数学（扬州卷）-学易金卷：2023年中考第一次模拟考试卷

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第Ⅰ卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
第Ⅱ卷
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．﹣11 10．3 11．m（x﹣2）2 12．0
13．﹣3≤k≤﹣1 14．1000 QUOTE 14 15．12 16． QUOTE 3 或 QUOTE 33
17．2或4 18．4或8 QUOTE 14
三．解答题（共10小题，满分96分）
19．（8分）
【解答】解：（1）|3-2|+20100-(-13)-1+3tan30°，
＝2-3+1﹣（﹣3）+3×33，
＝2-3+1+3+3，
＝6；
（2）(x2+4x-4)÷x2-4x2+2x，
=(x-2)2x•x(x+2)(x+2)(x-2)，
＝x﹣2；
当x＝﹣1时，原式＝x﹣2＝﹣1﹣2＝﹣3．
20．（8分）
【解答】解：解不等式①得：x＞﹣2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：﹣2.5＜x≤4，
∴这个不等式组的所有整数解为：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．
21．（8分）
【解答】解：（1）本次抽样的人数610%=60（人），
∴样本容量为60，
故答案为：60；
（2）C组的人数为40%×60＝24（人），
补全统计图如下：
（3）A组所占的百分比为1260×100%＝20%，
∴a的值为20，
β＝40%×360°＝144°，
故答案为：20，144°；
（4）总时间少于24小时的学生的百分比为12+1860×100%＝50%，
∴估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有2000×50%＝1000（名），
答：估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名．
22．（8分）
【解答】解：（1）从B入口处进入的概率为14，
故答案为：14；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中刘芳和李琴两人选择不同入口进入植物园的结果有12种，
∴她们两人选择不同入口进入植物园的概率为1216=34．
23．（10分）
【解答】解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，
根据题意得：240x-2401.5x=2，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝60．
答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米．
（2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成，
由题意得：60m+40m＝1800，
解得：m＝18，
则18×7+18×5＝216（万元），
答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元．
24．（10分）
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
又∵AE平分∠BAD交BC于E，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
同理，CD＝FC，
∴BE＝FC，BF＝EC；
（2）如图，过点B作BG⊥AE于G，过点C作CH⊥DF于H，
∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，
∴∠EAD=12∠BAD，∠FDA=12∠ADC，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴∠EAD+∠FDA＝90°，
∴AE⊥DF，
∴CH∥AE，
∴∠HCF＝∠GEB，
∵∠BGE＝∠FHC＝90°，
∵BE＝FC，
∴△BGE≌△FHC（AAS），
∴BE＝DC，
∵BE＝FC，
∴FC＝DC，
∵CH⊥DF，
∴FH=12DF＝1
同理CH＝EG=12AE=3，
∴FC＝2，
∴S△DFC=12×2×3=3，
∵E为BC的三等分点，
∴S△BCD=32S△DFC=332，
∴S四边形ABCD＝2S△BCD=33
设直线AB与CD的距离为h，
∵CD＝FC＝2，
∴2h=33，
∴h=332．
25．（10分）
【解答】（本题满分7分）
（1）证明：连接OE，
∵BE是∠B的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE．（1分）
∴OE⊥AC．（2分）
∵EF∥AC，
∴OE⊥EF．
∵E在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线．（3分）
（2）解：∵EF∥AC，
∴∠FEA＝∠EAC．
∵∠EAC＝∠EBC，
又∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠FEA＝∠ABE．
又∵∠F＝∠F，
∴△EFA∽△BFE．（5分）
∴EFAF=FBEF．
∴EF2＝AF•FB＝15．
∴⊙O的半径长7.5．（6分）
（3）解：∵△EFA∽△BFE，
∴EFAF=AEBE=12AEBE．
设AE＝k，BE＝2K，
∵∠AEB＝90°，
∴AE2+BE2＝AB2∴k2+4k2＝152k＝35．
∴AE＝35．
∴sin∠ABE=55．
∴sin∠CBE＝sin∠ABE=55．（7分）
26．（10分）
【解答】（1）证明：由作图可知，OA，OB是∠CAB，∠CBA的角平分线，
∴OC平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD=12∠ACB＝45°，
∵∠CDA＝90°．
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴CA＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：∵AC＝CB＝2，∠ACB＝90°，
∴AB＝22，
由题意，点O是△ABC的内心，
∴S△ABC=12•AC•BC=12•（AC+BC+AB）•OD，
∴OD＝2-2，
∴S阴＝S△ABC﹣S圆O=12×2×2﹣π•（2-2）2＝2﹣（6﹣42）π．
27．（12分）
【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠ACD+∠A＝90°，
又∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
同理，∠B＝∠ACD，
∵tan∠A=BCAC=n，
∴tan∠BCD＝n，
∴CDAD=n，BDCD=n，
设AD＝x，则CD＝nx，BD＝n2x，
∴ADBD=xn2x=1n2；
（2）如图2，分别过E，F作BC的垂线，垂足分别为N，Q，
过C作CD⊥AB于D，
∵tan∠BAC=BCAC=3，
∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠B＝30°，
过C作CDAB于D，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
∵AC＝4，
∴AD=12AC=2，AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝6，
BC=AB2-AC2=43，
∴CD=12BC=23，
设DE＝x，则BE＝6﹣x，
∵FN⊥BC，EQ⊥BC，
∴∠CNF＝∠CQE＝90°，
∴FN∥EQ，
∴△CFN∽△CEQ，
∵CFEF=12，
∴CFCE=FNEQ=CNCQ=13，
在直角△EQB中，∠B＝30°，BE＝6﹣x，
∴EQ=12BE=3-12x，
∴BQ=BE2-EQ2=33-32x，
∴CQ＝BC﹣BQ=3+32x，
FN=13QE=1-16x，
∴CN=13CQ=33+36x，
∴BN＝BC﹣CN=1133-36x，
∵∠DCB＝90°﹣∠B＝60°，
∵∠EFB＝60°，
∴∠DCB＝∠EFB，
∴∠DCE+∠ECB＝∠ECB+∠NBF，
∴∠DCE＝∠NBF，
∵∠CDE＝∠BNF＝90°，
∴△CDE∽△BNF，
∴DECD=FNBN，
∴x23=1-16x1133-36x，
解得x＝12±233，
∵DE＝x＜6，
∴DE＝x＝12-233，
∴BE＝6﹣x=233-6；
（3）如图3，过G作GH⊥BA交其延长线于H，
∴∠GHA＝∠CDA＝90°，
在△GHA与△CDA中，
∠GHA=∠CDA∠GAH=∠CADAG=AC，
∴△GHA≌△CDA（AAS），
∴AH＝AD，GH＝CD，
由（1）可得，CDAD=n，
∴设AD＝y，则CD＝ny，
∴GH＝CD＝ny，
DH＝2AD＝2y，
∴tan∠GDA=GHDH=ny2y=n2，
故答案为n2．
28．（12分）
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴a-b+6=09a+3b+6=0，
解得：a=-2b=4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；
（2）由（1）得，点C（0，6），
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
∵直线BC经过点B（3，0），C（0，6），
∴3k+c=0c=6，
解得：k=-2c=6
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，
设点M的坐标为（m，﹣2m+6）（0＜m＜3），
如图1，过点M作MN⊥y轴于点N，过点H作HK⊥y轴于点K，
则∠MNO＝∠OKH＝90°，
∵OH⊥OM，
∴∠MOH＝90°，
∵∠OMB＝45°，
∴△MOH是等腰直角三角形，
∴OM＝OH．
∵∠MON+∠KOH＝90°，∠OHK+∠KOH＝90°，
∴∠MON＝∠OHK，
∴△OMN≌△HOK（AAS），
∴MN＝OK，ON＝HK．
∴H（﹣2m+6，﹣m），
∵点H（﹣2m+6，﹣m）在直线y＝﹣2x+6上，
∴﹣2（﹣2m+6）＝﹣m，
解得：m=65，
把m=65代入y＝﹣2x+6得：y=185，
∴当∠OMB＝45°时，点M的坐标为（65，185）；
（3）存在，理由如下：
∵抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，顶点为D，
∴点D的坐标为（1，8），
分两种情况讨论：
①当CD为菱形的边时，
如图2，过C作CE⊥DQ于E
∵C（0，6），D（1，8），
∴CD=(1-0)2+(8-6)2=5，
∴DQ＝CD=5，
∴Q点的坐标为（1，8-5）或（1，8+5）；
②当CD为菱形的对角线时，
如图3，设点Q（1，m），P（0，n），
∵C（0，6），D（1，8），
∴m+n＝6+8＝14，
∴n＝14﹣m，
∴P（0，14﹣m），
∴PC＝14﹣m﹣6＝8﹣m，
∵CQ=(1-0)2+(m-6)2=1+(m-6)2，PC＝CQ，
∴8﹣m=1+(m-6)2，
解得：m=274，
∴点Q的坐标为（1，274）；
综上所述，点Q的坐标为（1，8-5）或（1，8+5）或（1，274）．1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
D
C
A
D
A
D