2021-2022学年河南省濮阳市第一高级中学高二下学期第一次质量检测数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年河南省濮阳市第一高级中学高二下学期第一次质量检测数学（文）试题

一、单选题

1．复数,则的虚部为

A． B．i C．-1 D．1

【答案】D

【解析】利用复数代数形式的除法运算化简，求出z，则答案可求．

【详解】依题意，，，复数的虚部为1，

故选D.

【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

2．已知双曲线（，）的一条渐近线的斜率为，则该双曲线的离心率为（　　）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】根据双曲线的渐近线斜率公式可知，再根据双曲线的离心率，即可求出结果.

【详解】由双曲线（，）的一条渐近线的斜率为，可知，

所以该双曲线的离心率为.

故选：D.

3．已知角、是的内角，则“”是“”的（       ）

A．充分条件 B．必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断

【详解】在三角形中，根据大边对大角原则，若，则，由正弦定理得，充分条件成立；

若，由可得，根据大边对大角原则，则，必要条件成立；

故在三角形中，“”是“”的充要条件

故选：C

【点睛】本题考查充分条件与必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，三角形大边对大角原则应谨记，属于基础题

4．设等比数列的前项和为，若，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】直接利用等比数列的通项公式和前项和公式即可

【详解】不妨设的首项为，公比为，则有：

解得：

则有：

故选：D

5．已知函数的导数为，且，则（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】直接求导，令求出，再将带入原函数即可求解.

【详解】由得，当时，，解得，所以，.

故选：B

6．若实数满足则的最大值是

A．0 B． C．2 D．3

【答案】D

【分析】作出可行域，然后作出目标函数的一条等值线，进行平移找到取最大值的最优解，计算即可.

【详解】如图所示

目标函数的一条等值线为

当经过点时，有最大值

故选：D

7．在等差数列中，，那么该数列的前14项和为（       ）

A．20 B．21 C．42 D．84

【答案】B

【分析】设等差数列的过程为d，利用基本量代换，求出，代入前n项和公式即可求解.

【详解】设等差数列的过程为d，

因为，

所以，

即，所以，

所以.

故选：B

8．设，且，则

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】取特殊值判断A,D,根据不等式的性质判断B,根据幂函数的性质判断C.

【详解】A选项，取时，不等式不成立；

B选项，不等式两边加上同一个数，不等号方向不发生改变，故错误；

C选项，根据幂函数在R上为增函数知，故正确；

D选项，取，不等式不成立，故错误.

故选：C

【点睛】本题主要考查了不等式的性质，幂函数的单调性，特值法，属于中档题.

9．已知抛物线的焦点为，过点的直线分别交抛物线于，两点，若，，则（       ）

A． B．2 C． D．1

【答案】C

【解析】直接设出直线方程，用“设而不求法”表示出，，利用性质可解.

【详解】由题意可知直线的斜率一定存在，设为，联立消去可得，设，，所以.又根据抛物线的定，，所以，解得.

故选：C

【点睛】"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.

10．在数列中，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知条件，利用累加法得到的通项公式，从而得到.

【详解】由，得，

所以

，

所以.

故选：A.

11．已知a，b，，且，，，其中e是自然对数的底数，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设，，然后分别利用导数判断两个函数的单调性，利用其单调性可求得答案.

【详解】∵a，b，，，，，

令，，，

当时，，在上单调递减，

令，，，当时，，

所以在上单调递增，即，

∴，即，

∴.

故选：D.

12．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则=（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】观察图形可得出为首项为，公比为的等比数列，即可求出.

【详解】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即，

所以为首项为，公比为的等比数列，

.

故选：B.

二、填空题

13．已知命题，则是________________．

【答案】.

【分析】根据全称命题的否定可得结果.

【详解】命题：，，

则：，.

故答案为：，.

14．椭圆的长轴长为______．

【答案】4

【分析】把椭圆方程化成标准形式直接计算作答.

【详解】椭圆方程化为：，令椭圆长半轴长为a，则，解得，

所以椭圆的长轴长为4.

故答案为：4

15．已知函数，则函数的图象在点处的切线斜率为_________．

【答案】

【解析】根据的解析式，可求得的解析式，即可求得的值，根据导数的几何意义，即可得答案.

【详解】因为，所以，

所以根据导数的几何意义可得，

故答案为：

16．的内角､､所对的边分别为､､，，且，则面积的最大值是___________.

【答案】

【分析】运用正弦定理化简题中边角关系，求解出A的值，再运用余弦定理计算三角形面积的最大值.

【详解】根据正弦定理，变形为

中，，所以上式化简为

计算得

根据余弦定理有，

，时取等号

，即三角形面积的最大值为 .

故答案为：.

三、解答题

17．已知命题时，恒成立：命题q：关于x的方程无实根.若命题是真命题，求实数a的取值范围.

【答案】

【分析】求出当命题p,q为真时的a的取值范围，再根据命题是真命题，即可求得答案.

【详解】若p真，则，

设，则，当时，,

所以在区间上为增函数，

，∴，

若q真，，解得，

∵是真命题，p、q都是真命题，所以，.

因此，实数a的取值范围是.

18．某兴趣小组随机调查了濮阳市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

(2)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.

附：，

【答案】(1)0.43；0.27；0.21；0.09.

(2)表格见解析，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.

【分析】（1）根据表格中的数据，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；

（2）根据表格中的数据，得出列联表，求得观测值，结合附表，即可求解.

【详解】(1)解：由所给数据，可得：

空气质量等级为1（优）的共有天，概率为；

空气质量等级为2（良）的共有天，概率为；

空气质量等级为3（轻度污染）的共有天，概率为；

空气质量等级为4（中度污染）的共有天，概率为；

该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如表：

(2)解：根据所给数据，可得列联表：

可得，

由于，

故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.

19．已知中，角、、所对的边分别为、、，且.

（1）求角的大小；

（2）若的面积为，且，求边的长度.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用正弦定理边角互化思想可得出，可求得的值，结合角的取值范围可求得角的大小；

（2）由三角形的面积公式可求得的值，再利用余弦定理可求得边的长.

【详解】（1）由正弦定理，得

，，

整理得，即，即，

，，，，；

（2）的面积为，，可得，

由余弦定理，

因此，.

【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查了利用余弦定理和三角形的面积公式解三角形，考查计算能力，属于中等题.

20．已知数列的前项和为，且对于任意正整数，有成等差数列.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

【答案】（1）见解析；（2）.

【分析】（1）根据等差数列的性质，可得，根据与之间关系，然后进一步可得，结合等比数列的概念，可得结果.

（2）根据（1）的条件，可得，进一步可得，然后使用错位相减法可得.

【详解】（1）证明：由成等差数列，可知.

当时，，∴.

当时，，与相减，可得，

∴，∴，

∴数列为首项为，公比为的等比数列；

（2）解：由（1）知，所以，

所以，①

.②

由②①：，

则

则.

【点睛】本题考查与之间关系以及错位相减法求和，掌握，以及常用的求和方法，比如：公式法、裂项相消法、错位相减等，属中档题.

21．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，已知P为平面内的一个动点，三角形周长为定值.

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)若P的轨迹上有一点满足，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆的定义即可求出动点P的轨迹方程；

（2）设，根据以及点在椭圆C上，列出两个方程，即可解出．

【详解】(1)依题可知，，所以，故动点P的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆（除去两点），由，，所以，即动点P的轨迹方程为．

(2)因为点满足，则有，且， ，，

即①，

而点在椭圆C上，则②，

取立①②消去，得，所以.

22．设函数.

（1）求函数的极大值点；

（2）若关于x的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）首先求函数的导数，再判断定义域内的单调性，根据极值点的定义，最后判断函数的极大值点；（2）化简方程，并转化为在区间上有两个不同的实数根，令，利用导数判断函数的单调性，求出的取值范围.

【详解】（1），

所以在，上单调递增，在上单调递减，

故在处取得极大值，函数的极大值点为.

（2），可化为，

即在区间上有两个不同的实数根，

令，，

则在上，函数单调递增，在上，函数单调递减，

所以，又，，

故原方程有两个不同实数解时的的取值范围为.

【点睛】本题考查利用导数求函数的性质，零点问题，重点考查转化思想，逻辑推理，计算能力，属于基础题型.