【微点·一轮考点】考向08 二次根式-2023届中考数学一轮复习考点专题复习大全（全国通用）

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1、二次根式：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0时，表示a的算术平方根,其中=0
2、 理解并掌握下列结论：
（1）是非负数（双重非负性）； （2）；
（3）；
口诀：平方再开方，出来带“框框”
3、二次根式的乘法：，反之亦成立
4、二次根式的除法：，反之亦成立
5、满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：
（1)被开方数不含分母，（2）被开方数不含开得尽方的因数或因式。
6、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式。
【题型探究】
题型一：二次根式的概念和性质
1．（2022·湖北黄石·统考中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．且B．且C．D．且
2．（2022·广东广州·广东番禺中学校考三模）若，则等于（ ）
A．1B．5C．D．
3．（2022·湖北黄石·校联考模拟预测）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型二：二次函数的化简
4．（2022·河北·统考中考真题）下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·河北·九年级专题练习），那么的值是（ ）
A．6B．9C．12D．27
6．（2022·四川绵阳·统考三模）已知，则xy＝（ ）
A．3B．－6C．±6D．±3
题型三：二次根式的乘除
7．（2022·广东广州·广东番禺中学校考三模）计算：等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·天津南开·二模）计算的结果等于______．
9．（2022·河北唐山·统考二模）已知，则a＝______；b＝__．
题型四：二次根式的加减
10．（2022·黑龙江哈尔滨·校考一模）计算：_____．
11．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）设与为一元二次方程的两根，则的值为________．
12．（2022·黑龙江哈尔滨·统考一模）计算的结果是______．
题型五：分母的有理化
13．（2022·河北保定·统考一模）已知，．则
（1）________；
（2）________．
14．（2022·广东中山·统考二模）小明喜欢构建几何图形，利用“数形结合”的思想解决代数问题．在计算时，如图，在中，，延长使，连接，得，所以，类比小明的方法，计算的值为________．
15．（2020·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）已知实数 的整数部分是m，小数部分是n，则 ＝_____．
题型六：二次根式的比较大小
16．（2021·四川成都·统考二模）比较大小：___
17．（2020·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）比较大小：__________（填“＞”、“=”、“＜”）
18．（2021·陕西宝鸡·统考一模）比较大小：﹣_____﹣2．（填“”或“”）
题型七：二次根式的化简求值问题
19．（2023·江西·九年级专题练习）先化简，再求值：，其中．
20．（2022·四川广元·统考一模）先化简，再求值：，其中，．
21．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）先化简，再求值：，其中x＝2+tan30°．
【必刷基础】
一、单选题
22．（2023·广西玉林·一模）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
23．（2022·福建泉州·校考三模）在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
24．（2022·上海松江·校考三模）下列式子属于同类二次根式的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
25．（2022春·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期中）如图，把一张矩形纸片按如图所示方法进行两次折叠后，恰好是等腰直角三角形，若，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
26．（2021·广西百色·统考二模）将一组数，2，，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，，；
，，4，，；
…
若2的位置记为，的位置记为，则这个数的位置记为（ ）
A．B．C．D．
27．（2022·山东青岛·统考中考真题）计算的结果是（ ）
A．B．1C．D．3
28．（2022·河北廊坊·统考二模）一次函数的图象如图所示，则使式子有意义的的值可能为（ ）
A．－3B．－1C．－2D．2
29．（2021·北京·统考中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______________．
30．（2018·江苏苏州·校联考中考模拟）若x满足|2017-x|+ =x， 则x-20172=________
31．（2021·辽宁鞍山·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
32．（2022春·福建泉州·九年级福建省安溪第一中学校考阶段练习）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：.
【必刷培优】
一、单选题
33．（2021·广东·统考中考真题）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6B．C．12D．
34．（2021·湖南娄底·统考中考真题）是某三角形三边的长，则等于（ ）
A．B．C．10D．4
35．（2021·内蒙古·统考中考真题）若，则代数式的值为（ ）
A．7B．4C．3D．
36．（2020·河北·统考中考真题）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4
二、填空题
37．（2019·广西柳州·中考模拟）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____．
38．（2021·四川眉山·统考中考真题）观察下列等式：；
；
；
……
根据以上规律，计算______．
39．（2022·湖北荆州·统考中考真题）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______．
40．（2021·河南信阳·河南省淮滨县第一中学校考三模）已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则______，______．
41．（2019·江苏·校考中考模拟）若a，b都是实数，b＝+﹣2，则ab的值为_____．
42．（2022·四川遂宁·统考中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______．
三、解答题
43．（2021·四川成都·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
44．（2022·安徽·统考二模）阅读下列解题过程：
＝＝-1；
＝＝-；
＝＝-＝2-；
…
解答下列各题：
（1）＝ ；
（2）观察下面的解题过程，请直接写出式子＝ ．
（3）利用这一规律计算：（+…+）×（+1）．
45．（2019·福建泉州·统考中考模拟）先化简，再求值：，其中.
46．（2013·贵州黔西·中考真题）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．
∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空： ＋ ＝( ＋ )2；
（3）若，且a、b、m、n均为正整数，求a的值．
参考答案：
1．B
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：依题意，
∴且
故选B
【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键．
2．A
【分析】直接利用二次根式中被开方数是非负数，得出x的值，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：由题意可得：，
解得：x＝2，
故y＝-3，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数为非负数是解题关键．
3．C
【分析】根据二次根式、立方根、分式的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，得
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式、立方根、分式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．
4．B
【分析】根据二次根式的性质判断即可．
【详解】解：A.，故错误；
B.，故正确；
C.，故错误；
D.，故错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
5．D
【分析】由二次根式的性质、二次根式的减法运算法则进行计算，即可得到答案．
【详解】解：，
∴，，
∴，
故选：D
【点睛】本题考查了二次根式的性质、二次根式的减法运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题．
6．B
【分析】利用二次根式的被开方数具有非负性求出x的值后，再求出y的值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及性质，解题关键是求出x的值与y的值．
7．A
【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，，，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
8．4
【分析】根据平方差公式计算即可．
【详解】解：
=
=13-9
=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查二次式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
9． 2 6
【分析】先将化为最简二次根式，再利用二次根式的乘法法则解题．
【详解】解：
故答案为：2，6．
【点睛】本题考查利用二次根式的性质化简计算，涉及最简二次根式、二次根式的乘法等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
10．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【详解】解：原式
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
11．20
【分析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可；
【详解】解：∵
△=9-4=5＞0，
∴，，
∴=，
故答案为：20；
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键．
12．
【分析】根据二次根式的性质和二次根式的减法法则，即可求解．
【详解】=
故答案是：．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质和运算法则，是解题的关键．
13． 14 11
【分析】根据分母有理化得到，将x和y分别代入（1）（2）中根据二次根式的混合运算法则计算求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴（1）


，
故答案为：14；
（2）



，
故答案为：11．
【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算法则，理解相关知识是解答关键．
14．
【分析】仿照题意构造含15度角的直角三角形进行求解即可．
【详解】解：如图，在中，，延长使，连接，
∴∠BAD=∠D，，
∴，
∴，
∵∠ABC=∠BAD+∠D，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，正确理解题意构造出含15度角的直角三角形是解题的关键．
15．．
【分析】根据估算无理数大小得出的整数部分m的值，小数部分n的值为﹣m，把m、n代入分式中，应用分母有理化的方法进行化简，即可得到答案．
【详解】解：∵1＜＜2，
∴m＝1，n＝，
∴
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．
16．＜
【分析】直接利用二次根式的性质分别变形，进而比较得出答案．
【详解】解：=
=
∵＞
∴
∴＜
故答案为：＜．
【点睛】此题主要考查了二次根式的分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．
17．＞
【分析】先将这两个数分别平方，通过比较两个数的平方的大小即可得解．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴
故答案为：＞
【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，两个二次根式比较大小可以通过平方的方法进行，两个式子平方的值大的，对应的正的式子的值就大，负的式子就小．
18．
【分析】首先利用二次根式的性质可得2＝，再比较大小即可．
【详解】解：∵2＝＝＞，
∴﹣＞﹣2，
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查了二次根式的大小比较，准确计算是解题的关键．
19．；
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解：
．
当时，原式．
【点睛】此题主要考查了分式的化简以及二次根式混合运算，正确化简分式是解题关键．
20．；7
【分析】根据分式的混合运算法则化简，再代入，即可求解．
【详解】解：原式
．
当，时，
原式．
【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式、二次根式及乘法公式的运用．
21．；
【分析】先根据异分母分式的加减化简括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据特殊角的三角函数值求得的值，代入化简结果进行计算即可．
【详解】解：
原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
22．D
【分析】利用二次根式的加减运算法则进行计算，然后作出判断．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
D、，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的加减运算，掌握运算法则是解题关键．
23．C
【分析】根据被开方数大于等于0，列式求解即可．
【详解】解：根据题意得：，解得．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
24．A
【分析】根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：、与是同类二次根式，符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
25．D
【分析】根据翻折过程补全图形，然后根据矩形的性质和勾股定理即可解决问题．
【详解】解：由折叠补全图形如图所示，
四边形是矩形，
，，，
由第一次折叠得：，，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
由第二次折叠知，，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
26．C
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可．
【详解】解：这组数据可表示为：,…
∵，
∴为第4行，第3个数字．
故选：C．
【点睛】此题考查的是数字的变化规律以及二次根式的化简，找出其中的规律是解题的关键．
27．B
【分析】把括号内的每一项分别乘以 再合并即可．
【详解】解：

故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，掌握“二次根式的乘法运算法则”是解本题的关键．
28．B
【分析】通过一次函数图象可以得出：，解得：．使式子有意义的条件为：，解得：且．将两个关于k的解集综合，得到k的范围是：且．根据所求范围即可得出答案选B．
【详解】解：由图象得：，解得：
由题意得：若使式子有意义，则，解得：且
综上所述，k的取值范围是：且．
A、-3不在k的取值范围内，不符合题意；
B、-1在k的取值范围内，符合题意；
C、-2不在k的取值范围内，不符合题意；
D、2不在k的取值范围内，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查知识点为，一次函数图象与一次函数系数的关系、使二次根式有意义的条件，零指数幂中底数的范围．熟练掌握以上知识点，是解决此题的关键．
29．
【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
，
解得：；
故答案：为．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
30．2018
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解得出x的取值范围，再根据绝对值的意义化简即可得出方程 =2017，将方程的两边同时平方即可解决问题．
【详解】解：由条件知，x-2018≥0， 所以x≥2018，|2017-x|=x-2017.
所以x-2017+ =x，即 =2017，
所以x-2018=20172 ，
所以x-20172=2018，
故答案为：2018．
【点睛】本题主要考查了二次根式的内容，根据二次根式有意义的条件找到x的取值范围是解题的关键．
31．，
【分析】根据分式的混合运算的运算法则把原式化简为，再代入求值．
【详解】解：
．
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
32．
【分析】直接利用数轴判断得出：a