中考数学优化探究一轮复习（理数） 第2章 第10节 第4课时　利用导数研究不等式恒成立问题课件PPT

这是一份中考数学优化探究一轮复习（理数） 第2章 第10节 第4课时　利用导数研究不等式恒成立问题课件PPT，共24页。

第二章 函数、导数及其应用第十节　导数的应用第四课时　利用导数研究不等式恒成立问题
题型一　不等式恒成立问题
[解析]　(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1．故当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0．所以f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．

[对点训练](2021·南昌质检)已知f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．
考法(二)　等价转化法求解恒成立问题[例2]　函数f(x)＝x2－2ax＋ln x(a∈R)．(1)若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＋1＝0垂直，求a的值；(2)若不等式2xln x≥－x2＋ax－3在区间(0，e]上恒成立，求实数a的取值范围．
根据不等式恒成立求参数范围的关键是把不等式转化为函数，利用函数值与最值之间的数量关系确定参数满足的不等式，解不等式即得参数范围．
[例]　(2021·张掖模拟)已知函数f(x)＝2(x－1)ex．(1)若函数f(x)在区间(a，＋∞)上单调递增，求f(a)的取值范围；(2)设函数g(x)＝ex－x＋p，若存在x0∈[1，e]，使不等式g(x0)≥f(x0)－x0成立，求p的取值范围．
[解析]　(1)由f′(x)＝2xex＞0，得x＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以a≥0，所以f(a)≥f(0)＝－2，所以f(a)的取值范围是[－2，＋∞)．(2)因为存在x0∈[1，e]，使不等式g(x0)≥2(x0－1)ex0－x0成立，所以存在x0∈[1，e]，使p≥(2x0－3)ex0成立．令h(x)＝(2x－3)ex，从而p≥h(x)min，h′(x)＝(2x－1)ex．因为x≥1，所以2x－1≥1，ex＞0，所以h′(x)＞0，所以h(x)＝(2x－3)ex在[1，e]上单调递增．所以h(x)min＝h(1)＝－e，所以p≥－e，所以实数p的取值范围是[－e，＋∞)．
解析：x∈(－∞，＋∞)且f′(x)＝ex＋1＋(x－1)ex＋1＋2mx＝x(ex＋1＋2m)，当m＞0时，因为ex＋1＞0，所以ex＋1＋2m＞0，所以当x＞0时，f′(x)＞0；当x＜0时，f′(x)＜0．故f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝－e．
因为0＜m≤6，所以g′(x)＞0，所以g(x)在(0，2]上为增函数．所以g(x)max＝g(2)＝8－2－2m＝6－2m．依题意有f(x1)min≤g(x2)max，