【中考专项】2023年中考数学转向练习之选择题03 几何变换之翻折问题
展开【选择题】必考重点03 几何变换之翻折问题
几何变换中的折叠问题,是江苏各地中考中常考的题型,难度多为一般或者较难。几何的翻折问题,本质上考查的是轴对称的性质,常和矩形相结合。在解题时,首先要明确折叠前后的图形全等,折叠前后的对应边、对应角相等,对称轴垂直平分对应点之间的连线,在结合矩形、菱形、三角形等的性质,运用勾股定理,列出方程,求出相应的线段长度。
【2022·江苏连云港·中考母题】如图,将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折,使得点A、B、D恰好都落在点O处,且点G、O、C在同一条直线上,同时点E、O、F在另一条直线上.小炜同学得出以下结论:①GF∥EC;②AB=AD;③GE=DF;④OC=2OF;⑤△COF∽△CEG.其中正确的是( )
A.①②③ B.①③④ C.①④⑤ D.②③④
【考点分析】本题主要考查了折叠问题,解题时,我们常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.
【思路分析】由折叠的性质知∠FGE=90°,∠GEC=90°,点G为AD的中点,点E为AB的中点,设AD=BC=2a,AB=CD=2b,在Rt△CDG中,由勾股定理求得b=,然后利用勾股定理再求得DF=FO=,据此求解即可.
【2021·江苏苏州·中考母题】如图,在平行四边形中,将沿着所在的直线翻折得到,交于点,连接,若,,,则的长是( )
A.1 B. C. D.
【考点分析】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
【思路分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形,根据已知条件可得CE得长,进而得出ED的长,再根据勾股定理可得出;
1.(2022·江苏苏州·二模)如图把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折,点B的对应点为B′,AB′与DC相交于点E,则下列结论一定正确的是( )
A.BC=AC B.AE=CE C.AD=DE D.∠DAE=∠CAB
2.(2022·江苏南京·二模)如图,矩形ABCO,点A、C在坐标轴上,点B的坐标为.将△ABC沿AC翻折,得到△ADC,则点D的坐标是( )
A. B. C. D.
3.(2022·江苏泰州·一模)如图,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平后再次折叠,使点A落在EF上的点A′处,得到折痕BM,BM与EF相交于点N.若直线BA′交直线CD于点O,BC=11,EN=2,则FO的长为( )
A. B. C. D.
4.(2022·江苏宿迁·三模)已知长方形纸条ABCD,点E、G在AD边上,点F、H在BC边上.将纸条分别沿着EF、GH折叠,如图,当DC恰好落在上时,与的数量关系是( )
A. B.
C. D.
5.(2022·江苏苏州·二模)如图①,②,③,④,两次折叠等腰三角形纸片ABC,先使AB与AC重合,折痕为AD,展平纸片:再使点A与点C重合,折痕为EF,展平纸片,AD、EF交于点G.若,,则DG的长为( )
A. B. C.1cm D.
6.(2022·江苏·苏州中学二模)如图,菱形ABCD中,点E在AD上,将△ABE沿着BE翻折,点A恰好落在CD上的点F处.若∠A=65°,则∠DFE的度数为( )
A. B. C. D.
7.(2022·江苏扬州·二模)如图,在矩形ABCD中,,,E是BC的中点,将沿直线AE翻折,点B落在点F处,连结CF,则的值为( )
A. B. C. D.
8.(2022·江苏苏州·模拟)如图,在矩形ABCD中,点E在DC上,将矩形沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处,若,,则的值为( ).
A. B. C. D.
9.(2022·江苏苏州·一模)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,平行四边形ABCD的边AB在x轴上,顶点D在y轴的正半轴上,点C在第一象限,将△AOD沿y轴翻折,使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为OE的中点.DE与BC交于点F.若y=(k≠0)图象经过点C.且S△BEF=1,则k的值为( )
A.18 B.20 C.24 D.28
10.(2022·江苏·江阴市第一初级中学一模)如图,把三角形纸片ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE外部时,则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是( )
A.2∠A=∠1-∠2 B.3∠A=2(∠1-∠2)
C.3∠A=2∠1-∠2 D.∠A=∠1-∠2
11.(2022·江苏·无锡市天一实验学校二模)已知:如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8,tan∠ABC=,点N是边AC的中点,点M是射线BC上的一动点(不与B,C重合),连接MN,将△CMN沿MN翻折得△EMN,连接BE,CE,当线段BE的长取最大值时,sin∠NCE的值为( )
A. B. C. D.
12.(2022·江苏省南菁高级中学实验学校九年级)如图,在中,点是线段上的一点,过点作交于点,将沿翻折,得到,若点恰好在线段上,若,::,,则的长度为( )
A. B. C. D.
13.(2022·江苏·九年级专题练习)如图,在△ABC中,,点D是AB的中点,将△ACD沿CD对折得△A′CD.连接,连接AA′交CD于点E,若,,则CE的长为( )
A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm
14.(2022·江苏·宜兴市树人中学九年级)如图,在△ABC中,点D是线段AB上的一点,过点D作DE∥AC交BC于点E,将△BDE沿DE翻折,得到△B'DE,若点C恰好在线段B'D上,若∠BCD=90°,DC:CB'=3:2,AB=,则CE的长度为( )
A. B.4 C. D.6
15.(2022·江苏·九年级专题练习)如图①,AB=5,射线AM∥BN,点C在射线BN上,将△ABC沿AC所在直线翻折,点B的对应点D落在射线BN上,点P,Q分别在射线AM、BN上,PQ∥AB.设AP=x,QD=y.若y关于x的函数图象(如图②)经过点E(9,2),则cosB的值等于( )
A. B. C. D.
16.(2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学九年级期中)如图,在△ABC中,D是AC边上的中点,连接BD,把△BDC沿BD翻折,得到△BDC′,DC'与AB交于点E,连接AC′,若AD=AC′=2,BD=3,则点D到BC的距离为( )
A. B. C. D.
17.(2022·江苏南通·九年级)如图,AB为⊙O的一条弦,C为⊙O上一点,OC∥AB.将劣弧AB沿弦AB翻折,交翻折后的弧AB交AC于点D.若D为翻折后弧AB的中点,则∠ABC=( )
A.110° B.112.5° C.115° D.117.5°
18.(2022·江苏南京·九年级专题练习)如图,在矩形纸片ABCD中,点E、F分别在矩形的边AB、AD上,将矩形纸片沿CE、CF折叠,点B落在H处,点D落在G处,点C、H、G恰好在同一直线上,若AB=6,AD=4,BE=2,则DF的长是( )
A.2 B. C. D.3
19.(2022·江苏·宿迁青华中学九年级期末)如图,四边形内接于,,.劣弧沿弦翻折,刚好经过圆心.当对角线最大时,则弦的长为( )
A. B. C. D.
【选择题】必考重点03 几何变换之翻折问题
几何变换中的折叠问题,是江苏各地中考中常考的题型,难度多为一般或者较难。几何的翻折问题,本质上考查的是轴对称的性质,常和矩形相结合。在解题时,首先要明确折叠前后的图形全等,折叠前后的对应边、对应角相等,对称轴垂直平分对应点之间的连线,在结合矩形、菱形、三角形等的性质,运用勾股定理,列出方程,求出相应的线段长度。
【2022·江苏连云港·中考母题】如图,将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折,使得点A、B、D恰好都落在点O处,且点G、O、C在同一条直线上,同时点E、O、F在另一条直线上.小炜同学得出以下结论:①GF∥EC;②AB=AD;③GE=DF;④OC=2OF;⑤△COF∽△CEG.其中正确的是( )
A.①②③ B.①③④ C.①④⑤ D.②③④
【考点分析】本题主要考查了折叠问题,解题时,我们常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.
【思路分析】由折叠的性质知∠FGE=90°,∠GEC=90°,点G为AD的中点,点E为AB的中点,设AD=BC=2a,AB=CD=2b,在Rt△CDG中,由勾股定理求得b=,然后利用勾股定理再求得DF=FO=,据此求解即可.
【答案】B
【详解】解:根据折叠的性质知∠DGF=∠OGF,∠AGE=∠OGE,
∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=(∠DGO+∠AGO) =90°,
同理∠GEC=90°,
∴∠FGE+∠GEC=180°
∴GF∥EC;故①正确;
根据折叠的性质知DG=GO,GA=GO,
∴DG=GO=GA,即点G为AD的中点,
同理可得点E为AB的中点,
设AD=BC=2a,AB=CD=2b,则DG=GO=GA=a,OC=BC=2a,AE=BE=OE=b,
∴GC=3a,
在Rt△CDG中,CG2=DG2+CD2,
即(3a)2=a2+(2b)2,
∴b=,
∴AB=2=AD,故②不正确;
设DF=FO=x,则FC=2b-x,
在Rt△COF中,CF2=OF2+OC2,
即(2b-x)2=x2+(2a)2,
∴x==,即DF=FO=,
GE=a,
∴,
∴GE=DF;故③正确;
∴,
∴OC=2OF;故④正确;
∵∠FCO与∠GCE不一定相等,
∴△COF∽△CEG不成立,故⑤不正确;
综上,正确的有①③④,
故选:B.
【2021·江苏苏州·中考母题】如图,在平行四边形中,将沿着所在的直线翻折得到,交于点,连接,若,,,则的长是( )
A.1 B. C. D.
【考点分析】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
【思路分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形,根据已知条件可得CE得长,进而得出ED的长,再根据勾股定理可得出;
【答案】B
【详解】解:∵四边形是平行四边形
∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°,∠ACB=∠CAD
由翻折可知:BA=AB′=DC,∠ACB=∠AC B′=45°,
∴△AEC为等腰直角三角形
∴AE=CE
∴Rt△AE B′≌Rt△CDE
∴EB′=DE
∵在等腰Rt△AEC中,
∴
∵在Rt△DEC中, ,∠ADC=60°
∴∠DCE=30°
∴DE=1
在等腰Rt△DE B′中,EB′=DE=1
∴=
故选:B
1.(2022·江苏苏州·二模)如图把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折,点B的对应点为B′,AB′与DC相交于点E,则下列结论一定正确的是( )
A.BC=AC B.AE=CE C.AD=DE D.∠DAE=∠CAB
【答案】B
【思路分析】由翻折可得∠EAC=∠BAC,由平行线的性质可得∠ACD=∠BAC,则∠EAC=∠ECA,即AE=CE.
【详解】由翻折可得∠EAC=∠BAC,
∵四边形ABCD为矩形,
∴AB∥CD,
∴∠ACD=∠BAC,
∴∠EAC=∠ECA,
∴AE=CE,
故B选项正确;
A、C、D选项根据现有条件不能推理证明成立,条件不足,故选项错误;
故选:B.
2.(2022·江苏南京·二模)如图,矩形ABCO,点A、C在坐标轴上,点B的坐标为.将△ABC沿AC翻折,得到△ADC,则点D的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【思路分析】如图,过作轴于点,延长交于,由题意知,四边形是矩形,由翻折的性质可知,,,则,,证明,则,即,计算求出、的长,进而可得点坐标.
【详解】解:如图,过作轴于点,延长交于,
由题意知,四边形是矩形,由翻折的性质可知,,,
∴,,
∵,,
∴,
∴,
∴,即,
解得,,
∴,
故选A.
3.(2022·江苏泰州·一模)如图,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平后再次折叠,使点A落在EF上的点A′处,得到折痕BM,BM与EF相交于点N.若直线BA′交直线CD于点O,BC=11,EN=2,则FO的长为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【思路分析】根据中位线定理及折叠的性质可得,再由矩形的性质可得,过点M作于G,由勾股定理求出MG的长度,再证明,由相似三角形的性质即可求解.
【详解】
,对折矩形纸片ABCD,
由中位线定理得,
由折叠的性质可得,,
四边形ABCD是矩形,
,
,
,
,
,
,
,
,
过点M作于G,
,
,
由勾股定理得,
,
,
,
,即,
,
故选:D.
4.(2022·江苏宿迁·三模)已知长方形纸条ABCD,点E、G在AD边上,点F、H在BC边上.将纸条分别沿着EF、GH折叠,如图,当DC恰好落在上时,与的数量关系是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【思路分析】根据折叠的性质,矩形的性质,直角三角形的两个锐角互余的性质计算选择即可.
【详解】∵四边形ABCD是矩形,
∴∠GDC==90°,
∴,
根据折叠的性质,得
∴180°-2∠1+180°-2∠2=90°,
解得,
故选A.
5.(2022·江苏苏州·二模)如图①,②,③,④,两次折叠等腰三角形纸片ABC,先使AB与AC重合,折痕为AD,展平纸片:再使点A与点C重合,折痕为EF,展平纸片,AD、EF交于点G.若,,则DG的长为( )
A. B. C.1cm D.
【答案】B
【思路分析】由折叠的性质可得CD、CF,解Rt△ADC可得sin∠CAD、tan∠CAD,由同角的余角相等可得∠CAD=∠CEF,解Rt△CFE可得CE,进而求得DE,再解Rt△EDG可得DG;
【详解】解:由折叠的性质可得:AD垂直平分BC,EF垂直平分AC,
∴CD=3cm,CF=cm,
Rt△ADC中,AD==4cm,
∴sin∠CAD==,tan∠CAD=,
∵∠C+∠CAD=90°,∠C+∠CEF=90°,
∴∠CAD=∠CEF,
Rt△CFE中,CE=CF÷sin∠CEF=÷=cm,
∴DE=CE-DC=-3=cm,
Rt△EDG中,DG=DE•tan∠DEG=×=cm,
故选:B.
6.(2022·江苏·苏州中学二模)如图,菱形ABCD中,点E在AD上,将△ABE沿着BE翻折,点A恰好落在CD上的点F处.若∠A=65°,则∠DFE的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【思路分析】根据翻折变换可得AB=FB,∠A=∠EFB=65°,再根据菱形的性质和等腰三角形的判定和性质可得,∠A=∠C=65°=∠BFC,最后根据平角的意义求出答案即可.
【详解】由翻折变换可知,AB=FB,∠A=∠EFB=65°,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C=65°,
∴BF=BC,
∴∠BFC=∠C=65°,
∴∠DFE=180°-∠EFB-∠BFC
=180°-65°-65°
=50°,
故选:D.
7.(2022·江苏扬州·二模)如图,在矩形ABCD中,,,E是BC的中点,将沿直线AE翻折,点B落在点F处,连结CF,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【思路分析】利用翻折的性质,以及外角定理证得∠AEB=∠ECF,进行角度转换即可求出结果.
【详解】解:如图,∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,
∵E是BC的中点,,
∴BE=CE=,
∴AE= ,
由翻折变换的性质得:∠AEF=∠AEB,EF=BE=,
∴EF=CE,
∴∠EFC=∠ECF,
∵∠BEF=∠EFC+∠ECF,
∴∠AEB=∠ECF,
∴=,
故选:B.
8.(2022·江苏苏州·模拟)如图,在矩形ABCD中,点E在DC上,将矩形沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处,若,,则的值为( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【思路分析】根据矩形和轴对称的性质,得,,;设,根据勾股定理的性质列方程并求解,再根据三角函数的性质计算,即可得到答案.
【详解】∵矩形ABCD,,
∴,,
∵将矩形沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处,
∴,
设,
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故选:C.
9.(2022·江苏苏州·一模)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,平行四边形ABCD的边AB在x轴上,顶点D在y轴的正半轴上,点C在第一象限,将△AOD沿y轴翻折,使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为OE的中点.DE与BC交于点F.若y=(k≠0)图象经过点C.且S△BEF=1,则k的值为( )
A.18 B.20 C.24 D.28
【答案】C
【思路分析】连接OC,BD,根据折叠的性质得到OA=OE,得到OE=2OB,求得OA=2OB,设OB=BE=x,则OA=2x,根据平行四边形的性质得到CD=AB=3x,根据相似三角形的性质得到 ,即,求得S△BDF=3,S△CDF=9,即可求得S△CDO=S△BDC=12,于是得到结论.
【详解】解:如图,连接OC,BD,
∵将△AOD沿y轴翻折,使点A落在x轴上的点E处,
∴OA=OE,
∵点B恰好为OE的中点,
∴OE=2OB,
∴OA=2OB,
设OB=BE=x,则OA=2x,
∴AB=3x,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=3x,
∵CDAB,
∴△CDF∽△BEF,
∴,即,
∵S△BEF=1,
∴S△BDF=3,S△CDF=9,
∴S△BCD=S△BDF+S△CDF=3+9=12,
∴S△CDO=S△BDC=12,
∴|k|=2S△CDO=24,
∵反比例函数图像在第一象限,
∴k>0,
∴k=24.
故选择:C.
10.(2022·江苏·江阴市第一初级中学一模)如图,把三角形纸片ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE外部时,则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是( )
A.2∠A=∠1-∠2 B.3∠A=2(∠1-∠2)
C.3∠A=2∠1-∠2 D.∠A=∠1-∠2
【答案】A
【思路分析】根据折叠的性质可得,根据平角等于用表示出,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,用与表示出,然后利用三角形的内角和等于列式整理即可得解.
【详解】解:是沿折叠得到,
,
又,,
,
即,
整理得:.
故选:A.
11.(2022·江苏·无锡市天一实验学校二模)已知:如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8,tan∠ABC=,点N是边AC的中点,点M是射线BC上的一动点(不与B,C重合),连接MN,将△CMN沿MN翻折得△EMN,连接BE,CE,当线段BE的长取最大值时,sin∠NCE的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【思路分析】由翻折可知:NC=NE,所以点E在以N为圆心,NC长为半径的圆上,点B,N,E共线时,如图所示:此时BE最大,由翻折可知:MN是CE的垂直平分线,延长GN交AB于点D,可得DN平分∠ANB,过点D作DH⊥BN,然后证明Rt△AND≌Rt△HND(HL),可得AN=HN=6,根据勾股定理即可解决问题.
【详解】解:如图,由翻折可知:NC=NE,
所以点E在以N为圆心,NC长为半径的圆上,点B,N,E共线时,如图所示:此时BE最大,
在Rt△ABC中,∠A=90°,
∵AB=8,tan∠ABC=,
∴AC=12,
∵点N是边AC的中点,
∴AN=CN=6,
∴NE=6,
由翻折可知:MN是CE的垂直平分线,
∴∠ENG=∠CNG,
延长GN交AB于点D,
∴∠BND=∠AND,
∴DN平分∠ANB,
∵DA⊥AN,
过点D作DH⊥BN,
∴DA=DH,
∴DB=AB-AD=8-DH,
在Rt△AND和Rt△HND中,
,
∴Rt△AND≌Rt△HND(HL),
∴AN=HN=6,
在Rt△ABN中,AB=8,AN=6,
∴BN==10,
∴BH=BN-HN=10-6=4,
在Rt△DBH中,DB=8-DH,根据勾股定理得:
DB2=DH2+BH2,
∴(8-DH)2=DH2+42,
解得DH=3,
在Rt△ADN中,DH=DA=3,AN=6,根据勾股定理得:
DN2=AD2+AN2,
∴DN2=32+62=45,
∴DN=3,
∵∠A=∠NGC=90°,∠AND=∠GNC,
∴∠ADN=∠NCG,
∵sin∠ADN=,
∴sin∠NCG=sin∠NCE=.
故选:D.
12.(2022·江苏省南菁高级中学实验学校九年级)如图,在中,点是线段上的一点,过点作交于点,将沿翻折,得到,若点恰好在线段上,若,::,,则的长度为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【思路分析】设,,则,由折叠的性质得出,,,由勾股定理求出,设,则,由勾股定理列出方程求出的值,则可得出答案.
【详解】解:设,,则,
将沿翻折,得到,
,,,
,
,,
,
,
,
,
,,,
,
设,则,
,
,
解得,
,
故选C.
13.(2022·江苏·九年级专题练习)如图,在△ABC中,,点D是AB的中点,将△ACD沿CD对折得△A′CD.连接,连接AA′交CD于点E,若,,则CE的长为( )
A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm
【答案】B
【思路分析】由折叠性质得AA′⊥CD,AD= A′D,根据直角三角形斜边上的中线性质可证得CD=AD=BD= A′D,可证得A、C、A′、B共圆且AB为直径,利用垂径定理的推论和三角形的中位线性质证得DE= A′B,进而可求解CE的长.
【详解】解:由折叠性质得AA′⊥CD,AD= A′D,
∵,点D是AB的中点,
∴CD=AD=BD= A′D=AB,
∴A、C、A′、B共圆且AB为直径,又A A′⊥CD,
∴AE= A′E,又AD=BD,
∴DE是△AB A′的中位线,
∴DE= A′B,
∵,,
∴CD=7cm,DE=2cm,
∴CE=CD-DE=7-2=5cm,
故选B.
14.(2022·江苏·宜兴市树人中学九年级)如图,在△ABC中,点D是线段AB上的一点,过点D作DE∥AC交BC于点E,将△BDE沿DE翻折,得到△B'DE,若点C恰好在线段B'D上,若∠BCD=90°,DC:CB'=3:2,AB=,则CE的长度为( )
A. B.4 C. D.6
【答案】C
【思路分析】设DC=3x,,则DB'=5x,由折叠的性质得出DB=DB',∠BDE=∠B'DE,BE=B'E,由勾股定理求出BC=8,设CE=a,则BE=8﹣a=B'E,由勾股定理得出方程求出a的值,则可得出答案.
【详解】解:设DC=3x,CB'=2x,则DB'=5x,
∵将△BDE沿DE翻折,得到△B'DE,
∴DB'=DB,∠BDE=∠B'DE,BE=B'E,
∵DE∥AC,
∴∠A=∠BDE,∠ACD=∠CDE,
∴∠A=∠ACD,
∴CD=AD=3x,
∴AB=AD+DB=8x=16,
∴x=2,
∴CD=6,BD=10,B'C=4,
∴BC==8,
设CE=a,则BE=8﹣a=B'E,
∵CE2+B'C2=B'E2,
∴a2+32=(8﹣a)2,
解得a=3,
∴CE=3,
故选:C.
15.(2022·江苏·九年级专题练习)如图①,AB=5,射线AM∥BN,点C在射线BN上,将△ABC沿AC所在直线翻折,点B的对应点D落在射线BN上,点P,Q分别在射线AM、BN上,PQ∥AB.设AP=x,QD=y.若y关于x的函数图象(如图②)经过点E(9,2),则cosB的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【思路分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形,可得AP=BQ=x,由图象②可得当x=9时,y=2,此时点Q在点D下方,且BQ=x=9时,y=2,如图①所示,可求BD=7,由折叠的性质可求BC的长,由锐角三角函数可求解.
【详解】解:∵AM∥BN,PQ∥AB,
∴四边形ABQP是平行四边形,
∴AP=BQ=x,
由图②可得当x=9时,y=2,
此时点Q在点D下方,且BQ=x=9时,y=2,如图①所示,
∴BD=BQ﹣QD=x﹣y=7,
∵将△ABC沿AC所在直线翻折,点B的对应点D落在射线BN上,
∴BC=CD=BD=,AC⊥BD,
∴cosB===,
故选:D.
16.(2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学九年级期中)如图,在△ABC中,D是AC边上的中点,连接BD,把△BDC沿BD翻折,得到△BDC′,DC'与AB交于点E,连接AC′,若AD=AC′=2,BD=3,则点D到BC的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【思路分析】连接CC',交BD于点M,过点D作DH⊥BC'于点H,由翻折知,△BDC≌△BDC',BD垂直平分CC',证△ADC'为等边三角形,利用解直角三角形求出DM=1,C'M=DM=,BM=2,在Rt△BMC'中,利用勾股定理求出BC'的长,在△BDC'中利用面积法求出DH的长,则可得出答案.
【详解】解:如图,连接CC',交BD于点M,过点D作DH⊥BC'于点H,
∵AD=AC′=2,D是AC边上的中点,
∴DC=AD=2,
由翻折知,△BDC≌△BDC',BD垂直平分CC',
∴DC=DC'=2,BC=BC',CM=C'M,
∴AD=AC′=DC'=2,
∴△ADC'为等边三角形,
∴∠ADC'=∠AC'D=∠C'AC=60°,
∵DC=DC',
∴∠DCC'=∠DC'C=×60°=30°,
在Rt△C'DM中,
∠DC'C=30°,DC'=2,
∴DM=1,C'M=DM=,
∴BM=BD−DM=3−1=2,
在Rt△BMC'中,
BC'=,
∵S△BDC'=BC'•DH=BD•CM,
∴DH=3×,
∴DH=,
∵∠DCB=∠DBC',
∴点D到BC的距离为.
故答案为:C.
17.(2022·江苏南通·九年级)如图,AB为⊙O的一条弦,C为⊙O上一点,OC∥AB.将劣弧AB沿弦AB翻折,交翻折后的弧AB交AC于点D.若D为翻折后弧AB的中点,则∠ABC=( )
A.110° B.112.5° C.115° D.117.5°
【答案】B
【思路分析】如图,取 中点,连接,连接,由题意知,且在一条直线上,,,知,根据圆周角定理,等边对等角,三角形内角和定理等可求,,,,,的值,进而求解的值.
【详解】解:如图,取 中点,连接,连接
由题意知,且在一条直线上,,
∴
∴
∵,
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故选B.
18.(2022·江苏南京·九年级专题练习)如图,在矩形纸片ABCD中,点E、F分别在矩形的边AB、AD上,将矩形纸片沿CE、CF折叠,点B落在H处,点D落在G处,点C、H、G恰好在同一直线上,若AB=6,AD=4,BE=2,则DF的长是( )
A.2 B. C. D.3
【答案】A
【思路分析】构造如图所示的正方形,然后根据相似三角形的判定和性质解直角三角形FNP即可.
【详解】如图,延长CE,FG交于点N,过点N作,延长交于,
∴∠CMN=∠DPN=90°,
∴四边形CMPD是矩形,
根据折叠,∠MCN=∠GCN,CD=CG,,
∵∠CMN=∠CGN=90°,CN=CN,
∴,
∴,
四边形为正方形,
∴,
∴,
,,
,
设,则,
在中,由可得
解得;
故选A.
19.(2022·江苏·宿迁青华中学九年级期末)如图,四边形内接于,,.劣弧沿弦翻折,刚好经过圆心.当对角线最大时,则弦的长为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【思路分析】首先作好辅助线,利用翻折性质得出△OBF为等边三角形,进而得出OB,再利用过直径的三角形是直角三角形得出OE=EB=,进而即可得解.
【详解】当BD过圆心时最大,连接OA,作OE⊥AB,还原劣弧,设与点O对应的点为F,连接FB、FC、OF,OF交BC于G,如图所示:
由翻折的性质,得
OB=BF,∠OBC=∠FBC
∵翻折后刚好经过圆心
∴OB=OF
∴△OBF为等边三角形,即∠OBC=30°
∵OF⊥BC
∴
∵
∴BG=CG=1.5
∴
∵,OE⊥AB,OA=OB
∴∠ABD=∠ADB=45°
∴OE=EB=
∴
故选:A.
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