第十一章 磁场-3带电粒子在有界磁场中的运动 高三物理一轮复习

「直线边界磁场」

1.电荷量为3e的正离子，自匀强磁场a点如图所示射出，当它运动到b点时，打中并吸收了原来处于静止状态的一个电子，若忽略电子质量，则接下来离子的运动轨迹是（  ）

【答案】D

【解析】

离子吸收一个电子后，离子带电荷量由＋3e变为＋2e，因为电子质量不计，故吸收电子后离子运动的速度保持不变．由洛伦兹力提供向心力qvB＝m可得离子运动半径R＝，因为离子吸收电子后带电荷量减小且离子速度、质量不变，故离子做匀速圆周运动的轨道半径R增大，离子的电性没有发生变化，故离子做匀速圆周运动的受力方向没有发生变化，故ABC错误，D正确．

2.如图所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场．其中经过a点的粒子速度v1与MN垂直；经过b点的粒子速度v2与MN成60°角，设粒子从S到a、b所需时间分别为t1和t2，则t1∶t2为(不计粒子重力及粒子间的相互作用)（  ）

A．1∶3

B．4∶3

C．1∶1

D．3∶2

【答案】D

【解析】

如图所示

可得出从a点射出的粒子对应的圆心角为90°，从b点射出的粒子对应的圆心角为60°.由t＝T，T＝可得t1∶t2＝3∶2，故选D．

3.(多选)(2022·辽宁质检)两个带等量异种电荷的粒子分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图10所示，则（  ）

A．a粒子带正电，b粒子带负电

B．两粒子的轨道半径之比Ra∶Rb＝∶1

C．两粒子的质量之比ma∶mb＝1∶2

D．两粒子的质量之比ma∶mb＝2∶1

【答案】BD

【解析】

由左手定则可得：a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误；粒子做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示

故Ra＝＝d，Rb＝＝d，所以，Ra∶Rb＝∶1，故B正确；由几何关系可得：从A运动到B，a粒子转过的圆心角为60°，b粒子转过的圆心角为120°，ta＝＝tb＝，则Ta∶Tb＝2∶1，再根据洛伦兹力提供向心力可得：Bvq＝，所以，运动周期为：T＝＝；根据a、b粒子电荷量相等可得ma∶mb＝Ta∶Tb＝2∶1，故C错误，D正确。

4.如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场．一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限．粒子在磁场中运动的时间为（  ）

A．   B．   C．   D．

【答案】B

【解析】

设带电粒子进入第二象限的速度为v，在第二象限和第一象限中运动的轨迹如图所示

对应的轨迹半径分别为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m、T＝，可得R1＝、R2＝、T1＝、T2＝，带电粒子在第二象限中运动的时间为t1＝，在第一象限中运动的时间为t2＝T2，又由几何关系有cos θ＝＝，可得t2＝，则粒子在磁场中运动的时间为t＝t1＋t2，联立以上各式解得t＝，选项B正确，ACD错误．

5.(多选)如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°。粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴。已知OM＝a，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。则（  ）

A．粒子带负电荷

B．粒子速度大小为

C．粒子在磁场中运动的轨道半径为a

D．N与O点相距(＋1)a

【答案】AD

【解析】

由左手定则可知，带电粒子带负电荷，A正确；做出粒子的轨迹示意图如图所示

假设轨迹的圆心为O′，则由几何关系得粒子的轨道半径为R＝a，则由qvB＝m得v＝＝，B、C错误；由以上分析可知，ON＝R＋a＝(＋1)a，D正确。

6.如图，空间存在方向垂直于纸面(xOy平面)向里的磁场．在x≥0 区域，磁感应强度的大小为B0；x＜0区域，磁感应强度的大小为λB0(常数λ＞1)．一质量为m、电荷量为q(q＞0)的带电粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿x轴正向时，求：(不计重力)

（1）粒子运动的时间；

（2）粒子与O点间的距离．

【答案】（1）(1＋)；（2）(1－)

【解析】

（1）在匀强磁场中，带电粒子做匀速圆周运动．设在x≥0区域，圆周半径为R1；在x＜0区域，圆周半径为R2.由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得

qB0v0＝m①，qλB0v0＝m②

设粒子在x≥0区域运动的时间为t1，则t1＝③

粒子在x<0区域运动的时间为t2，则

t2＝④

联立①②③④式得，所求时间为t＝t1＋t2＝(1＋)⑤

（2）由几何关系及①②式得，所求距离为d＝2(R1－R2)＝(1－)．

「三角形或多边形磁场」

7.如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为（  ）

A．kBl，kBl   B．kBl，kBl

C．kBl，kBl   D．kBl，kBl

【答案】B

【解析】

若电子从a点射出，运动轨迹如图线①，

ra＝，由qvaB＝m得va＝＝＝，若电子从d点射出，运动轨迹如图线②，由几何关系得r＝＋l2，整理得rd＝l由qvdB＝m得vd＝＝＝，选项B正确。

8.(多选)(2022·四川诊断)如图所示，在正方形区域abcd内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场．入口处有比荷相同的甲、乙两种粒子，甲粒子以速度v1沿ab方向垂直射入磁场，经时间t1从d点射出磁场；乙粒子以速度v2沿与ab 成45°的方向垂直射入磁场，经时间t2垂直于cd射出磁场．不计粒子重力和粒子之间的相互作用力，则（  ）

A．v1∶v2＝∶4   B．v1∶v2＝1∶

C．t1∶t2＝4∶1   D．t1∶t2＝2∶1

【答案】AC

【解析】

画出两粒子的运动轨迹如图；

两粒子比荷相同，则周期相同，设为T；设正方形的边长为R，则从d点射出的粒子运动半径为r1＝R，运动时间t1＝；速度为v2的粒子，由几何关系：r2＝R，运动时间t2＝；根据r＝可知＝＝＝；＝；故选项A、C正确，B、D错误．

9.如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)以速度v从AC边的中点O垂直AC边射入磁场区域。若三角形的两直角边长均为2L，要使粒子从CD边射出，则v的取值范围为（  ）

A．≤v≤  　　  B．≤v≤

C．≤v≤  　　 D．≤v≤

【答案】C

【解析】

根据洛伦兹力提供向心力可知，v＝，因此半径越大，速度越大；根据几何关系可知，使粒子轨迹与AD边相切时速度最大，如图

则有AO′·sin 45°＝O′E，即(r1＋L)sin 45°＝r1，解得最大半径为r1＝(＋1)L，故最大速度为v1＝；当粒子从C点出射时，半径最小，为r2＝，故最小速度为v2＝，则v的取值范围为≤v≤，故C正确，ABD错误。

「弧形边界磁场」

10.(多选)如图所示为一圆形区域的匀强磁场，在O点处有一放射源，沿半径方向射出速率均为v的不同带电粒子，其中带电粒子1从A点飞出磁场，带电粒子2从B点飞出磁场，不考虑带电粒子的重力，则（  ）

A．带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间之比为2∶1

B．带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间之比为2∶3

C．带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷之比为3∶1

D．带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷之比为∶1

【答案】BC

【解析】

两个粒子的轨迹圆心O1、O2位置如图所示

二者轨迹对应的圆心角分别为120°、60°，设圆形磁场的半径为R，由几何知识可得两个粒子的轨迹半径分别为R、R，结合公式r＝、T＝可知，二者比荷之比为3∶1，周期之比为1∶3，又因为二者轨迹对应的圆心角分别为120°、60°，所以二者在磁场中运动时间之比为2∶3，选项BC正确．

11.如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场．两个质子M、N沿平行于直径cd的方向从圆周上同一点P射入磁场区域， P点与cd间的距离为，质子M、N入射的速度大小之比为1∶2.ab是垂直cd的直径，质子M恰好从b点射出磁场，不计质子的重力和质子间的作用力．则两质子M、N在磁场中运动的时间之比为（  ）

A．2∶1  B．3∶1  C．3∶2  D．3∶4

【答案】A

【解析】

作出两质子的运动轨迹如图所示

由几何关系可知，质子M的轨道半径为R，轨迹圆弧所对圆心角θ1＝120°；根据qBv＝m得r＝，则质子N的轨道半径为2R，再由几何关系可知，其轨迹圆弧所对圆心角θ2＝60°；质子在磁场中做圆周运动的周期T＝，运动的时间t＝T，解得t1∶t2＝2∶1，故A正确，BCD错误．

12.(多选)如图所示，有一圆形匀强磁场区域，区域内磁场方向垂直纸面向外，b、c为直径上的两个点，ab弧为圆周的三分之一．甲、乙两粒子电荷量分别为＋q、－q，以相同的速度先后从a点沿半径方向进入磁场，甲粒子从c点离开磁场，乙粒子从b点离开磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则甲、乙两粒子（  ）

A．质量之比m甲∶m乙＝3∶1

B．动能之比Ek甲∶Ek乙＝1∶3

C．运动轨道半径之比r甲∶r乙＝3∶1

D．通过磁场的运动时间之比t甲∶t乙＝2∶3

【答案】BD

【解析】

设磁场圆的半径为R，甲、乙两粒子的运动轨迹如图所示

由于ab弧为圆周的三分之一，故图中角度α＝60°，θ＝30°，根据洛伦兹力提供向心力，结合几何知识得：对甲粒子，有r甲＝，qvB＝m甲，故r甲＝，对乙粒子，有r乙＝，qvB＝m乙，故r乙＝，解得＝＝，＝＝，故A、C错误；根据动能公式Ek＝mv2知，由于甲、乙两种粒子速度相等，动能之比等于质量之比，即＝＝，故B正确；根据带电粒子周期公式T＝和粒子在磁场中运动时间公式t＝·T得甲粒子在磁场中的运动时间为t甲＝·＝，同理得乙粒子在磁场中的运动时间为t乙＝，故＝＝，故D正确．

「多解问题」

13.(多选)如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电．现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（  ）

A．使粒子的速度v<

B．使粒子的速度v>

C．使粒子的速度v>

D．使粒子的速度<v<

【答案】AB

【解析】

如图所示

带电粒子刚好打在极板右边缘时，有r12＝(r1－)2＋l2，又r1＝，所以v1＝，粒子刚好打在极板左边缘时，有r2＝＝，v2＝，综合上述分析可知，选项AB正确．

14.如图所示，边长为L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、电荷量均为＋q，不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则发射速度v0为哪一值时粒子能通过B点（  ）

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【解析】

粒子带正电，且经过B点，其可能的轨迹如图所示。

所有圆弧所对圆心角均为60°，所以粒子运行半径r＝(n＝1，2，3，…)，粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝m，解得v＝＝(n＝1，2，3，…)，由此可知，v＝的粒子能通过B点，故A、B、C不符合题意，D符合题意。

15.如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示(垂直于纸面向里的磁场方向为正方向)．有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：

（1）磁感应强度B0的大小．

（2）要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．

【答案】（1）；（2）(n＝1,2,3，…)

【解析】

（1）正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力B0qv0＝

做匀速圆周运动的周期T0＝

由以上两式得磁感应强度B0＝

（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0的方向应如图所示

两板之间正离子只运动一个周期即T0时，有R＝；当两板之间正离子运动n个周期即nT0时，有R＝(n＝1,2,3，…)．联立求解，得正离子的速度的可能值为

v0＝＝(n＝1,2,3，…)

16.如图，在0≤x≤h，－∞<y<＋∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调，方向不变．一质量为m，电荷量为q(q>0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力．

（1）若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm；

（2）如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场．求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离．

【答案】见解析

【解析】

（1）由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里．设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有

qv0B＝m①

由此可得R＝②

粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足R≤h③

由题意，当磁感应强度大小为Bm时，粒子穿过y轴正半轴离开磁场时的运动半径最大，由此得Bm＝④

（2）若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为R′＝2h⑤

粒子会穿过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示．设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α，

由几何关系sin α＝＝⑥

即α＝⑦

由几何关系可得，P点与x轴的距离为

y＝2h(1－cos α)⑧

联立⑦⑧式得y＝(2－)h.

17.如图，在空间中有一坐标系xOy，其第一象限内充满着两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，直线OP是它们的边界，区域Ⅰ中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；区域Ⅱ中的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向里，边界上的P点坐标为(4L,3L)．一质量为m，电荷量为q的带正电粒子从P点平行于y轴负方向射入区域Ⅰ，经过一段时间后，粒子恰好经过原点O，忽略粒子重力，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：

（1）粒子从P点运动到O点的时间至少为多少；

（2）粒子的速度大小可能是多少．

【答案】（1）；（2）(n＝1,2,3…)

【解析】

（1）设粒子的入射速度为v，用R1、R2、T1、T2分别表示粒子在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中运动的轨道半径和周期，则有qvB＝m，qv·2B＝m

T1＝＝，T2＝＝

粒子先在磁场Ⅰ区中做顺时针的圆周运动，后在磁场Ⅱ区中做逆时针的圆周运动，然后从O点射出，这样粒子从P点运动到O点所用的时间最短．粒子运动轨迹如图所示，

tan α＝＝0.75，

得α＝37°，α＋β＝90°.

粒子在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中的运动时间分别为

t1＝T1，t2＝T2

粒子从P点运动到O点的时间至少为t＝t1＋t2

由以上各式解得：t＝

（2）当粒子的速度大小满足一定条件时，粒子先在磁场Ⅰ区中运动，后在磁场Ⅱ区中运动，然后又重复前面的运动，直到经过原点O.这样粒子经过n个周期性的运动到达O点，每个周期的运动情况相同，粒子在一个周期内的位移为：

x＝＝＝(n＝1,2,3，…)

粒子每次在磁场Ⅰ区中运动的位移为

x1＝x＝x

由图中的几何关系可知＝cos α，

由以上各式解得粒子的速度大小为：v＝(n＝1,2,3，…)