中考数学二轮压轴培优专题 二次函数的计算与证明综合问题（2份打包，教师版+原卷版）

中考数学二轮压轴培优专题

二次函数的计算与证明综合问题

1.设一次函数y1＝2x＋m＋n和二次函数y2＝x(2x＋m)＋n．

(1)求证：y1，y2的图象必有交点；

(2)若m＞0，y1，y2的图象交于点A(x1，a)、B(x2，b)，其中x1＜x2，设C(x3，b)为y2图象上一点，且x3≠x2，求x3﹣x1的值；

(3)在(2)的条件下，如果存在点D(x1＋2，c)在y2的图象上，且a＞c，求m的取值范围．

2.在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣(m＋2)x＋m(m是常数)．

(1)求证：不论m取何值，该二次函数的图象与x轴总有两个交点；

(2)若点A(2m＋1，7)在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式；

(3)在(2)的条件下，若抛物线y＝x2﹣(m＋2)x＋m与直线y＝x＋t(t是常数)在第四象限内有两个交点，请直接写出t的取值范围．

3.已知抛物线y＝a(x﹣1)(x﹣)．

(1)若抛物线过点(2，1)，求抛物线的解析式；

(2)若该抛物线上任意不同两点M(x1，y1)、N(x2，y2)都满足：当x1＜x2＜0时，(x1﹣x2)(y1﹣y2)＞0；当0＜x1＜x2时，(x1﹣x2)(y1﹣y2)＜0，试判断点(2，﹣9)在不在此抛物线上；

(3)抛物线上有两点E(0，n)、F(b，m)，当b≤﹣2时，m≤n恒成立，试求a的取值范围．

4.已知抛物线y＝a(x＋3)(x﹣4)与y轴交于点A(0，﹣2)．

(Ⅰ)求抛物线y＝a(x＋3)(x﹣4)的解析式及顶点坐标；

(Ⅱ)设抛物线与x轴的正半轴的交点为点B，点P为x轴上一动点，点D满足∠DPA＝90°，PD＝PA．

(i)若点D在抛物线上，求点D的坐标；

(ii)点E(2，﹣)在抛物线上，连接PE，当PE平分∠APD时，求出点P的坐标．

5.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx＋m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．

(1)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示)；

(2)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M(x1，y1)，N(x2，y2)为图形G上任意两点．

①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；

②若对于x1＝m﹣1，x2＝m＋1，都有y1＞y2，求m的取值范围；

(3)当图象G与直线y＝m＋2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围．

6.已知：抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c(a＞0)．

(1)若顶点坐标为(1，1)，求b和c的值(用含a的代数式表示)；

(2)当c＜0时，求函数y＝﹣2022|ax2＋bx＋c|﹣1的最大值；

(3)若不论m为任何实数，直线y＝m(x﹣1)﹣m2与抛物线C1有且只有一个公共点，求a，b，c的值；此时，若k≤x≤k＋1时，抛物线的最小值为k，求k的值．

7.已知二次函数y＝ax2﹣x＋c的图象经过点A(﹣2，2)，该图象与直线x＝2相交于点B．

(1)求点B的坐标；

(2)当c＞0时，求该函数的图象顶点纵坐标的最小值；

(3)点M(m，0)、N(n，0)是该函数图象与x轴的两个交点．当m＞﹣2，n＜3时，结合函数图象分析a的取值范围．

8.对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣(x﹣3)2＋2是有上界函数，其上确界是2．

(1)函数①y＝x2＋2x＋1和②y＝2x﹣3(x≤5)中是有上界函数的为 　 　(只填序号即可)，其上确界为 　 　；

(2)若反比例函数y＝(a≤x≤b，a＞0)的上确界是b＋1，且该函数的最小值为2，求a、b的值；

(3)如果函数y＝﹣x2＋2ax＋2(﹣1≤x≤3)是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．

9.已知抛物线y＝ax2﹣(3a﹣1)x﹣2(a为常数且a≠0)与y轴交于点A．

(1)点A的坐标为 　   　；对称轴为 　   　(用含a的代数式表示)；

(2)无论a取何值，抛物线都过定点B(与点A不重合)，则点B的坐标为 　   　；

(3)若a＜0，且自变量x满足﹣1≤x≤3时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式；

(4)将点A与点B之间的函数图象记作图象M(包含点A、B)，若将M在直线y＝﹣2下方的部分保持不变，上方的部分沿直线y＝﹣2进行翻折，可以得到新的函数图象M1，若图象M1上仅存在两个点到直线y＝﹣6的距离为2，求a的值．

10.已知抛物线y＝(x﹣n)(x＋n)＋c的图象经过坐标原点O．

(1)求抛物线解析式．

(2)若B，C是抛物线上两动点，直线BC：y＝kx＋b恒过点(0，1)，设直线OB为y＝k1x，直线OC为y＝k2x．

①若B、C两点关于y轴对称，求k1k2的值．

②求证：无论k为何值，k1k2为定值．