2023年广西柳州市鱼峰区九年级中考数学一检试卷（含答案）

2023年广西柳州市鱼峰区中考数学一检试卷

一、选择题（本大题共11小题，共33.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若的半径为，点到圆心的距离，则点的位置是(    )

A. 在内 B. 在上 C. 在外 D. 不能确定

3.  如图，点、、为上的点，，则(    )

A.
B.
C.
D.

4.  将方程化为一元二次方程一般式后得(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在平面直角坐标系中，点绕着点旋转后得到点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，，分别是，的中点，那么与的面积之比是(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

7.  把二次函数向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的解析式是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  已知点，是抛物线上的两点，则，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

9.  年月日，贵阳轨道交通号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，点是反比例图数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点，，连接、，若的面积为，则(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，直线与坐标轴交于、两点，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则线段的最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

12.  若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为______．

13.  如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为        ．

14.  为估计种子的发芽率，做了次试验，每次种了颗种子，发芽的种子都是颗左右，预估该种子的发芽率是______ ．

15.  如图，某学生利用一根长米的标杆测量一棵树的高度，测得米，米，那么树的高度为        ．

16.  如图，在中，，，，且的三边都与相切，则          ．
 

17.  如图，抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为下列结论：；；；当时，；当时，是等腰直角三角形；其中正确的是        填序号

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解下列方程：．

19.  本小题分
如图，在边长为的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是，绕点逆时针旋转后得到．
画出旋转后的图形．
求线段在旋转过程中所扫过的图形面积．

20.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数为常数，且的图象交于点，．
求该反比例函数与一次函数的解析式；
根据图象，直接写出满足的的取值范围．

21.  本小题分
如图所示的方格地面上，标有编号、、、的四个小方格地面是空地，另外个小方格地面是草坪，除此之外小方格地面完全相同．
一只自由飞翔的小鸟随意地落在图中所示的个小方格地面中的一个，则小鸟刚好落在草坪上的概率是        ．
现从个小方格空地中任意选取个种植草坪，则刚好选取编号为和的个小方格空地种植草坪的概率是多少？请用画树状图或列表的方法说明．

22.  本小题分
如图，在预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为的墙隔离区靠墙这面不需要塑料膜，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开，已知整个隔离区塑料膜总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，设垂直于墙的一边为为，隔离区面积为．
求关于的函数解析式；
如果要围成面积为的隔离区，那么的长为多少？
求隔离区面积的最大值．

23.  本小题分
如图，在中，，以为直径的分别交，边于点、过点作于点．
求证：是的切线；
若半径为，且，求的长．

24.  本小题分
阅读下列材料：
材料：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，，那么，；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达发现的，因此，我们把这个关系成为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：一元二次方程的两个实数根分别为，，，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
材料理解：一元二次方程的两个根为，，则        ，        ．
类比应用：在的条件下，求的值．
思维拓展：已知实数、满足，，且，求的值．

25.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
求该抛物线的函数表达式；
在平面直角坐标系内是否存在一点使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有满足该条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
如图，若点在该抛物线上且横坐标为，直线与抛物线交于，两点，点在轴上，当时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行解答即可．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
点在外．
故选：．
利用点与圆的位置关系的判断方法求解．
本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】
解：，
，
，
，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：将方程化成一元二次方程的一般形式得．
故选：．
方程移项把右边化为，左边按照的降幂排列即可．
此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为为常数且．
 

5.【答案】 

【解析】解：点绕着点旋转后得到的对应点的坐标是，
，
故选：．
根据中心对称的性质解决问题即可．
本题考查坐标与图形变化旋转，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

6.【答案】 

【解析】解：、分别为、的中点，
，，
∽，
与的面积之比：．
故选：．
根据三角形的中位线得出，，推出∽，根据相似三角形的性质得出即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得对应点的坐标为，所以新抛物线的解析式为．
故选：．
先确定抛物线的顶点坐标为，利用点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线，
此抛物线开口向上，对称轴，
当时，随的增大而增大，
，
．
故选：．
先根据抛物线的解析式得出抛物线的开口向上，抛物线的对称轴，再由二次函数的性质即可得出结论．
本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数的性质是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设有个站点，则
．
故选：．
设有个队站点，根据煤两个站点之间有来往两种车票，共要设计中往返票，可列出方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总票张数做为等量关系列方程求解．
 

10.【答案】 

【解析】解：轴于点，与反比例函数图象交于点，
而，，
，，
，
，
即，解得
，解得，
．
故选：．
利用反比例函数比例系数的几何意义得到，，利用得到，所以，解得，再利用得，然后计算的值．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，直线与坐标轴交于，两点，
，，
，
点为坐标平面内一点，，
在上，且半径为，
取，连接，

，，
是的中位线，
，
当最小时，即最小，而，，三点共线时，当在线段上时，最小，
，，
，
，
，即的最小值为，
故选：．
根据同圆的半径相等可知：点在半径为的上，通过画图可知，在与圆的交点时，最小，在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最小值时点的位置是关键，也是难点．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是的内接四边形，，
，
故答案为：．
根据圆内接四边形的性质求出即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据发芽率的意义，求出发芽的种子数占实验种子总数的百分比即可．
本题考查频率估计概率，理解发芽率的意义是正确计算的前提．
 

15.【答案】 

【解析】解：米，米，
米．
根据题意知，，则∽．
：：，
：：，
．
即树的高度为米．
故答案为：．
由题意知∽，根据相似三角形的对应边成比例即可解答．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握切线长定理、勾股定理是解题的关键．
连接、、，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据切线长定理求出，再根据勾股定理计算即可．
【解答】
解：设与的三边的切点分别为、、，连接、、，
则，，，，
由勾股定理得，，
，
即，
解得，，
设，则，
根据切线长定理得，，，则，
，
则，
解得，，
在中，，
故答案为：．  

17.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，即，
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故错误；
由上述可知，，
，故正确；
抛物线过，
，
，
，故错误；
当时，抛物线由最小值，
当，且时，
，
，
，故正确；
当是等腰直角三角形时，
可得点纵坐标为，即点，
设抛物线解析式为，
将代入得：，
解得：，故错误．
综上，正确的有．
故答案为：．
根据抛物线的开口方向、对称轴的位置、与轴交点位置即可判断，，的正负；根据抛物线与轴的交点坐标，即可求出抛物线的对称轴，进而求出和的关系；根据图象可知，当时取得最小值，根据是等腰直角三角形推出点的坐标，再求出抛物线解析式，以此即可求解．
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、抛物线与轴的交点坐标、等腰直角三角形的性质，解题关键是根据抛物线与轴的交点坐标求出对称轴，得到与之间的数量关系，再利用等腰三角形的性质进行解答．
 

18.【答案】解：．
，
或，
，． 

【解析】利用因式分解法解一元二次方程．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

19.【答案】解：如图所示，即为所求；

，，
线段在旋转过程中所扫过的图形面积为． 

【解析】将点，分别绕点逆时针旋转后得到对应点，再与点首尾顺次连接即可得；
根据扇形的面积公式计算可得．
本题考查的是作图旋转变换，掌握旋转的性质与扇形的面积公式是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：把代入中，得，
解得，
反比例函数的解析式为；
将代入中，得，
将、代入中，
得，
解得，
一次函数解析式为；
由图象得满足的的取值范围为：或． 

【解析】把点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，利用反比例函数解析式求出的坐标，把、的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
根据点、点的坐标结合图形写出的的取值范围即可．
本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，正确运用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：小鸟落在草坪上的概率是，
故答案为：；

画树状图如图：

共有个等可能的结果，刚好选取和两个小方格空地种植草坪的结果有个，
刚好选取和两个小方格空地种植草坪的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有个等可能的结果，刚好选取和两个小方格空地种植草坪的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：垂直于墙的一边为，则隔离区的另一边为，
，
关于的函数解析式为；
根据题意得：，
解得，，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
的长为；
由知，，
，
当时，最大，最大值为，
此时，，符合题意，
答：隔离区面积的最大值为． 

【解析】垂直于墙的一边为，则隔离区的另一边为，由矩形的面积列出函数解析式；
令，解方程即可，并取符合题意的；
根据中解析式由函数的性质求最值即可．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：连接，

，
．
，
，
，
，
．
，
，
，
又为的半径．
是的切线．
解：过点作于点，

，，
又，
四边形为矩形，
，，
，
设，
，则．
在中，，
即，
解得，舍去，
， 

【解析】连接，由等腰三角形的性质证得得出，由平行线的性质得出，则可得出答案；
过点作于点，证明四边形为矩形，由矩形的性质得出，，设，，则由勾股定理得出，解方程可得出答案．
本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：一元二次方程的两个根为，，
，，
故答案为：，；
一元二次方程的两个根为，，
，，
；
实数、满足，，且，
，是一元二次方程的两个实数根，
，．
，
，
，
的值为．
利用根与系数的关系，即可得出及的值；
将，代入中，即可求出结论；
由实数、满足，，且，可得出，是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出，，结合，可求出的值，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

25.【答案】解：把，代入得：
，
解得，
；
在平面直角坐标系内存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
在中，令得，
，
设，
若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
；
若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
；
若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
；
综上所述，的坐标为或或；
在中，令得，
，
设，过作于，过作轴，过作于，过作于，
当在上方时，如图：

，
是等腰直角三角形，
，，
，
≌，
，，
，，，，
，
解得，
，
由，得直线解析式为，
在中，令得，
；
当在下方时，如图：

同理可得，，
，，，，
，
解得，
，
此时与重合，即；
综上所述，的坐标为或． 

【解析】用待定系数法可得；
设，分三种情况：若，为对角线，，若，为对角线，，若，为对角线，，分别解方程组可得的坐标为或或；
求出，设，过作于，过作轴，过作于，过作于，分两种两种情况：当在上方时，证明≌，可得，当在下方时，同理得，即可解得的坐标为或．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．