2022-2023学年山西省太原市高二上学期期末数学试题含解析
展开1. 已知等差数列中,,公差,则等于()
A. B. C. 24D. 27
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据等差数列通项即可得到,代入计算即可.
【详解】由题意得,
故选:B.
2. 抛物线的焦点坐标为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线方程直接求出焦点坐标作答.
【详解】抛物线的焦点在x轴上,其坐标为.
故选:D
3. 已知某物体在平面上作变速直线运动,且位移(单位:米)与时间(单位:秒)之间的关系可用函数:表示,则该物体在秒时的瞬时速度为()
A. 米/秒B. 米/秒C. 米/秒D. 米秒
【答案】A
【解析】
【分析】直接对位移关于时间的函数求导,代入即可.
【详解】由题得,当时,,故瞬时速度为米/秒,
故选;A.
4. 设是等比数列,且,则()
A. 8B. 12C. 16D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】由等比数列的性质求得,再代入中即可求得的值.
【详解】,
.
故选:C.
5. 有一条渐近线为且过点的双曲线的标准方程为()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的渐近线方程,设出双曲线方程,再将已知点代入计算作答.
【详解】依题意,双曲线的渐近线方程为,设所求双曲线的方程为,
因此,即有,
所以所求双曲线的标准方程为.
故选:B
6. 已知数列为等比数列,且,设等差数列的前项和为,若,则()
A. 7B. 14C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比数列的性质求出,再利用等差数列性质及前n项和求解作答.
【详解】等比数列中,,而,解得,即,
等差数列中,.
故选:B
7. 已知曲线,直线分别是曲线与直线上的动点,则的最小值为()
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件,利用点到直线的距离公式求出曲线上点到直线距离最小值作答.
【详解】依题意,设曲线上点,而点在直线上,
由消去x得,,即直线与曲线相离,
则,当且仅当,即,且时取等号,
所以的最小值为.
故选:D
8. 已知函数,若有三个不等零点,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】函数有三个不等零点转化为方程有三个不等实根. 分两种情况讨论:当时,,令,结合的单调性讨论根的情况;当时,得,当时,显然方程无实根;当时,,令,利用导数研究函数的性质,作出函数图象,数形结合得答案.
【详解】由有三个不等零点,等价于有三个不等实根,
当时,,
由,得,
即,
令,
当时,单调递增,故,
故当时,方程无实根;
当时,方程在上有一实根.
当时,,由,得
当时,显然方程无实根;
当时,,令,,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
即当时,函数取得极大值
;;当时,;当时,,
作出函数的图象如图,
要使有三个不等实根,需满足:在上有一实根,在上有两个实根.
由图可知与的图象有两个交点时,,即,
综上,,即实数的取值范围是.
故选:C.
二、多选题(本题共4小题,每小题3分,共12分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得3分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9. 已知数列,满足为的前项和,且,则()
A. 数列为等差数列B.
C. D. 或时,取得最大值
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A,等式移项即可判断,对B,根据等差数列下标和性质求出,则可求出,则得到其通项,对C,直接利用等差数列前项和公式即可判断,对D,利用二次函数性质即可判断.
【详解】对A,,
则数列为等差数列,故A正确,
对B,,则,
则,则,则,则,故B错误,
对C,,则,故C正确,
对D,,开口向下,对称轴为,
,故当或时,取得最大值,故D正确,
故选:ACD.
10. 已知点为抛物线上一点,为抛物线的焦点,则下列结论正确的是()
A. 点的坐标为
B. 点到准线的最小距离为1
C. 若点到焦点的距离为5,则点的纵坐标是4
D. 若点的坐标为,则的最小值为5
【答案】BD
【解析】
【分析】根据给定的抛物线,求出焦点坐标、准线方程判断AB;利用抛物线定义求出点P的横坐标判断C;利用抛物线定义结合几何图形推理计算判断D作答.
【详解】设抛物线上点,,而抛物线的焦点,准线的方程,A错误;
对于B,点P到准线距离为,当且仅当时取等号,即点到准线的最小距离为1,B正确;
对于C,点到焦点的距离为5,即,解得,则,解得,C错误;
对于D,如图,作,垂足分别为,交抛物线于点,连接,
则,当且仅当点重合时取等号,
所以,D正确.
故选:BD
11. 已知函数,下列说法正确的是()
A. 有两个极值点B. 的极大值点为
C. 的极小值为D. 的最大值为
【答案】AB
【解析】
【分析】求出函数的导数,再利用导数求出函数的极值判断ABC,取特值判断D作答.
【详解】函数定义域为R,求导得,
由得:或,由得:,
因此函数在上单调递增,在上单调递减,
于是函数在处取极大值,在处取极小值,C错误;
函数有两个极值点,且是的极大值点,A正确,B正确;
显然,D错误
故选:AB
12. 已知双曲线为双曲线的左、右焦点,若直线过点,且与双曲线的右支交于两点,下列说法正确的是()
A. 双曲线离心率为
B. 若的斜率为2,则的中点为
C. 周长的最小值为10
D. 周长的最小值为16
【答案】BD
【解析】
【分析】对A直接计算离心率即可判断,对B,直接得到直线方程,并联立曲线方程,利用韦达定理即可求出的中点坐标即可判断,对C和D,利用双曲线定义将三角形周长用弦长,则题目转化为求的最值,设线联立方程,再利用弦长公式即可得到答案.
【详解】对A,由双曲线方程得,故,则离心率,故A错误,
对B,由方程知,则直线的方程为,
联立双曲线方程化简得,设,
则,故,而,
则,故的中点为,故B正确,
对C和D,根据双曲线定义得,
两式相加得,
设的周长为,故
,
则题目求周长的最小值转化为求弦长的最小值,
设直线的方程为,联立双曲线方程得
,根据直线与双曲线有两个交点,
则,即,,
当直线与渐近线平行时,此时,
若要直线与双曲线交点在右支上,则,
,
设,则
令,则,
则当,即时,,此时直线方程为,
故的周长的最小值为16,故C错误,D正确,
故选:BD
【点睛】关键点点睛:本题对C,D选项的判断,首先要灵活运用双曲线定义从而得到,然后题目即转化为经典的弦长最值问题,常用的方法是设线法,联立双曲线方程,得到韦达定理式,再利用弦长公式表示出,设直线时因为直线所过定点在轴上,故为了简便运算引入参数,同时要注意双曲线较椭圆更为复杂,尤其是直线与渐近线平行时的特殊情况.
三、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)
13. 抛物线的准线方程是_______
【答案】
【解析】
【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及,再直接代入即可求出其准线方程.
【详解】因为抛物线的标准方程为,焦点在y轴上,
所以:,即,所以,
所以准线方程为:,
故答案是:.
【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质,涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程,属于简单题目.
14. 曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导数及在处的导数值,再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
【详解】依题意,,,
所以曲线在点处的切线方程为,即.
故答案为:
15. 一个正方形被等分成九个相等的小正方形,将最中间的一个正方形挖掉,得图①;再将剩下的每个正方形都分成九个相等的小正方形,并将其最中间的一个正方形挖掉,得图②;如此继续下去,则图③中共挖掉了__________个正方形,请写出每次挖掉的正方形个数所构成的数列的一个递推公式__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据图形得出图③中共挖掉了多少个,与每次挖掉的正方形个数所构成的数列的通项,即可根据等比数列的定义得出递推公式.
【详解】图③中共挖掉了个,
设每次挖掉的正方形个数为,
根据图形得,,,,则,
则递推式为.
故答案为:;.
16. 已知,若对于任意的,不等式恒成立,则的最小值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】先利用同构法将题设不等式转化为,再构造函数,利用导数与函数单调性的关系得到,从而将问题转化为,再次构造函数求得最值即可得解.
【详解】因为,
所以可化为,
令,则,
所以在上递增,
因为,,所以,,,
所以可化为,则,
即在上恒成立,即,
令,则,
令,则;令,则;
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,
所以,即的最小值为.
故答案为:.
【点睛】关键点睛:本题的突破口是利用同构法将题设不等式转化为,从而构造函数得到,由此得解.
四、解答题(本题共5小题,共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)求在上的值域.
【答案】(1)函数在上单调递增,在上单调递减;
(2)
【解析】
【分析】(1)根据导数的正负得出其单调性;
(2)根据第一问的函数单调性得出其值域.
【小问1详解】
函数,则,
当时,,当,,
故函数在上单调递增,在上单调递减;
【小问2详解】
由(1)可得函数在上单调递增,在上单调递减,
且,,
则在上的最大值,最小值,
故在上的值域为.
18. 已知各项为正的等比数列满足,设的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1),
(2)
【解析】
【分析】(1)由题得,解出则可得到通项,降次作差可得,再检验值即可;
(2),利用乘公比错位相减法即可得到.
【小问1详解】
因为为各项为正的等比数列,设公比为q,,
即,解得,所以.
当时,,
当时,,适合上式,
所以
【小问2详解】
设的前项和为,则
,
,
两式相减,得
则.
19. 已知抛物线为坐标原点,过抛物线焦点的直线交抛物线于两点.
(1)若直线的斜率为1,求;
(2)若与的面积之差的绝对值为,求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】(1)先根据题意得到直线的方程,再联立抛物线方程得到的值,从而利用弦长公式即可得解;
(2)假设直线为,联立抛物线方程得到的值,再分别求得与的面积关于的表达式,进而得到关于的方程,解之即可得解.
【小问1详解】
依题意,设,
因为抛物线的焦点为,
又直线的斜率为1,所以直线方程为,
联立,消去,得,
则,
所以.
【小问2详解】
易知直线斜率为时,与抛物线只有一个交点,不合题意;
设直线方程为,
联立,消去,得,
则,
因为,,
所以,解得,
所以直线的方程为或,即或.
说明:请同学们在(A)、(B)两个小题中任选一题作答.
20. 已知双曲线的左、右焦点分别为,离心率为,是上一点.
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线过原点,且与双曲线交于两点,为双曲线上一点(不同于).求直线与直线的斜率之积.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)先由双曲线的离心率求得,再利用点代入求得,从而得解;
(2)根据题意设出的坐标,再利用点差法即可求得,由此得解.
【小问1详解】
因为,所以,即,
所以,所以双曲线,
因为是双曲线上一点,
所以,解得,则
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
依题意,设,
因为直线过原点,且与双曲线交于两点,
所以由双曲线的对称性可得关于原点对称,则,
所以,,
因为为双曲线上的点,所以,
两式相减得,
所以.
所以直线与直线的斜率之积为.
21. 已知双曲线的左、右焦点分别为,离心率为,是上一点.
(1)求双曲线的方程;
(2)直线过点,与双曲线的右支交于两点,点与点关于轴对称,求证:两点所在直线过点.
【答案】(1);
(2)证明负了解析.
【解析】
【分析】(1)根据双曲线离心率可得,再将给定点代入计算作答.
(2)设出直线的方程,与双曲线方程联立,利用韦达定理结合向量共线的坐标表示推理作答.
【小问1详解】
双曲线的离心率,则,即,
又点在上,即,解得,
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
显然直线不垂直于坐标轴,设直线的方程为:,
由(1)知,双曲线渐近线,而直线l与双曲线右支交于两点,则,即,
由消去x并整理得:,
,则,设,则,
于是,则,
而,有,
因此,
即,而有公共点,从而三点共线,
所以两点所在直线过点.
【点睛】思路点睛:圆锥曲线中动直线过已知定点问题,根据条件求出动直线与圆锥曲线的两个交点的坐标关系,再借助共线向量的坐标表示推理解决.
说明:请同学们在(A)、(B)两个小题中任选一题作答.
22. 已知函数.
(1)讨论函数在上单调性;
(2)若有两个极值点,求的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
【分析】(1),分和讨论即可;
(2),题目转化为有两个零点,利用分离参数法得,设,利用导数研究得图像即可得到答案.
【小问1详解】
,,
当,则
若,则在上单调递增;
若,令,即,
则在上单调递增.
令,解得,则在上单调递减,
综上,当时,在上单调递增,
当时,在上单调递增,在上单调递减.
【小问2详解】
,,
因为有两个极值点,所以有两个零点,
显然,1不是的零点,由,得.
即直线与有两个交点,
,
令,
令,解得,
且当时,,当时,
所以在上单调递增,在上单调递减,
而,故,
所以在,和上单调递减,
又在上,趋近于0时,趋近于正无穷,趋近于1时,趋近于负无穷,
故函数在之间存在唯一零点,
在上,趋近于1时, 趋近于正无穷,趋近于正无穷时,趋近于0.
作出图形如下图所示:
所以.
【点睛】关键点睛:本题第二问的关键在于等价转化为导函数在定义域上有两零点,然后利用分离参数法,得到,转化为直线与有两个交点,研究的图象,数形结合即可得到的范围.
23. (B)已知函数.
(1)讨论函数在上的单调性;
(2)若有两个极值点,且,求证:.
(参考数据:)
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)先对求导,再分类讨论与,结合导数与函数单调性的关系即可得解;
(2)先将问题转化为的图像与的图像有两个交点,从而利用导数研究的图像得到;再利用极值点偏移,构造函数证得,由此得证.
【小问1详解】
因为,所以,
因为,所以,
当时,即时,,
则在上单调递增;
当,即时,,,
令,得;令,得,
则在上单调递减,在上单调递增;
综上:当时,在上单调递增;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
【小问2详解】
因为,
所以,
因为有两个极值点,所以有两个零点,即方程有两个根,
令,则的图像与的图像有两个交点,
又,令,得;令,得;
所以在上单调递增,在上单调递减,则,
又当时,,则;当时,,则;
当趋于无穷大时,的增长速率远远小于的增长速率,所以趋于,
由此作出的图像如下:
所以,则,
又,则,
故,
因为,令,则,
令,则,,
令,则,
令,则,
所以在上单调递增,则,即,
所以在上单调递增,则,
故当时,,,则,所以在上单调递增,
又,则,即,所以,
故,即,
又,所以.
【点睛】方法点睛:导函数中常用的两种常用的转化方法:
一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
2022-2023学年山西省太原市高二下学期期中数学试题(含解析): 这是一份2022-2023学年山西省太原市高二下学期期中数学试题(含解析),共16页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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2022-2023学年山西省太原市高一上学期期末数学试题(解析版): 这是一份2022-2023学年山西省太原市高一上学期期末数学试题(解析版),共14页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。