、圆的切线性质、相似三角形、矩形、梯形、勾股定理以及图形面积等重要知识点，涉及的考点较多，难度较大，对同学们的解题能力提出了很高的要求．本题的难点在于：（I）第（1）②问中，圆的切线有两条，容易遗漏．求切点坐标时候，注意运用相似关系化简运算；（II）第（2）问中，动直线的运动过程分析是难点，注意划分为五个阶段，分别求出每个阶段S的表达式．
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60≤x＜70
30
0.1
70≤x＜80
90
n
80≤x＜90
m
0.4
90≤x≤100
60
0.2
价格
种类
进价
（元/台）
售价
（元/台）
电视机
5000
5500
洗衣机
2000
2160
空 调
2400
2700
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