2023年湖北省随州市中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖北省随州市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 2022的相反数的倒数是(    )A. 2022 B. −12022 C. 12022 D. −20222. 2021年5月22日，中国工程院院士袁隆平在长沙不幸逝世．这位“共和国勋章获得者”的最大贡献是杂交水稻技术．2020年我国水稻种植面积4.5亿亩，其中50%左右是杂交水稻，则杂交水稻种植面积用科学记数法表示约为(    )A. 4.5×108亩 B. 2.25×108亩 C. 4.5×109亩 D. 2.25×109亩3. 马大哈同学做如下运算题：①x5+x5=x10②x5−x4=x③x5⋅x5=x10④x10÷x5=x7⑤(x5)2=x25，其中结果正确的是(    )A. ①②④ B. ②④ C. ③ D. ④⑥4. 如图所示的几何体，它的俯视图是(    )A. B. C. D. 5. 将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD的长度是(    )A. 5 B. 53 C. 10−53 D. 15−536. 已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C=90°，我们把关于x的形如y=acx+bc的一次函数称为“勾股一次函数”.若点P(−1,33)在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是(    )A. 26 B. 24 C. 23 D. 127. 将方程2(x−1)=3(x−1)的两边同除以x−1，将2=3，其错误的原因是(    )A. 方程本身是错的 B. 方程无解C. 两边都除以0 D. 2(x−1)小于3(x−1)8. 如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=60°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的G点处(不与B，D重合)，折痕为EF，若DG=13BG，则BE的长为(    )A. 145 B. 135 C. 137 D. 759. 看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马综合指标数如表，每匹马只赛一场，综合指标的两数相比，大数为胜，三场两胜则赢，已知齐王的三匹马出场顺序为6，4，2.若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为(    )A. 13 B. 16 C. 19 D. 11210. 如图，等边三角形ABC，AB=6，D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则ND+CN的最小值为(    )A. 3B. 23C. 33D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11. 计算：27−123−2−1+tan230°=______．12. 生活中到处可见黄金分割的美．向日葵就是一个很好的例子，如果仔细观察向日葵中心，就会发现似乎有条螺旋形的曲线，如果对此进行计算，结果会得到黄金分割数列，如图是一株向日葵的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割(黄金分割比≈0.618).已知AC=2，且AC>BC，则BC的长约______．13. 如图，AB是半圆的直径，C为半圆上一点，连接AC，BC，D为弧BC上一点．连接OD，交BC于点E，连接AE，若四边形ACDE为平行四边形，AE=23，则AB的长为______．14. 已知二次函数y=(m−2)x2+2mx+m−3的图象与x轴有两个交点(x1,0)，(x2,0)，则下列说法正确的有：       (填序号) ①该二次函数的图象一定过定点(−1,−3)；②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：652且0≤x≤2时，y的最小值为m−3；④当m>2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1、x2满足−40)的图象经过BC边上的中点D，交AB于点E．(1)求k的值；(2)猜想△OCD的面积与△OBE的面积之间的关系，请说明理由．(3)若点P(x,y)在该反比例函数的图象上运动(不与点D重合)，过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x的取值范围．21. (本小题12.0分)如图1，CD是⊙O的弦，半径OA⊥CD，垂足为B，过点C作⊙O的切线l．(1)若点E在⊙O上，且CE=CA，连接OE．①连接AE，求证：AE//l；②如图2，若B是OA的中点，连接OD，求证：DE是⊙O的直径；(2)如图3，过点B作BF⊥l，垂足为F，若⊙O的半径是4，求BC−BF的最大值．22. (本小题12.0分)如图，在正方形ABCD中，点E在直线AD右侧，且AE=1，以DE为边作正方形DEFG，射线DF与边BC交于点M，连接ME，MG．(1)如图1，求证：ME=MG；(2)若正方形ABCD的边长为4，①如图2，当G，C，M三点共线时，设EF与BC交于点N，求MNEM的值；②如图3，取AD中点P，连接PF，求PF长度的最大值．23. (本小题14.0分)抛物线y=x2−1交x轴于A，B两点(A在B的左边)．(1)▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；①如图(1)，若点C的坐标是(0,3)，点E的横坐标是32，直接写出点A，D的坐标．②如图(2)，若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标．(2)如图(3)，F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF(不含端点)于G，H两点.若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的值是定值．答案和解析1.【答案】B 【解析】解：2022的相反数是−2022，−2022的倒数是−12022．故选：B．根据相反数和倒数的定义解答即可．本题考查了相反数和倒数，掌握相关定义是解答本题的关键．2.【答案】B 【解析】解：4.5亿亩=450000000亩，450000000×50%=225000000=2.25×108(亩)．故选：B．首先用2020年我国水稻种植面积乘50%，求出杂交水稻的种植面积；然后根据：用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，把杂交水稻种植面积用科学记数法表示出来即可．此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．3.【答案】C 【解析】解：①x5+x5=2x5，故①错误；②x5与x4不是同类项，不能计算，故②错误；③x5⋅x5=x10，故③正确；④x10÷x5=x5，故④错误；⑤(x5)2=x10，故⑤错误．故选：C．根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的法则．本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．4.【答案】C 【解析】解：根据题意得，该几何体的俯视图，故选：C．根据三视图的知识得出结论即可．本题主要考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解题的关键．5.【答案】D 【解析】解：过点B作BM⊥ED于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10·tan60°=103，∵AB//CF，∴∠BCM=∠ABC，∴BM=BC·sin30°=103×12=53，CM=BC·cos30°=103×32=15，在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=53，∴CD=CM−MD=15−53．故选：D．过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案．本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．6.【答案】A 【解析】解：∵点P(−1,33)在“勾股一次函数”y=acx+bc的图象上，∴33=−ac+bc，即a−b=−33c，又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C=90°，Rt△ABC的面积是4，∴12ab=4，即ab=8，又∵a2+b2=c2，∴(a−b)2+2ab=c2，即∴(−33c)2+2×8=c2，解得c=26，故选：A．依据题意得到三个关系式：a−b=−33c，ab=8，a2+b2=c2，运用完全平方公式即可得到c的值．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．7.【答案】C 【解析】解：∵2(x−1)=3(x−1) ∴2x−2=3x−3，∴x=1，当两边同除以x−1时，即同除以了0，无意义，∴错误的原因是方程两边同除以了0．故选：C．根据等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，所以在两边同除以x−1时要保证x≠1，条件没给出x≠1，所以不能同除以x−1．本题考查了等式的性质：性质1、等式两边加同一个数(或式子)结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．8.【答案】D 【解析】解：如图，过点E作EH⊥BD于H， 由折叠的性质得：EG=AE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD=BC，又∴∠C=60°，∴∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD=4，又∵DG=13BG，∴BD=DG+GB=13BG+BG=43BG=4，∴BG=3，设BE=x，则EG=AE=4−x，在Rt△EHB中，∠HEB=90°−60°=30°，∴BH=BE⋅sin30°=12x，EH=BE⋅cos30°=32x，∴GH=3−12x，在Rt△GEH中，由勾股定理得：(4−x)2=(32x)2+(3−12x)2，解得：x=75，即BE=75，故选：D．过点E作EH⊥BD于H，由菱形的性质可证△ABD为等边三角形，设BE=x，则EG=AE=4−x，BH=BE⋅sin30°=12x，EH=BE⋅cos30°=32x，则GH=3−12x，在Rt△GEH中，由勾股定理得(4−x)2=(32x)2+(3−12x)2，即可解决问题．本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键．9.【答案】B 【解析】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为6，4，2时，田忌的马按1，5，3的顺序出场，田忌才能赢得比赛，当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下： 双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，∴田忌能赢得比赛的概率为16．故选：B．列表得出所有等可能的情况，田忌能赢得比赛的情况有1种，再由概率公式求解即可．此题考查的是用列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10.【答案】C 【解析】解：∵线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，∴CM=CN，∠MCN=∠ACB=60°，∴∠ACM=∠BCN，∵AC=CB，∴△ACM≌△BCN(SAS)，∴∠CBN=∠CAM，∵△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，∴∠CAM=30°，∴∠CBN=30°，∴点N在线段BN上运动，作点D关于直线BN的对称点D′，连接CD′，则ND+CN的最小值即为CD′的长， ∴∠CBN=∠D′BN=30°，∴△BDD′是等边三角形，∴BD=DC=D′B，∴∠BD′C=90°，∠BCD′=30°，∵BC=6，∴BD′=3，CD′=33，∴ND+CN的最小值为33，故选：C．首先利用SAS证明△ACM≌△BCN，得∠CBN=∠CAM，可知N在线段BN上运动，作点D关于直线BN的对称点D′，连接CD′，则ND+CN的最小值即为CD′的长，利用勾股定理求出CD′的长即可得出答案．本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明点N在线段BN上运动是解题的关键．11.【答案】56 【解析】解：原式=273−123−12+(33)2 =3−2−12+13 =56．故答案为56．利用二次根式的除法法则、负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值进行计算．本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则、负整数指数幂和特殊角的三角函数值是解决问题的关键．12.【答案】1.236． 【解析】解：由题意知BC：AC≈0.618，BC≈0.618AC=0.618×2=1.236，故答案为：1.236．黄金分割又称黄金率，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1：0.618或1.618：1，即长段为全段的0.618.0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割．本题主要考查了黄金分割的比例关系，关键是根据黄金分割比解答．13.【答案】6 【解析】解：如图，连接OC． ∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AC=DE，CD=AE，AC//DE，∴∠ACE=∠DEC=90°，∴OD⊥BC，∴EC=EB，∵OA=OB，∴AC=2OE=DE，∴OE=13OD=13OC，DE=23OD=23OC，∵CE2=OC2−OE2=CD2−DE2，CD=AE=23，∴OC2−(13OC)2=(23)2−(23OC)2，∴OC=3，∴AB=6，故答案为：6．如图，连接OC.证明AC=DE=2OE，利用勾股定理构建关系式，可得结论．本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14.【答案】②④ 【解析】解：①y=(m−2)x2+2mx+m−3=m(x+1)2−2x2−3，当x=−1时，y=−5，故该函数图象一定过定点(−1,−5)，故①错误；②若该函数图象开口向下，则m−2<0，且Δ>0，Δ=b2−4ac=20m−24>0，解得：m>65，且m<2，故m的取值范围为：652，函数的对称轴在y轴左侧，当0≤x≤2时，y的最小值在x=2处取得，故y的最小值为：(m−2)×4+2m×2+m−3=9m−11，故③错误；④当m>2，x=−4时，y=16(m−2)−8m+m−3=9m−29，当x=−3时，9(m−2)−6m+m−3=4m−21，当−43，故m的取值范围为：359−3，∴不等式组的解集为−32时，S矩形QCRP=CQ⋅PQ，S=x(3−kx)，S=3x−6．综上所述，S=6−3x，(02)． 【解析】(1)根据矩形的性质及三角函数可得cos∠OBC的值，设BC=4x，OB=5x，由勾股定理及中点的定义可得D(2,3)，再利用待定系数法可得答案；(2)利用三角形的面积公式及中点定义可得答案；(3)分当02时，进行分类讨论可得答案．此题考查的反比例函数，利用面积公式进行解答是解决此题关键．21.【答案】(1)证明：①连接OC， ∵l是⊙O的切线，OC是半径，∴OC⊥l，∵ CE=CA，∴∠COE=∠COA，∵OE=OA，∴OC⊥AE，∴AE//l，②连接OC，AD， ∵B是OA的中点，OA⊥CD，∴OD=AD，AD=AC，又∵OD=OA，∴OD=AD=OA，∴△OAD是等边三角形，∴∠DOA=60°，∵AD=AC=EC，∴∠DOA=∠AOC=∠EOC=60°，∴∠DOE=180°，∴DE是⊙O的直径；(2)解：连接OC， ∵l是⊙O的切线，OC是半径，∴OC⊥l，∵BF⊥l，∴OC//BF，∴∠OCB=∠CBF，∵∠OBC=∠CFB=90°，∴△OCB∽△CBF，∴OCCB=CBBF，设BC=x，则BF=CB2OC=14x2，∴BC−BF=x−14x2=−14(x−2)2+1，∴BC−BF的最大值为1． 【解析】(1)①连接OC，由 CE=CA，得∠COE=∠COA，再根据等腰三角形三线合一的性质得OC⊥AE，由切线的性质知OC⊥l，从而证明结论；②连接OC，AD，可得△OAD是等边三角形，再由垂径定理知AD=AC=EC，得∠DOA=∠AOC=∠EOC=60°，∠DOE=180°，则DE是⊙O的直径；(2)连接OC，利用两个角相等证明△OCB∽△CBF，得OCCB=CBBF，设BC=x，则BF=CB2OC=14x2，则BC−BF=x−14x2=−14(x−2)2+1，从而解决问题．本题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，证明△OCB∽△CBF，表示出BF的长度是解题的关键．22.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴DE=DG，∠EDF=∠GDF=45°，在△DEM和△DGM中，DE=DG∠EDM=∠GDMDM=DM,∴△DEM≌△DGM(SAS)，∴ME=MG；(2)①如图，当G、C、M三点共线时，∵∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADE=∠CDG，∵AD=CD，DE=GD，在△ADE和△CDG中，AD=CD∠ADE=∠CDGDE=DG ,∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴∠DAE=∠DCG=90°，∠AED=∠DGC，AE=CG=1，∴点E在AB上，作FH⊥AB于H，∴∠A=∠H=90°，∴∠ADE+∠AED=90°，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEH=90°，∴∠ADE=∠FEH，∵DE=EF，在△ADE和△HEF中，∠ADE=∠HEF∠DAE=∠EHFED=FE,∴△ADE≌△HEF(AAS)，∴FH=AE=1，EH=AD=4，BG=5，又EB=3，FH//BN，∴△EBN∽△EHF∴BNBE=FHEH=14，解得BN=34，由(1)知，△DEM≌△DGM，∴设EM=GM=x，在Rt△EBM中，EM2=BE2+BM2，即x2=32+BM2，又BM+MG=BG，MG=EM=x，即BM+x=5，联立两式可得，x=175，BM=85，∴MN=BM−BN=1720，∴MNEM=1720175=14；②如图2，连接BD，BF，∵∠ADB=∠EDF=45°，∴∠ADE=∠BDF，∵ADBD=DEDF=12，∴△ADE∽△BDF，∴BFAE=DFDE=2，∴BF=2AE=2，∴点F在以B为圆心，2为半径的圆上运动，作射线PB交⊙B于F′，当F运动到F′时，PF最大，∵PB=AP2+AB2=22+42=25，∴PF最大为PF′=BP+BF′=25+2． 【解析】本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，相似三角形判定和性质．(1)证明△DEM≌△DGM，从而得证；(2)①先证明点E在AB上，证明EN平分∠BEM，作FH⊥AB于H，证明△ADE≌△HEF，进而可得BNBE=FHEH=14，在Rt△EBM中，根据勾股定理和线段的关系求出EM，BM，进而得出结果；②连接BD，BF，证明△ADE∽△BDF，从而确定点F在以B为圆心，2为半径的圆上运动，进一步求得结果．23.【答案】解：(1)对于y=x2−1，令y=x2−1=0，解得x=±1，令x=0，则y=−1，故点A、B的坐标分别为(−1,0)、(1,0)，顶点坐标为(0,−1)，①当x=32时，y=x2−1=54，由点A、C的坐标知，点A向右平移1个单位向上平移3个单位得到点C，∵四边形ACDE为平行四边形，故点E向右平移1个单位向上平移3个单位得到点D，则32+1=52，54+3=174，故点D的坐标为(52,174)；②设点C(0,n)，点E的坐标为(m,m2−1)，同理可得，点D的坐标为(m+1,m2−1+n)，将点D的坐标代入抛物线表达式得：m2−1+n=(m+1)2−1，解得n=2m+1，故点C的坐标为(0,2m+1)；连接CE，过点E作y轴的平行线交x轴于点M，交过点C与x轴的平行线与点N，则S△ACE=S梯形CNMA−S△CEN−S△AEM=12(m+1+m)(2m+1)−12×(m+1)(m2−1)−12m[2m+1−(m2−1)]=12S▱ACED=6，解得m=−5(舍去)或2，故点E的坐标为(2,3)；(2)∵F是原点O关于抛物线顶点的对称点，故点F的坐标为(0,−2)，由点B、F的坐标得，直线BF的表达式为y=2x−2①，同理可得，直线AF的表达式为y=−2x−2②，设直线l的表达式为y=tx+n，联立y=tx+n和y=x2−1并整理得：x2−tx−n−1=0，∵直线l与抛物线只有一个公共点，故△=(−t)2−4(−n−1)=0，解得n=−14t2−1，故直线l的表达式为y=tx−14t2−1③，联立①③并解得xH=t+24，同理可得，xG=t−24，∵射线FA、FB关于y轴对称，则∠AFO=∠BFO，设∠AFO=∠BFO=α，则sin∠AFO=sin∠BFO=OBBF=11+22=15=sinα，则FG+FH=−xGsinα+xHsinα=5(xH−xG)=5(t+24−t−24)=5，为常数． 【解析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．(1)①点A向右平移1个单位向上平移3个单位得到点C，而四边形ACDE为平行四边形，故点E向右平移1个单位向上平移3个单位得到点D，即可求解；②利用S△ACE=S梯形CNMA−S△CEN−S△AEM=6，求出m=−5(舍去)或2，即可求解；(2)由FG+FH=−xGsinα+xHsinα=5(xH−xG)=5(t+24−t−24)=5，即可求解．马匹等级下等马中等马上等马齐王246田忌135性别平均数中位数众数男生47.5a47女生47.54747.5