2023年湖北省随州市中考数学一模试卷（含答案）

2023年湖北省随州市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日，中国工程院院士袁隆平在长沙不幸逝世．这位“共和国勋章获得者”的最大贡献是杂交水稻技术．年我国水稻种植面积亿亩，其中左右是杂交水稻，则杂交水稻种植面积用科学记数法表示约为(    )

A. 亩 B. 亩 C. 亩 D. 亩

3.  马大哈同学做如下运算题：，其中结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示的几何体，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  将一对直角三角板如图放置，点在的延长线上，点在上，，，，，，则的长度是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知，，分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  将方程的两边同除以，将，其错误的原因是(    )

A. 方程本身是错的 B. 方程无解
C. 两边都除以 D. 小于

8.  如图，在菱形中，，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与，重合，折痕为，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  看了田忌赛马故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马综合指标数如表，每匹马只赛一场，综合指标的两数相比，大数为胜，三场两胜则赢，已知齐王的三匹马出场顺序为，，若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，等边三角形，，为中点，为上的动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  计算：______．

12.  生活中到处可见黄金分割的美．向日葵就是一个很好的例子，如果仔细观察向日葵中心，就会发现似乎有条螺旋形的曲线，如果对此进行计算，结果会得到黄金分割数列，如图是一株向日葵的俯视图，点分线段近似于黄金分割黄金分割比已知，且，则的长约______．

13.  如图，是半圆的直径，为半圆上一点，连接，，为弧上一点．连接，交于点，连接，若四边形为平行四边形，，则的长为______．

14.  已知二次函数的图象与轴有两个交点，，则下列说法正确的有：
       填序号
该二次函数的图象一定过定点；
若该函数图象开口向下，则的取值范围为：；
当且时，的最小值为；
当，且该函数图象与轴两交点的横坐标、满足，时，的取值范围为：．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
解方程：；
解不等式组：．

16.  本小题分
如图，在边长为的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点为原点，点，的坐标分别是，．
若将向下平移个单位，则点的对应点坐标为______；
将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出，并求出这时点的坐标为______；
求旋转过程中，线段扫过的图形的弧长．

17.  本小题分
某沿海城市，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力某次，据气象观察，距该城市正南方向的处有一台风中心，中心最大风力为级，每远离台风中心千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以千米时的速度沿北偏东方向向处移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力超过级，则称受台风影响．
若该城市受此次台风影响共持续了小时即台风中心从处移动到处，那么受到台风影响的最大风力为几级？
求该城市到处的距离．
注：结果四舍五入保留整数，参考数据：，

18.  本小题分
观察一下等式：
第一个等式：，
第二个等式：，
第三个等式：，
按照以上规律，解决下列问题：
______；
写出第五个式子：______；
用含为正整数的式子表示一般规律： ______；
计算要求写出过程：．

19.  本小题分
距离年中招体育考试的时间已经越来越近，某校初三年级为了了解本校学生在平时体育训练的效果，随机抽取了男、女各名考生的体考成绩，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：数据分为，，，四个等级分别是：：，：，：，：
名男生成绩的条形统计图以及名女生成绩的扇形统计图如图：

男生成绩在组的前名考生的分数为：
，，，，，，，，，
名男生和名女生成绩的平均数，中位数，众数如下：

根据以上信息，解答下列问题：
填空：        ，        ，并补全条形统计图．
根据以上数据，你认为在此次考试中，男生成绩好还是女生成绩好？请说明理由说明一条理由即可．
若该年级有名学生，请估计该年级所有参加体考的考生中，成绩为等级的考生人数．

20.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标系原点，矩形的边，分别在轴和轴上，其中，已知反比例函数的图象经过边上的中点，交于点．
求的值；
猜想的面积与的面积之间的关系，请说明理由．
若点在该反比例函数的图象上运动不与点重合，过点作轴于点，作所在直线于点，记四边形的面积为，求关于的解析式并写出的取值范围．

21.  本小题分
如图，是的弦，半径，垂足为，过点作的切线．
若点在上，且，连接．
连接，求证：；
如图，若是的中点，连接，求证：是的直径；
如图，过点作，垂足为，若的半径是，求的最大值．
 

22.  本小题分
如图，在正方形中，点在直线右侧，且，以为边作正方形，射线与边交于点，连接，．
如图，求证：；
若正方形的边长为，
如图，当，，三点共线时，设与交于点，求的值；
如图，取中点，连接，求长度的最大值．
 

23.  本小题分
抛物线交轴于，两点在的左边．
▱的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴右侧的抛物线上；
如图，若点的坐标是，点的横坐标是，直接写出点，的坐标．
如图，若点在抛物线上，且▱的面积是，求点的坐标．
如图，是原点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，不含端点于，两点若直线与抛物线只有一个公共点，求证：的值是定值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，的倒数是．
故选：．
根据相反数和倒数的定义解答即可．
本题考查了相反数和倒数，掌握相关定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿亩亩，
亩．
故选：．
首先用年我国水稻种植面积乘，求出杂交水稻的种植面积；然后根据：用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，把杂交水稻种植面积用科学记数法表示出来即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故错误；
与不是同类项，不能计算，故错误；
，故正确；
，故错误；
，故错误．
故选：．
根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的法则．
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意得，该几何体的俯视图，
故选：．
根据三视图的知识得出结论即可．
本题主要考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

在中，，，，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
．
故选：．
过点作于点，根据题意可求出的长度，然后在中可求出，进而可得出答案．
本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：点在“勾股一次函数”的图象上，
，即，
又，，分别是的三条边长，，的面积是，
，即，
又，
，
即，
解得，
故选：．
依据题意得到三个关系式：，，，运用完全平方公式即可得到的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：
，
，
当两边同除以时，即同除以了，无意义，
错误的原因是方程两边同除以了．
故选：．
根据等式的性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，所以在两边同除以时要保证，条件没给出，所以不能同除以．
本题考查了等式的性质：性质、等式两边加同一个数或式子结果仍得等式；性质、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

由折叠的性质得：，
四边形是菱形，
，
又，
，
为等边三角形，
，
又，
，
，
设，则，
在中，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
解得：，
即，
故选：．
过点作于，由菱形的性质可证为等边三角形，设，则，，，则，在中，由勾股定理得，即可解决问题．
本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为，，时，田忌的马按，，的顺序出场，田忌才能赢得比赛，
当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：

双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，
田忌能赢得比赛的概率为．
故选：．
列表得出所有等可能的情况，田忌能赢得比赛的情况有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

10.【答案】 

【解析】解：线段绕点逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
≌，
，
是等边三角形，点为的中点，
，
，
点在线段上运动，
作点关于直线的对称点，连接，则的最小值即为的长，

，
是等边三角形，
，
，，
，
，，
的最小值为，
故选：．
首先利用证明≌，得，可知在线段上运动，作点关于直线的对称点，连接，则的最小值即为的长，利用勾股定理求出的长即可得出答案．
本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明点在线段上运动是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为．
利用二次根式的除法法则、负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值进行计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则、负整数指数幂和特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
 

12.【答案】． 

【解析】解：由题意知：，
，
故答案为：．
黄金分割又称黄金率，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为：或：，即长段为全段的被公认为最具有审美意义的比例数字．上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割．
本题主要考查了黄金分割的比例关系，关键是根据黄金分割比解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

是直径，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
如图，连接证明，利用勾股定理构建关系式，可得结论．
本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
当时，，故该函数图象一定过定点，故错误；
若该函数图象开口向下，则，且，
，解得：，且，故的取值范围为：，故正确；
当，函数的对称轴在轴左侧，当时，的最小值在处取得，故的最小值为：，故错误；
当，时，，当时，，当时，则，解得：．
同理时，，
故的取值范围为：正确，故正确；
故答案为：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
 

15.【答案】解：，
，
或，
，．
，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为． 

【解析】利用十字相乘法分解因式，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解的能力．要熟练掌握因式分解的方法．
 

16.【答案】   

【解析】解：点的对应点坐标为，
故答案为：；
如图，即为所求，这时点的坐标为，
故答案为：；
，
线段扫过的图形的弧长．

利用平移变换的性质解决问题即可；
利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
利用勾股定理求出，利用弧长公式求解即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：过点作于点，

由题意得，台风中心到点时，风力达到级，
即千米，
该城市受此次台风影响共持续了小时，
千米，千米，
千米，
台风中心到达点时的风力为级，
答：受到台风影响的最大风力为级；
，，
千米．
答：该城市到处的距离是千米． 

【解析】过点作于点，由题意得千米，千米，可得千米，根据风力的计算方法可得答案；
由得，千米，根据等腰直角三角形的性质可得的长．
本题考查锐角三角函数的应用，根据题意构造直角三角形是解题关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：，
故答案为：；
第个式子为：，
故答案为：；
，
故答案为：；




．
根据所给的等式的形式进行求解即可；
根据所给的等式的形式进行求解即可；
分析所给的等式的形式，不难总结出规律；
利用中的规律进行求解即可．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
 

19.【答案】   

【解析】解：男生成绩处在第、位的两个数的平均数为，
因此；
，
，故，
故答案为：，；
女生的成绩较好，
理由：男生女生的平均数相同，但女生的众数、中位数都比男生好；
人，
答：估计该年级所有参加体考的考生中，成绩为等级的考生人数为人．
男生体考成绩从大到小排列后处在第、位两个数的平均数，即为男生的成绩的中位数，确定的值；根据扇形统计图计算出女生类所占的百分比，可得的值；
从平均数、众数上的分析得出结论；
男生人等有人，女生人等有人，因此等占总人数的，估计总体中，有的人为等，即可求解．
本题考查条形统计图和扇形统计图的意义和制作方法，掌握各个统计量的意义是解决问题的前提，理清扇形统计图中各个数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

20.【答案】解：四边形是矩形，
，
，
设，，
由勾股定理得，，
，
，
，
，，
是的中点，
，
，
设，把代入得，
．
，
由题意可知，，
是的中点，
，
≌，
，
在反比例函数图象上，
，
，
．
当时，
，
，
，
当时，
，
，
．
综上所述，，；
，． 

【解析】根据矩形的性质及三角函数可得的值，设，，由勾股定理及中点的定义可得，再利用待定系数法可得答案；
利用三角形的面积公式及中点定义可得答案；
分当时，当时，进行分类讨论可得答案．
此题考查的反比例函数，利用面积公式进行解答是解决此题关键．
 

21.【答案】证明：连接，

是的切线，是半径，
，
，
，
，
，
，
连接，，

是的中点，，
，，
又，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是的直径；
解：连接，

是的切线，是半径，
，
，
，
，
，
∽，
，
设，则，
，
的最大值为． 

【解析】连接，由，得，再根据等腰三角形三线合一的性质得，由切线的性质知，从而证明结论；
连接，，可得是等边三角形，再由垂径定理知，得，，则是的直径；
连接，利用两个角相等证明∽，得，设，则，则，从而解决问题．
本题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，证明∽，表示出的长度是解题的关键．
 

22.【答案】解：证明：四边形和四边形是正方形，
，，
在和中，
≌，
；
如图，

当、、三点共线时，
，
，
，，
在和中，
≌，
，，，
点在上，
作于，
，
，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，，，
又，，
，解得，
由知，≌，
设，
在中，，即，
又，，即，
联立两式可得，，，
，
；
如图，

连接，，
，
，
，
∽，
，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
作射线交于，
当运动到时，最大，
，
最大为． 

【解析】本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，相似三角形判定和性质．
证明≌，从而得证；
先证明点在上，证明平分，作于，证明≌，进而可得，在中，根据勾股定理和线段的关系求出，，进而得出结果；
连接，，证明∽，从而确定点在以为圆心，为半径的圆上运动，进一步求得结果．
 

23.【答案】解：对于，令，解得，令，则，
故点、的坐标分别为、，顶点坐标为，
当时，，
由点、的坐标知，点向右平移个单位向上平移个单位得到点，
四边形为平行四边形，
故点向右平移个单位向上平移个单位得到点，
则，，
故点的坐标为；
设点，点的坐标为，
同理可得，点的坐标为，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得，
故点的坐标为；
连接，过点作轴的平行线交轴于点，交过点与轴的平行线与点，

则
，
解得舍去或，
故点的坐标为；
是原点关于抛物线顶点的对称点，故点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
同理可得，直线的表达式为，
设直线的表达式为，
联立和并整理得：，
直线与抛物线只有一个公共点，
故，解得，
故直线的表达式为，
联立并解得，
同理可得，，
射线、关于轴对称，则，设，
则，
则，为常数． 

【解析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
点向右平移个单位向上平移个单位得到点，而四边形为平行四边形，故点向右平移个单位向上平移个单位得到点，即可求解；
利用，求出舍去或，即可求解；
由，即可求解．