2022-2023学年黑龙江省鸡西市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年黑龙江省鸡西市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. x2+y=3B. x2−1x=1C. x2−3=0D. 2x+1=0
2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 从2，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
4. 要得到抛物线y=13x2+4，可将抛物线y=13x2( )
A. 向右平移4个单位长度B. 向下平移4个单位长度
C. 向左平移4个单位长度D. 向上平移4个单位长度
5. 一个班级里共有x人，每人都分别给班里的其他同学发一条信息，共发信息1980条，则可列方程为( )
A. 12x(x−1)=1980B. x(x−1)=1980
C. 12x(x+1)=1980D. x(x+1)=1980
6. 如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是优弧BC上一点，如果∠AOB=58°，那么∠ADC的度数为( )
A. 32°
B. 29°
C. 58°
D. 116°
7. 已知点P(2a+1,a−1)关于原点对称的点在第一象限，则a的取值范围是( )
A. a<−12或a>1B. a<−12C. −121
8. 如图，反比例函数y=1x的图象与矩形ABCO的边AB、BC相交于E、F两点，点A、C在坐标轴上．若BE=2AE，则四边形OEBF的面积为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9. 如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=1，将直角三角形ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AED，连接CD，延长DE到F，使EF=2，连接CF，AF，若∠EAF+∠BAC=45°，则CF的长为( )
A. 2B. 4C. 3D. 5
10. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是边BC的中点，连接AE，DE，分别交BD，AC于点P，Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于点F.下列结论：①AP=FP；②AE=102AO；③若四边形OPEQ的面积为4，则正方形ABCD的面积为36；④CE⋅EF=EQ⋅DE.其中结论正确的序号有( )
A. ①②③④B. ①②③C. ③④D. ①②④
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 反比例函数y=m+2x的图象在每一象限，函数值y都随x增大而减小，那么m的取值范围是______ ．
12. 如果两个相似三角形的周长比为1：6，那么这两个三角形的面积比为 ．
13. 设α，β是方程x2+2022x−2=0的两个根，则(α2+2022α−1)(β2+2022β+2)= ．
14. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，这些球除颜色外无其他差别，多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定于20%，则口袋中的白球有 个.
15. 点P在二次函数y=(x−1)2+3的图象上，且到该抛物线对称轴的距离为3，则点P的坐标为 ．
16. 如图，AB是⊙O的直径，∠BOD=120°，C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE=1，则AE的长为 ．
17. 如图是一个圆锥形冰淇淋外壳.(不计厚度)已知其母线长为12cm，底面圆的半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于______ cm2．
18. 如图，抛物线y=x2−4x+3与x轴分别交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接MA，MC，AC，则△MAC周长的最小值是 ．
19. 在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点E在边AB上，若△ADE与△BCE相似，则AE的长为 ．
20. 如图，点B1在直线l：y=13x上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，以A1B1为边向右作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交直线l于点B2；以A2B2为边向右作正方形A2B2C2A3，延长A3C2交直线l于点B3…按照这个规律进行下去，点B2023的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题5.0分)
已知关于x的方程x2+kx+k−5=0的一个根为3，求该方程的另一个根．
22. (本小题6.0分)
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点在格点(网格线的交点)上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为(1,0)．
(1)将△ABC向左平移5个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，将△A1B1C1放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，得到△A2B2C2，在所给的方格纸中画出△A2B2C2；
(3)若点M是AB的中点，经过(1)、(2)两次变换，M的对应点M2的坐标是 ．
23. (本小题6.0分)
如图，抛物线y=(x−1)2+n与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0,−3)，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)P是抛物线上的一点，当△ABP的面积是8时，直接写出点P的坐标．
24. (本小题7.0分)
为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动.竞赛项目有A.回顾重要事件；B.列举革命先烈；C.讲述英雄故事；D.歌颂时代精神.学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛的情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

(1)本次被调查的学生共有 名；
(2)在扇形统计图中，“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为 ，并把条形统计图补充完整；
(3)从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣传员，直接写出恰好小华和小艳同时被抽中的概率．
25. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y1=k1x+b与双曲线y2=k2x相交于A(−2,3)，B(m,−2)两点．
(1)求y1，y2对应的函数表达式；
(2)过点B作BP//x轴交y轴于点P，求△ABP的面积；
(3)根据函数图象，直接写出关于x的不等式k1x+b26. (本小题8.0分)
△ABC和△ANM均为等腰直角三角形，∠BAC=∠MNA=90°.P为BC中点，连接CM，PN．

(1)如图①，当点M在AB上时，求证MC=2NP；
(2)如图②，当点M在△ABC内部时；如图③，当点M在△ABC外部时，线段MC，NP之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不必证明．
27. (本小题10.0分)
某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y=−2x+80.设这种商品每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
28. (本小题10.0分)
如图，直角三角形ABC在平面直角坐标系中，直角边BC在y轴上，AB，BC的长分别是一元二次方程x2−14x+48=0的两个根，AB(1)求点A的坐标；
(2)求直线AP的解析式；
(3)M为x轴上一点，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.此方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B.此方程是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C.x2−3=0是一元二次方程，故此选项符合题意；
D.此方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据一元二次方程的一般形式：形如ax2+bx+c=0(a,b,c为常数且a≠0)，逐一判断即可解答．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
根据有理数的定义可找出在2，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，再根据概率公式即可求出抽到有理数的概率．
本题考查了概率公式以及有理数，根据有理数的定义找出5个数中的有理数的个数是解题的关键，还考查了概率计算公式，即概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：∵在2，0，π，3.14，6这5个数中只有0，3.14和6为有理数，
∴从2，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是35．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】解：将抛物线y=13x2向上平移4个单位长度，可得平移后抛物线的表达式为y=13x2+4，
故选：D．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5.【答案】B
【解析】解：∵一个班级里共有x人，
∴每人需发送(x−1)条信息．
根据题意得：x(x−1)=1980，
故选：B．
由班级的人数，可得出每人需发送(x−1)条信息，结合该班级共发信息1980条，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵弦BC⊥OA，
∴AB=AC，
∴∠ADC=12∠AOB=12×58°=29°.、
故选：B．
先根据垂径定理得到AB=AC，然后根据圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
7.【答案】B
【解析】解：点P(2a+1,a−1)关于原点对称的点(−2a−1,−a+1)在第一象限，
则−2a−1>0,−a+1>0,
解得：a<−12．
故选：B．
直接利用关于原点对称的点的性质分析得出答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的性质以及不等式组的解法，正确解不等式是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，连接OB．
∵BE=2AE，
∴S△OBE=2S△OAE，
∵E、F在y=1x上，四边形AOCB是矩形，
∴S△AEO=S△OCF=12，S△OBC=S△OBA，
∴S△OBE=S△OBF=12×2=1，
∴S四边形OFBE=2．
故选：B．
连接OB.由BE=2AE，得出S△OBE=2S△OAE，根据反比例函数系数k的几何意义S△AEO=S△OCF=12，由矩形的性质得出S△OBC=S△OBA，从而得出S△OBE=S△OBF=12×2=1，即可得出S四边形OFBE=2．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上的点的特征，矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9.【答案】C
【解析】解：∵将直角三角形ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AED，
∴△ABC≌△AED，∠CAD=90°，
∴BC=DE=1，AC=AD，∠BAC=∠DAE，∠ACB=∠ADE=90°=∠CAD，
∴DF=DE+EF=3，AC//DF，
∵∠EAF+∠BAC=45°，
∴∠DAE+∠EAF=45°=∠DAF，
∴∠DAF=∠AFD=45°，
∴AD=DF=3，
∴AD=DF=AC，
又∵AC//DF，
∴四边形ACFD是平行四边形，
又∵AD=DF，∠ADF=90°，
∴四边形ACFD是正方形，
∴AD=CF=3，
故选：C．
由旋转的性质可得△ABC≌△AED，∠CAD=90°，可证四边形ACFD是正方形，可得AD=CF=3，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定和性质，证明四边形ACFD是正方形是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：作PI⊥AB于点I，PH⊥BC于点H，则∠AIP=∠FHP=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CB=CD，∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB=45°，
∴PI=PH，
∵∠PIB=∠PHB=∠HBI=90°，PF⊥AE，
∴∠IPH=∠APF=90°，
∴∠API=∠FPH=90°−∠FPI，
∴△API≌△FPH(ASA)，
∴AP=FP，
故①正确；
∵E是边BC的中点，
∴BE=CE=12CB=12AB，
∴AE=AB2+BE2=AB2+(12AB)2=52AB，
∵OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，且AC=BD，AC⊥BD，
∴OA=OB=OC=OD，∠AOB=∠BOC=90°，
∴AB=OA2+OB2=2OA2=2OA，
∴AE=52×2OA=102OA，
故②正确；
连接OE，则OE//AB//CD，EO=12AB，
∴∠POE=∠ABD=45°，
∴∠POE=∠QOE=45°，
∵AB=DC，∠ABE=∠DCE，BE=CE，
∴△ABE≌△DCE(SAS)，
∴∠BAE=∠CDE，
∵∠PEO=∠BAE，∠QEO=∠CDE，
∴∠PEO=∠QEO，
∴OE=OE，
∴△POE≌△QOE(ASA)，
∴S△POE=S△QOE=12S四边形OPEQ=12×4=2，
∵△POE∽△PBA，
∴PEPA=EOAB=12，
∴S△POES△PBA=(12)2=14，PA=2PE，
∴S△PBA=4S△POE=4×2=8，S△POA=2S△POE=2×2=4，
∴S△AOD=S△COD=S△BOC=S△AOB=8+4=12，
∴S正方形ABCD=12×4=48≠36，
故③错误；
∵∠F=∠BAE=∠CAE，∠FPE=∠DCE=90°，
∴△FPE∽△DCE，
∴EFDE=EPCE，
∴CE⋅EF=EP⋅DE，
∵EP=EQ，
∴CE⋅EF=EQ⋅DE，
故④正确，
故选：D．
作PI⊥AB于点I，PH⊥BC于点H，可证明△API≌△FPH，得AP=FP，可判断①正确；因为BE=CE=12CB=12AB，所以AE=AB2+BE2=52AB，而AB=2OA，则AE=52×2OA=102OA，可判断②正确；连接OE，则OE//AB//CD，EO=12AB，可证明△POE≌△QOE，则S△POE=S△QOE=12S四边形OPEQ=2，由△POE∽△PBA，得PEPA=EOAB=12，则S△POES△PBA=(12)2=14，PA=2PE，可求得S△PBA=4S△POE=8，S△POA=2S△POE=4，S△AOD=12，所以S正方形ABCD=48≠36，可判断③错误；再证明△FPE∽△DCE，可推导出CE⋅EF=EP⋅DE，而EP=EQ，则CE⋅EF=EQ⋅DE，可判断④正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
11.【答案】m>−2
【解析】解：∵反比例函数y=m+2x的图象在每一象限，函数值y都随x增大而减小，
∴m+2>0，
∴m>−2．
故答案为：m>−2．
由反比例函数y=kx中，当k>0时，在每一象限，函数值y都随x增大而减小，列关于m的不等式，解出即可．
本题考查了反比例函数图象的性质：
①当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限．
②当k>0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．注意反比例函数的图象应分在同一象限和不在同一象限两种情况分析．
12.【答案】1：36
【解析】解：∵两个相似三角形的周长之比为1：6，
∴它们的相似比为1：6，
∴它们的面积比为1：36，
故答案为：1：36．
已知了两个相似三角形的周长比，即可得到它们的相似比，由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解．
此题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
13.【答案】4
【解析】解：∵α，β是方程x2+2022x−2=0的两个根，
∴α2+2022α−2=0，β2+2022β−2=0，
∴α2+2022α=2，β2+2022β=2，
则(α2+2022α−1)(β2+2022β+2)=(2−1)×(2+2)=4，
故答案为：4．
根据一元二次方程根的定义得到α2+2022α−2=0，β2+2022β−2=0，进一步得到α2+2022α=2，β2+2022β=2，代入代数式即可得到答案．
本题考查了一元二次方程的根，正确掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．
14.【答案】16
【解析】解：设袋中白球的个数为x，
根据题意，得：44+x=20%，
解得x=16，
经检验x=16是分式方程的解，
所以口袋中白球可能有16个，
故答案为：16．
由摸到红球的频率稳定在20%附近，估计摸到红球的概率为20%，设袋中白球的个数为x，通过列方程进而求出白球个数即可．
此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键．
15.【答案】(−2,12)或(4,12)
【解析】解：∵y=(x−1)2+3，
∴抛物线对称轴为直线x=1，
∵点P到对称轴的距离为3，
∴点P横坐标为−2或4，
将x=−2代入y=(x−1)2+3得y=12，
∴点P坐标为(−2,12)或(4,12)．
故答案为：(−2,12)或(4,12)．
由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，从而可得点P的横坐标，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
16.【答案】3
【解析】解：∵∠BOD=120°，C为弧BD的中点，
∴∠AOD=180°−∠BOD=60°，∠BOC=∠COD=60°，
∴∠BAC=12∠BOC=30°，
∴∠OEA=180°−∠BAC−∠AOD=90°，
∴AO=2OE=OD，
∵DE=1，
∴2OE−OE=1，
∴OE=1，
∴AE=2，
∴AE=AO2−OE2=22−12=3，
故答案为：3．
求出∠AOD=180°−∠BOD=60°，∠BOC=∠COD=60°，根据圆周角定理求出∠BAC=12∠BOC=30°，求出∠OEA=90°，根据直角三角形的性质得出AO=2OE=OD，求出OE，求出OA，再根据勾股定理求出AE即可．
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理和勾股定理等知识点，能求出∠OEA=90°是解此题的关键．
17.【答案】36π
【解析】解：∵底面圆的半径为3cm，
∴底面圆的周长为6π(cm)，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为6π cm，
∴这个冰淇淋外壳的侧面积=12×12×6π=36π(cm2)
故答案为：36π．
根据圆的周长公式求出圆锥底面圆的周长，得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
18.【答案】32+10
【解析】解：点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，此时MA=MB，△MAC的周长=AC+MA+MC=AC+MB+MC=CA+BC为最小，

令y=x2−4x+3=0，解得x=1或3，
令x=0，则y=3，
∴点A、B、C的坐标分别为(1,0)、(3,0)、(0,3)，
∴AC=12+32=10，BC=32+32=32
∴此时△MAC的周长=CA+BC=32+10，
∴△MAC周长的最小值是32+10．
故答案为：32+10．
点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，即可求解．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是解题的关键．
19.【答案】2或5或8
【解析】解：如图，

设AE为x，
∵AB=10，
∴EB=10−x，
①AD和EB是对应边时，
∵△AED∽△BCE，
∴ADBE=AEBC，
即410−x=x4，
解得x1=2，x2=8，
经检验x=2或8是分式方程的解．
②AD和BC是对应边时，
∵△AED∽△BEC，
∴ADBC=AEEB，
即44=x10−x，
解得x=5，
经检验x=5是分式方程的解，
∴当AE=2或5或8时，△ADE与△BEC相似，
故答案为：2或5或8．
设AE为x，表示出EB=10−x，然后分AD和EB是对应边，AD和BC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
本题考查了相似三角形的性质，涉及到矩形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．
20.【答案】(2404432022,2404432023)
【解析】解：∵点B1在直线l：y=13x上，点B1的横坐标为1，
∴A1(1,0)，B1(1,13)，
∵四边形A1B1C1A2是正方形，
∴A2(43,0)，B2(43,49)，
A3(169,0)，B3(169,1627)，
A4(6427,0)，B4(6427,6481)，
……
An(22n−23n−1,0)，Bn(22n−23n−1,22n−23n)，
当n=2023时，
B2023(3404432022,2404432023).
故答案为：B2023(3404432022,2404432023).
由题意分别求出A2，B2，A3，B3，A4，B4找出规律，即可求解．
本题考查一次函数的图象及性质，点的坐标规律；理解题意，结合一次函数的图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解题的关键．
21.【答案】解：将x=3代入原方程得32+3k+k−5=0，
解得：k=−1，
∴原方程为x2−x−6=0．
∵1−3=−2，
∴该方程的另一个根为x=−2．
【解析】将x=3代入原方程，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值，将k值代入原方程，再利用两根之和等于−ba，即可求出该方程的另一个根．
本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，将x=3代入原方程，求出k值是解题的关键．
22.【答案】(6,−2)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1；即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
(3)若点M是AB的中点，经过(1)、(2)两次变换，M的对应点M2的坐标为(6,−2)，

故答案为：(6,−2)．
(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
(2)根据位似变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
(3)根据点M2的位置，写出坐标即可．
本题考查作图−位似变换，平移变换等知识，解题的关键是正确寻找图形，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)∵抛物线y=(x−1)2+n与y轴交于点C(0,−3)，
∴−3=(0−1)2+n，
∴m=−4，
∴抛物线的解析式为y=(x−1)2−4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1．
∵点D与C关于抛物线的对称轴对称，
∴点D的坐标为(2,−3)；
(2)当y=0时，(x−1)2−4=0，
解得：x1=−1，x2=3，
∴点A的坐标为(−1,0)，点B的坐标为(3,0)，AB=3−(−1)=4．
设点P的坐标为(a,b)，
∵△ABP的面积是8，
∴12AB⋅|b|=8，即12×4|b|=8，
∴b=±4．
当b=4时，(a−1)2−4=4，
解得：a1=1−22，a2=1+22，
∴点P的坐标为(1−22,4)或(1+22,4)；
当b=−4时，(a−1)2−4=−4，
解得：a3=a4=1，
∴点P的坐标为(1,−4)．
∴当△ABP的面积是8，点P的坐标为(1−22,4)或(1+22,4)或(1,−4)．
【解析】(1)根据点C的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出抛物线的解析式，由抛物线的解析式利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴，结合点C的坐标可得出点D的坐标；
(2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标及AB的长，设点P的坐标为(a,b)，由三角形的面积公式结合△ABP的面积是8，可求出b值，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征求出n值；(2)利用三角形的面积公式，求出点P的纵坐标．
24.【答案】60 90°
【解析】解：(1)本次被调查的学生共有：9÷15%=60(名)，
故答案为：60；
(2)B项目的人数有：60−9−12−24=15(人)，
图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为：360°×1560=90°，
故答案为：90°；
补全统计图如下：

(3)根据题意列表如下：
由表格可以看出，所有可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等，其中恰好小华和小艳被抽中的情况有2种．
则恰好小华和小艳被抽中的概率是212=16．
(1)根据A项目的人数和所占的百分比求出总人数；
(2)用总人数减去其它项目的人数，求出B项目的人数，再用360°乘以“B项目”所占的百分比即可得出“B项目”所对应的扇形圆心角的度数，最后补全统计图即可；
(3)根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
25.【答案】解：
(1)∵直线y1=k1x+b与双曲线y2=k2x相交于A(−2,3)，B(m,−2)两点，
∴3=k2−2，解得：k2=−6，
∴双曲线的表达式为：y2=−6x，
∴把B(m,−2)代入y2=−6x，得：−2=−6m，解得：m=3，
∴B(3,−2)，
把A(−2,3)和B(3,−2)代入y1=k1x+b得：−2k1+b=33k1+b=−2，
解得：k1=−1b=1，
∴直线的表达式为：y1=−x+1；
(2)过点A作AD⊥BP，交BP的延长线于点D，如图
∵BP//x轴，
∴AD⊥x轴，BP⊥y轴，
∵A(−2,3)，B(3,−2)，
∴BP=3，AD=3−(−2)=5，
∴S△ABP=12BP⋅AD=12×3×5=152；
(3)k1x+b故其解集为：−23．
【解析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解答的关键结合图形分析清楚问题与条件之间的关系．
(1)把A(−2,3)代入到y2=k2x可求得k2的值，再把B(m,−2)代入双曲线函数的表达式中，可求得m的值；把A，B两点的坐标代入到一次函数表达式中，可求得一次函数的表达式；
(2)过点A作AD⊥BP，交BP的延长线于点D，由所给的条件可得AD⊥x轴，进而确定AD的长度，BP的长度，利用三角形的面积公式进行求解即可；
(3)k1x+b26.【答案】(1)证明：连接AP，如图：

∵△ABC是等腰直角三角形，P为BC中点，
∴AC=2AP，∠BAP=45°，
∵△AMN是等腰直角三角形，
∴AM=2AN，∠MAN=45°．
∴∠NAP=∠BAP+∠MAN=90°=∠MAC，AMAN=2=ACAP，
∴△MAC∽△NAP．
∴MCNP=ACAP=2，
∴MC=2NP；
(2)解：当点M在△ABC内部时，MC=2NP，理由如下：
连接AP，如图：

∵△ABC是等腰直角三角形，P为BC中点，
∴AC=2AP，∠CAP=45°，
∵△AMN是等腰直角三角形，
∴AM=2AN，∠MAN=45°．
∴∠NAP=∠MAN−∠MAP=∠CAP−∠MAP=∠MAC，AMAN=2=ACAP，
∴△MAC∽△NAP．
∴MCNP=ACAP=2，
∴MC=2NP；
当点M在△ABC外部时，MC=2NP，理由如下：
连接AP，如图：

∵△ABC是等腰直角三角形，P为BC中点，
∴AC=2AP，∠CAP=45°，
∵△AMN是等腰直角三角形，
∴AM=2AN，∠MAN=45°．
∴∠NAP=∠CAP+∠CAN=∠MAN+∠CAN=∠MAC，AMAN=2=ACAP，
∴△MAC∽△NAP．
∴MCNP=ACAP=2，
∴MC=2NP．
【解析】(1)连接AP，由△ABC是等腰直角三角形，P为BC中点，得AC=2AP，∠BAP=45°，由△AMN是等腰直角三角形，得AM=2AN，∠MAN=45°，故∠NAP=∠BAP+∠MAN=90°=∠MAC，AMAN=2=ACAP，可得△MAC∽△NAP，从而MCNP=ACAP=2，MC=2NP；
(2)同(1)的方法，可证明当点M在△ABC内部时，当点M在△ABC外部时，MC=2NP．
本题考查全等三角形的判定与性质，涉及等腰直角三角形的性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
27.【答案】解：(1)由题意得：
w=(x−20)·y
=(x−20)(−2x+80)
=−2x2+120x−1600．
故w与x的函数关系式为：w=−2x2+120x−1600；
(2)w=−2x2+120x−1600
=−2(x−30)2+200，
∵−2<0，
∴当x=30时，w有最大值，w最大值为200．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．
(3)当w=150时，可得方程−2(x−30)2+200=150，
解得x1=25，x2=35，
∵35>28，
∴x2=35不符合题意，应舍去．
答：该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
【解析】(1)根据每天的利润等于每千克的利润乘每天的销售量，可得w关于x的函数关系式；
(2)将w=−2x2+120x−1600配方，根据二次函数的性质，可得答案；
(3)当w=150时，可得方程−2(x−30)2+200=150，求得x的值，并根据问题的实际意义作出取舍即可．
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，明确成本、利润的基本数量关系及二次函数的相关性质，是解题的关键．
28.【答案】解：(1)∵AB，BC的长分别是一元二次方程x2−14x+48=0的两个根，
解方程可得：x1=6，x2=8，
∵AB∴AB=6，BC=8，
∵BC=2OB，
∴OB=4，
点A的坐标为(6,4)；
(2)根据题意可得：∠BAP=∠ACB，∠ABP=∠CBA，
∴△ABP∽△CBA，
∴BPBA=ABBC，即BP6=68，
解得：BP=92，
∴OP=BP−OB=12，
∴点P的坐标为(0,−12)，
令直线AP的解析式为：y=kx+b(k≠0)，
把A(6,4)，P(0,−12)代入可得：
6k+b=4b=−12，解得：k=34b=−12，
∴直线AP的解析式为：y=34x−12；
(3)存在，理由如下：
由(1)中可得：A(6,4)，OC=4，则点C的坐标为(0,−4)，
则AC=+62+82=10，
令点M(m,0)，N(a,n)，
当以AC为边时，①当四边形MCAN为矩形时，此时MC⊥AC，
此时对角线AM和CN互相平分，
∴xA+xM=xC+xNyA+yM=yC+yN，即6+m=0+a4+0=−4+n，解得：m=a−6n=8，
此时点M(a−6,0)、N(a,8)，
∴CM2=(a−6)2+42，AM2=(12−a)2+42，
∵MC⊥AC，
∴CM2+AC2=AM2，即(a−6)2+42+102=(12−a)2+42，
解得：a=23，
∴N(23,8)；
②当四边形MACN为矩形时，此时MA⊥AC，
此时对角线AN和MC互相平分，
∴xA+xN=xM+xCyA+yN=yM+yC，即6+a=m+04+n=0+(−4)，解得：m=a+6n=−8，
此时点M(a+6,0)、N(a,−8)，
∴AM2=a2+42，CM2=(a+6)2+42，
∵MA⊥AC，
∴MA2+AC2=CM2，即a2+42+102=(a+6)2+42，
解得：a=163，
∴N(163,−8)；
③当以AC为对角线时，此时MN也为对角线，
∵对角线AC和MN互相平分，
∴xM+xN=xA+xCyM+yN=yA+yC，即m+a=60+n=0，解得：m=6−an=0，
此时点M(6−a,0)、N(a,0)，
∴MN=|6−2a|，
∵矩形的对角线相等，
∴MN=AC，
∴|6−2a|=10，解得：a1=−2，a2=8，
∴点N的坐标为(−2,0)或(8,0)；
综上所述：存在，点N的坐标为(23,8)或(163,−8)或(−2,0)或(8,0)．
【解析】(1)先解出方程的解，根据AB(2)根据题中条件可推出△ABP∽△CBA，利用边之比求出BP的长，即可求出点P的坐标，然后设出直线解析式，把点A、P的坐标即可求出解析式；
(3)根据(1)中条件先求出点C的坐标，然后设出点M、N的坐标，分别分以AC为边和AC为对角线两大种情况进行讨论，其中AC为边可分四边形MCAN为矩形和四边形MACN为矩形两种情况，然后利用矩形的对角线互相平分且相等、两点间的距离公式以及勾股定理这三个知识点即可求出点N的坐标．
本题考查的是一次函数与几何综合题型，解题关键：一是掌握相似三角形的性质与判定，二是掌握矩形的性质．
小华
小光
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小萍
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