2023年上海市闵行区九年级上学期期末（中考一模）数学卷含详解

这是一份2023年上海市闵行区九年级上学期期末（中考一模）数学卷含详解，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图形中一定是相似形是（ ）
A. 两个等边三角形B. 两个菱形
C. 两个矩形D. 两个直角三角形
2 如图，已知，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，己知在中，，垂足为点D，那么下列线段的比值不一定等于的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 如果为单位向量，那么B. 如果，那么
C. 如果都单位向量，那么D. 如果，那么
5. 抛物线向下平移个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量零件的内孔直径．如果，且量得，则零件的厚度x为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：
7. 如果，那么___________．
8. 化简：___________．
9. 已知，那么的值为___________．
10. 抛物线在对称轴的左侧部分是_________的（填“上升”或“下降”）．
11. 已知两个相似三角形相似比为，那么这两个三角形的面积之比为___________．
12. 设点是线段的黄金分割点，那么线段的长是___________．
13. 在直角坐标平面内有一点，点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么的值为___________．
14. 己知、分别是的边、上的点（不与端点重合），要使得与相似，那么添加一个条件可以为___________（只填一个）．
15. 已知一斜坡的坡角为，则它坡度___________．
16. 如图，一艘船从处向北偏西的方向行驶海里到处，再从处向正东方向行驶千米到处，此时这艘船与出发点处相距___________海里．
17. 如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为___________．
18. 阅读：对于线段与点O（点O与不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线与线段交于点Q，且，那么称点P为点O关于线段的“准射点”．
问题：如图，矩形中，，点E在边上，且，联结．设点F是点A关于线段的“准射点”，且点F在矩形的内部或边上，如果点C与点F之间距离为d，那么d的取值范围为___________．
三、解答题：
19. 计算：．
20. 如图，已知中，点D、E分别在边和上，，且经过的重心，设．
（1）___________（用向量表示）；
（2）求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
21. 己知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其顶点坐标为．
（1）求直线的表达式；
（2）将抛物线沿x轴正方向平移个单位后得到新抛物线的顶点恰好落在反比例函数的图像上，求的余切值．
22. 2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．己知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角，顶部B处的仰角为，求此时观测点A到发射塔的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：）
23. 己知：如图，在中，，点、分别是边的中点，，与相交于点，的延长线与相交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线线经过，点C是该抛物线上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．设点C的横坐标为m．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）当时，求点C到x轴的距离；
（3）如果过点C作x轴的垂线，垂足为点E，连接，当时，在中是否存在大小保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．
25. 如图1，点为内一点，联结，以为邻边作平行四边形与边交于点，．
（1）求证：；
（2）延长，交边于点，如果，且的面积与平行四边形面积相等，求的值；
（3）如图2，联结，若平分，求线段的长．
九年级数学练习
一、选择题：
1. 下列图形中一定是相似形的是（ ）
A. 两个等边三角形B. 两个菱形
C. 两个矩形D. 两个直角三角形
【答案】A
【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
【详解】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，
∴两个等边三角形一定是相似形，
又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，
∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
2. 如图，已知，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可完成．
【详解】∵
∴
∴BC=3CE
∵BC+CE=10
∴3CE+CE=10
∴
故选：C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理是关键．
3. 如图，己知在中，，垂足为点D，那么下列线段的比值不一定等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据正弦定义解答即可．
【详解】在中，，故B正确，不符合题意；
在中，，故D正确，不符合题意；
∵，
∴，
在中，，故C正确，不符合题意；
无法说明，故A不一定正确，符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在中，若，则∠A的正弦等于∠A的对边比斜边，∠A的余弦等于∠A的邻边比斜边，∠A的正切等于∠A的对边比邻边．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 如果为单位向量，那么B. 如果，那么
C. 如果都是单位向量，那么D. 如果，那么
【答案】B
【分析】向量有方向，大小，加减运算，根据相关的概念和运算方法即可求解．
【详解】解：选项，如果为单位向量，且与的方向相同，那么，故不符合题意；
选项，如果，大小相同，方向相反，那么，故符合题意；
选项，如果都是单位向量，那么，方向不确定，故不符合题意；
选项，如果，那么，模相等，方向不确定，故不符题意．
故选：．
【点睛】本题主要考查向量的基本知识，掌握向量的大小，方向，模的基础知识是解题的关键．
5. 抛物线向下平移个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据平移的性质，求出新抛物线的解析式，再求顶点坐标即可求解．
【详解】解：抛物线向下平移个单位得，，
∴根据顶点坐标公式得，，把代入得，，
∴顶点坐标为：．
故选：．
【点睛】本题主要考查函数的平移的性质，顶点坐标的计算方法，掌握平移的性质，顶点坐标的计算公式是解题的关键．
6. 如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量零件的内孔直径．如果，且量得，则零件的厚度x为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】求出和相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出，再根据外径的长度解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵外经为，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出的长．
二、填空题：
7 如果，那么___________．
【答案】
【分析】将代入，约分化简即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查代入求值，掌握整体代入的方法，化简求值的方法是解题的关键．
8. 化简：___________．
【答案】
【分析】根据有理数混合运算，结合向量的加减运算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查向量的加减运算，理解和掌握向量的加减运算方法，有理数的混合运算是解题的关键．
9. 已知，那么的值为___________．
【答案】
【分析】把代入计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的函数的代入求值，掌握函数的代入求值的计算方法是解题的关键．
10. 抛物线在对称轴的左侧部分是_________的（填“上升”或“下降”）．
【答案】下降
【分析】根据二次函数的性质解答．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴在对称轴左侧部分随着的增大而减小．
故答案为：下降．
【点睛】本题主要考查抛物线的性质，熟记抛物线的性质是解题的关键．
11. 已知两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的面积之比为___________．
【答案】##
【分析】根据面积比等于相似比的平方，由此即可求解．
【详解】解：根据面积比等于相似比的平方，得：这两个三角形的面积之比为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形中面积比等于相似比的平方是解题的关键．
12. 设点是线段的黄金分割点，那么线段的长是___________．
【答案】##
【分析】黄金分割点的值是，根据黄金分割点的定义即可求解．
【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，
∴,
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查黄金分割点的定义，掌握黄金分割点的定义，比值是解题的关键．
13. 在直角坐标平面内有一点，点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么的值为___________．
【答案】
【分析】根据锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解即可．
【详解】解：∵在直角坐标平面内有一点，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理等知识点，掌握锐角三角函数的定义成为解答本题的关键．
14. 己知、分别是的边、上的点（不与端点重合），要使得与相似，那么添加一个条件可以为___________（只填一个）．
【答案】或或
【分析】判断与相似，根据相似的判断条件即可求解．
【详解】解：判断两个三角形相似的条件有：有两个角对应相等，则两个三角形相似；两边对应成比例，夹角相等，则两个三角形相似；过三角形两边的点的线段平行与第三边，则两个三角形相似，
∵，
∴当时，与相似；当时，与相似；当时，与相似．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定，理解和掌握三角形相似的判定的条件是解题的关键．
15. 已知一斜坡的坡角为，则它坡度___________．
【答案】
【分析】由于斜坡的坡角为，而坡度为坡角的正切，由此即可确定个斜坡的坡度i.
【详解】解：∵斜坡的坡角为，
∴这个斜坡的坡度
故答案为：
【点睛】此题主要考查了解直角三角形应用-坡度的问题，解题的关键是根据题意正确画出图形，然后利用三角函数即可解决问题．
16. 如图，一艘船从处向北偏西的方向行驶海里到处，再从处向正东方向行驶千米到处，此时这艘船与出发点处相距___________海里．
【答案】
【分析】从处向北偏西方向行驶海里到处，可知，，从处向正东方向行驶千米，可知，且，如图所示（见详解），根据直角三角形的勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查方位角与直角三角形的勾股定理的综合，掌握方位角的表示，角度的关系，勾股定理是解题的关键．
17. 如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为___________．
【答案】
【分析】过点D作于点F，首先根据题意可证得，，，根据勾股定理即可求得，，再由折叠的性质可知：，，即可求得，，再根据勾股定理即可求得，，由，可证得，，据此即可求得，，，再根据勾股定理即可求得，，据此根据勾股定理即可求得结果．
【详解】解：如图：过点D作于点F，
，
，，
，
，
，
在中，，，
，
中，，
，
解得，
，
由折叠的性质可知：，，
，
解得，
，
在中，，
，
，
，
，
，
解得，，
，
在中，，
，
解得，
，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正切的定义，作出辅助线及准确找到各线段之间的关系是解决本题的关键．
18. 阅读：对于线段与点O（点O与不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线与线段交于点Q，且，那么称点P为点O关于线段的“准射点”．
问题：如图，矩形中，，点E在边上，且，联结．设点F是点A关于线段的“准射点”，且点F在矩形的内部或边上，如果点C与点F之间距离为d，那么d的取值范围为___________．
【答案】
【分析】设交于点Q，由点F是点A关于线段的“准射点”可得，过点F作交于点G，交于点H，由平行线分线段成比例定理得，，连接，求出的长，作于M，求出的长即可．
【详解】如图，设交于点Q，
∵点F是点A关于线段的“准射点”，
∴，
∴Q是的中点，即，
过点F作交于点G，交于点H，
∴，
∴，，
∴点F在线段上，
连接，则．
作于M，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴
∴d的取值范围是．
【点睛】本题考查了新定义，矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积公式，平行线分线段成比例定理，以及平行四边形的判定与性质，判断出点F的位置是解答本题的关键．
三、解答题：
19. 计算：．
【答案】
【分析】根据算术平方根的性质，负整数指数幂的性质，立方根的性质，特殊角的三角函数值分别化简后再计算加减法．
【详解】
，
．
【点睛】此题考查计算能力，掌握算术平方根的性质，负整数指数幂的性质，立方根的性质，特殊角的三角函数值是解题的关键．
20. 如图，已知中，点D、E分别在边和上，，且经过的重心，设．
（1）___________（用向量表示）；
（2）求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
【答案】（1）
（2）见解析
【分析】（1）由，经过的重心，可得，即可求得；
（2）过点B作，在上截取，连接，即为所求．
【小问1详解】
解：∵，经过的重心，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【小问2详解】
如图：过点B作，在上截取，连接，即为所求．
【点睛】本题主要考查了平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的运算法则．
21. 己知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其顶点坐标为．
（1）求直线的表达式；
（2）将抛物线沿x轴正方向平移个单位后得到的新抛物线的顶点恰好落在反比例函数的图像上，求的余切值．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据题意可知，，用待定系数法即可求解；
（2）由沿轴正方向平移个单位，得，顶点恰好落在反比例函数的图像上，可求出，延长交轴的正半轴于点，在中，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
由，得，
∴，
设直线的表达式为，
∴，
∴，
∴直线的表达式为．
【小问2详解】
解：由沿轴正方向平移个单位，得，
又∵顶点恰好落在反比例函数的图像上，
∴．
∴，即，
如图所示，延长交轴的正半轴于点，
得，
在中，，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数，反比例函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，函数图像交点坐标的计算及余切值的计算方法是解题的关键．
22. 2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．己知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角，顶部B处的仰角为，求此时观测点A到发射塔的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：）
【答案】此时观测点A到发射塔的水平距离为32.1米
【分析】设此时观测点A到发射塔的水平距离为米，在中根据得到，之后在中根据得到，根据进而得到答案．
【详解】解：设此时观测点A到发射塔的水平距离为米．
由题意，得．
在中，，
∵
∴
在中，，
∵
∴
∵
∴，即；
（米）．
答：此时观测点A到发射塔的水平距离为32.1米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
23. 己知：如图，在中，，点、分别是边的中点，，与相交于点，的延长线与相交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）详见解析
（2）详见解析
【分析】（1）点、分别是边的中点，，可知，可证，由此即可求解；
（2）根据题意可证，则，，由此即可求解．
【小问1详解】
证明：∵点、分别是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵；
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：∵点是边的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形相似的性质，掌握三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线线经过，点C是该抛物线上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．设点C的横坐标为m．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）当时，求点C到x轴的距离；
（3）如果过点C作x轴的垂线，垂足为点E，连接，当时，在中是否存在大小保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在；
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）过点C作y轴的垂线，垂足为点N，过点A作y的垂线，垂足为点M，设点，证明，求出，，然后分两种情况进行讨论，求出结果即可；
（3）过点C作y轴的垂线，垂足为点P，过点A作的垂线，垂足为点Q，设点C的坐标为，求出，得出，在中，根据，，得出，即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过和，
∴，
∴，
∴该抛物线的表达式为．
【小问2详解】
解：过点C作y轴的垂线，垂足为点N，过点A作y的垂线，垂足为点M，如图所示：
设点，
∵，
∴，，
∵轴，轴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，，
①当时，点，
设直线的解析式为，
将，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
令代入得：，
则，
此时点在y轴的负半轴，不符合题意，舍去；
②当时，点，
设直线的解析式为，
将，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
令代入得：，
则，符合题意，
则点C到x轴的距离为．
小问3详解】
解：存在，．
过点C作y轴的垂线，垂足为点P，过点A作的垂线，垂足为点Q，如图所示：
由题意得，点C的坐标为，
∵轴，得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴
∵轴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，特殊角的三角函数值，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意分类讨论．
25. 如图1，点为内一点，联结，以为邻边作平行四边形与边交于点，．
（1）求证：；
（2）延长，交边于点，如果，且的面积与平行四边形面积相等，求的值；
（3）如图2，联结，若平分，求线段的长．
【答案】（1）详见解析
（2）
（3）
【分析】（1）平行四边形中，，，可求出，，由此即可求证；
（2）延长交于点，过点作，交射线于点，，由的面积与平行四边形的面积相等，可知，由，得，由，得，设，则，进一步得，由此即可求解；
（3）延长，交于点，交边于点，由，可得，设，得，根据，得，得，，由此即可求解．
【小问1详解】
解：在平行四边形中，，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：如图所示，延长交于点，过点作，交射线于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
如图所示，延长交于，
由，得，即，
∵的面积与平行四边形的面积相等，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，得，
∵，得，
设，则，则，
，，得，
∴．
【小问3详解】
解：如图所示，延长，交于点，交边于点，
由，
∴，
设，得，
由，得，
又，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
由，得，
由，
由，
∴，
∴，
∴，
由，得．
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定和性质，掌握三角形相似的判断和性质,根据题意列出方程是关键．