2023年高考数学一轮复习《椭圆》精选练习（2份打包，教师版+原卷版）

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2023年高考数学一轮复习《椭圆》精选练习一、选择题 LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知点F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|=(　　)A.4　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.12【答案解析】答案为：A.解析：由|PF1|＋|PF2|=4，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°=|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|=12，所以|PF1|·|PF2|=4，故选A.] LISTNUM OutlineDefault \l 3 椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是(　　)A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(6\r(5),5) C.eq \f(8\r(5),5) D.eq \f(4\r(5),5)【答案解析】答案为：C；解析：设椭圆的右焦点为E，由椭圆的定义知△FMN的周长为L=|MN|＋|MF|＋|NF|=|MN|＋(2eq \r(5)－|ME|)＋(2eq \r(5)－|NE|).因为|ME|＋|NE|≥|MN|，所以|MN|－|ME|－|NE|≤0，当直线MN过点E时取等号，所以L=4eq \r(5)＋|MN|－|ME|－|NE|≤4eq \r(5)，即直线x=a过椭圆的右焦点E时，△FMN的周长最大，此时S△FMN=eq \f(1,2)×|MN|×|EF|=eq \f(1,2)×eq \f(2×4,\r(5))×2=eq \f(8\r(5),5)，故选C. LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)=1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为(　　)A.20 B.10 C.2eq \r(5) D.4eq \r(5)【答案解析】答案为：D；解析：由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(－c,0)，∴点N的横坐标为c，联立方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝c，,\f(x2,a2)＋\f(y2,4)＝1，))得Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(4,a)))，∴Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,a)))，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2c，－\f(2,a))).把点M的坐标代入椭圆方程得eq \f(4c2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a)))2,4)=1，化简得c2=eq \f(a2－1,4)，又c2=a2－4，∴eq \f(a2－1,4)=a2－4，解得a2=5，∴a=eq \r(5).由椭圆的定义知|NF2|＋|NF1|=|MF2|＋|MF1|=2a，∴△F2MN的周长为|NF2|＋|MF2|＋|MN|=|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|=4a=4eq \r(5)，故选D. LISTNUM OutlineDefault \l 3 在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)=1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)A.5 B.4 C.3 D.2【答案解析】答案为：A；解析：∵椭圆的方程为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)=1，∴a2=4，b2=3，c2=1，∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0,1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|=4，∴|PB|=4－|PC|，∴|PA|＋|PB|=4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|=5. LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)与圆D：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,16)a2=0交于A，B两点，若四边形OADB(O为原点)是菱形，则椭圆C的离心率为(　　)A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(6),2)【答案解析】答案为：B；解析：由已知可得圆D：(x－a)2＋y2=eq \f(13,16)a2，圆心D(a，0)，则菱形OADB对角线的交点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))，将x=eq \f(a,2)代入圆D的方程得y=±eq \f(3a,4)，不妨设点A在x轴上方，即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(3a,4)))，代入椭圆C的方程可得eq \f(1,4)＋eq \f(9a2,16b2)=1，所以eq \f(3,4)a2=b2=a2－c2，解得a=2c，所以椭圆C的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(1,2). LISTNUM OutlineDefault \l 3 设F是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的一个焦点，P是C上的点，圆x2＋y2=eq \f(a2,9)与线段PF交于A，B两点，若A，B是线段PF的两个三等分点，则椭圆C的离心率为(　 　)A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(5),3) C.eq \f(\r(10),4) D.eq \f(\r(17),5)【答案解析】答案为：D；解析：如图所示，设线段AB的中点为D，连接OD，OA，设椭圆C的左、右焦点分别为F，F1，连接PF1.设|OD|=t，因为点A，B是线段PF的两个三等分点，所以点D为线段PF的中点，所以OD∥PF1，且|PF1|=2t，PF1⊥PF.因为|PF|=3|AB|=6|AD|=6eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))2－t2)，根据椭圆的定义，得|PF|＋|PF1|=2a，∴6eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))2－t2)＋2t=2a，解得t=eq \f(a,5)或t=0(舍去).所以|PF|=eq \f(8a,5)，|PF1|=eq \f(2a,5).在Rt△PFF1中，|PF|2＋|PF1|2=|FF1|2，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8a,5)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,5)))2=(2c)2，得eq \f(c2,a2)=eq \f(17,25)，所以椭圆C的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(17),5). LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若直线AC与BD的斜率之积为－eq \f(1,4)，则椭圆的离心率为(　　)A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(3,4)【答案解析】答案为：C解析：设外层椭圆方程为eq \f(x2,ma2)＋eq \f(y2,mb2)＝1(a>b>0，m>1)，则切线AC的方程为y＝k1(x－ma)，切线BD的方程为y＝k2x＋mb，则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝k1x－ma，,bx2＋ay2＝a2b2，))消去y，得(b2＋a2keq \o\al(2,1))x2－2ma3keq \o\al(2,1)x＋m2a4keq \o\al(2,1)－a2b2＝0.因为Δ＝(2ma3keq \o\al(2,1))2－4(b2＋a2keq \o\al(2,1))(m2a4keq \o\al(2,1)－a2b2)＝0，整理，得keq \o\al(2,1)＝eq \f(b2,a2)·eq \f(1,m2－1).由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝k2x＋mb，,bx2＋ay2＝a2b2，))消去y，得(b2＋a2keq \o\al(2,2))x2＋2a2mbk2x＋a2m2b2－a2b2＝0，因为Δ2＝(2a2mbk2)2－4×(b2＋a2keq \o\al(2,2))(a2m2b2－a2b2)＝0，整理，得keq \o\al(2,2)＝eq \f(b2,a2)·(m2－1).所以keq \o\al(2,1)·keq \o\al(2,2)＝eq \f(b4,a4).因为k1k2＝－eq \f(1,4)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(3,4)，所以e＝eq \f(\r(3),2)，故选C. LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该椭圆的离心率为(　　)A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(1,2) C.eq \r(3)－1 D.eq \f(\r(2),2)【答案解析】答案为：C解析：连接AF1，∵F1F2是圆O的直径，∴∠F1AF2＝90°，即F1A⊥AF2，又∵△F2AB是等边三角形，F1F2⊥AB，∴∠AF2F1＝eq \f(1,2)∠AF2B＝30°，因此，在Rt△F1AF2中，|F1F2|＝2c，|F1A|＝eq \f(1,2)|F1F2|＝c，|F2A|＝eq \f(\r(3),2)|F1F2|＝eq \r(3)c.根据椭圆的定义，得2a＝|F1A|＋|F2A|＝(1＋eq \r(3))c，解得a＝eq \f(1＋\r(3),2)c，∴椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1.故选C. LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知A，B分别为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,b2)＝1(0＜b＜3)的左、右顶点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的不同两点，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，若点A到直线y＝eq \r(1－mn)x的距离为1，则该椭圆的离心率为(　　)A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(2),2)【答案解析】答案为：B解析：根据椭圆的标准方程eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,b2)＝1(0＜b＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，A(－3,0)，B(3,0)，设P(x0，y0)，Q(x0，－y0)，则eq \f(x\o\al(2,0),9)＋eq \f(y\o\al(2,0),b2)＝1，kAP＝m＝eq \f(y0,x0＋3)，kBQ＝n＝eq \f(－y0,x0－3)，∴mn＝eq \f(－y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－9)＝eq \f(b2,9)，∴eq \r(1－mn)＝eq \f(\r(9－b2),3)，∴直线y＝eq \r(1－mn)x＝eq \f(\r(9－b2),3)x，即eq \r(9－b2)x－3y＝0.又点A到直线y＝eq \r(1－mn)x的距离为1，∴eq \f(|－3\r(9－b2)|,\r(9－b2＋9))＝eq \f(3\r(9－b2),\r(18－b2))＝1，解得b2＝eq \f(63,8)，∴c2＝a2－b2＝eq \f(9,8)，∴e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(1,8))＝eq \f(\r(2),4)，故选B. LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)A.(eq \f(\r(2),2),1) B.(eq \f(1,2),1) C.(0,eq \f(\r(2),2)) D.(0,eq \f(1,2))【答案解析】答案为：A.解析：因为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1上存在点P使∠F1PF2为钝角，所以b＜c，则a2=b2＋c2＜2c2，所以椭圆的离心率e=eq \f(c,a)＞eq \f(\r(2),2).又因为e＜1，所以e的取值范围为(eq \f(\r(2),2),1) ，故选A.] LISTNUM OutlineDefault \l 3 设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)和圆x2＋y2＝b2，若椭圆C上存在点P，使得过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，满足∠APB＝60°，则椭圆的离心率e的取值范围是(　　)A.00)的离心率为eq \f(\r(3),2)，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：y=kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON=eq \f(5,4)，求原点O到直线l的距离的取值范围.【答案解析】解：(1)由题知e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(3),2)，2b=2，又a2=b2＋c2，∴b=1，a=2，∴椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2=1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4=0，依题意，Δ=(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，化简得m2