高中数学高考预测13 计数原理及二项式定理（解析版）

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预测13  计数原理及二项式定理概率预测☆☆☆☆☆题型预测选择题☆☆☆☆填空题☆☆考向预测1、排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题．2、考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）3、考查各项系数和和各项的二项式系数和；4、二项式定理的应用. 1、排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题．2、考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）3、考查各项系数和和各项的二项式系数和；4、二项式定理的应用.  1、排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题．2、二项展开式定理的问题是高考命题热点之一.关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用. 一、排列、组合1. 分类加法计数原理完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1＋m2＋…＋mn__种不同的方法．2. 分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1×m2×…×mn__种不同的方法．3. 排列与排列数(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__一个排列__．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的__排列数__，用符号__A__表示．(3)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，并且m≤n)A＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝n！，规定0！＝1．4. 组合与组合数(1)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__一个组合__．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__组合数__，用符号__C__表示．(3)组合数公式：C＝＝＝(n，m∈N*，并且m≤n)．(4)组合数的性质：性质1：C＝C．性质2：C＝C＋C．性质3：mC＝n·C．二、 二项式定理1· 二项式定理的展开式公式：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)这个公式表示的定理叫做二项式定理．在上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k＝0，1，…，n)叫做二项式系数，式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝Can－kbk．2. 二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1．(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂_排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式系数从C，C，一直到C，C．一、杨辉三角”与二项式系数的性质(1)“杨辉三角”有如下规律：左右两边斜行都是1，其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．(2)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C．(3)增减性与最大值：二项式系数C，当k＜时，二项式系数逐渐增大；当k＞时，二项式系数逐渐减小．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大．(4)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各项二项式系数之和为2n，即C＋C＋…＋C＝2n.(5)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1．二、排列、组合的方法技巧1、特殊位置、特殊元素优先安排2、插空法3、捆绑法1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】的展开式中x3y3的系数为A．5  B．10 C．15  D．20【答案】C【解析】展开式的通项公式为（且）所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：和在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为所以的系数为故选：C.2．【2020年新高考全国Ⅰ卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种  B．90种C．60种  D．30种【答案】C【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C．3．【2020年高考北京】在的展开式中，的系数为A．  B．5 C．  D．10【答案】C【解析】展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：.故选：C.4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为A．12 B．16 C．20      D．24【答案】A【解析】由题意得x3的系数为，故选A．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．5．【2020年高考全国II卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．【答案】【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，先取2名同学看作一组，选法有：.现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：，根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种，故答案为：.6．【2020年高考全国III卷理数】的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】【解析】其二项式展开通项：当，解得的展开式中常数项是：.故答案为：.7．【2020年高考天津】在的展开式中，的系数是_________．【答案】10【解析】因为的展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为．故答案为：．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．8．【2020年高考浙江】二项展开式，则_______，________．【答案】80；122【解析】的通项为，令，则，故；.故答案为：80；122.【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.9．【2019年高考浙江卷理数】在二项式的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．【答案】    【解析】由题意，的通项为，当时，可得常数项为；若展开式的系数为有理数，则，有共5个项．故答案为：，．10．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．（用数字填写答案）【答案】16【解析】根据题意，没有女生入选有种选法，从6名学生中任意选3人有种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有种，故答案为：16．11．【2018年高考浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)【答案】1260【解析】若不取0，则排列数为；若取0，则排列数为，因此一共可以组成个没有重复数字的四位数．故答案为：1260．12．【2018年高考浙江卷】二项式的展开式的常数项是__________．【答案】7【解析】二项式的展开式的通项公式为，令得，故所求的常数项为．故答案为：7．13．【2018年高考天津卷理数】在的展开式中，的系数为__________．【答案】【解析】二项式的展开式的通项公式为，令可得：，则的系数为：．故答案为：．14．【2019年高考江苏卷理数】设．已知．（1）求n的值；（2）设，其中，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，所以，．因为，所以，解得．（2）由（1）知，．．解法一：因为，所以，从而．解法二：．因为，所以．因此．一、单选题1、（2021·连云港·一模）3．2月18日至28日在张家口举办国际雪联自由式滑雪和单板滑雪世界锦标赛，现组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为A．12             B．24             C．36             D．48【答案】C【解析】若小张、小赵中有一人入选，则有选法 C21C21A33＝24 种；若小张、小赵都入选，则有选法 A22A32＝12 种，所以共有选法 12+24=36 种，故选 C.2、（2020届山东省潍坊市高三上期中） 展开式中的系数为（    ）A．-112 B．28 C．56 D．112【答案】D【解析】由．取，得．展开式中的系数为．故选：D.3、（2020届山东省临沂市高三上期末）的展开式的中间项为（    ）A．-40 B． C．40 D．【答案】B【解析】的展开式的通项为则中间项为.故选：B.4、（江苏省盐城市2020-2021学年高三模拟）若二项式的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的系数为（    ）A．60 B．120C．160 D．240【答案】D【解析】二项式的展开式中二项式系数之和为则，所以二项式的展开式的通项公式为 要使展开式中含，则，所以系数为：故选：D5、（江苏省连云港市2021届高三调研）的展开式中的系数为（    ）.A．16 B．18 C．20 D．24【答案】C【解析】的展开式的通项为，所以的展开式中含的项为，所以的展开式中的系数为，故选：C. 二、多选题6、（2021·江苏省滨海中学高三月考）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（    ）A．某学生从中选3门，共有30种选法B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法【答案】CD【解析】6门中选3门共有种，故A错误；课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法，故B错误；课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法，故C正确；课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故D正确．故选：CD7、（湖北省襄阳市2020-2021学年高三联考）若，则（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】令，则，A对，令，则，令，则，∴，，B对，C错，令，则，又，则，D对，故选：ABD.8、（2021·江苏常州市·高三期末）若，且，则下列结论正确的是（    ）A．B．展开式中二项式系数和为C．展开式中所有项系数和为D．【答案】ACD【解析】对于A，令，可得，即，即，①令，得，即，②由于的展开式中，所以，③所以①-②-③得：，而，所以，解得：，故A正确；对于B，由于，则，所以展开式中二项式系数和为，故B错误；对于C，由于，则的所有项系数为，故C正确；对于D，由于，则，等式两边求导得：，令，则，故D正确.故选：ACD.9、（2021·扬州·一模）9.在的展开式中，下列说法正确的有(   )A．所有项的二项式系数和为128          B．所有项的系数和为0C．系数最大的项为第4项和第5项        D．存在常数项【答案】AB【解析】：的展开式的各个二项式系数的和等于，即，27=128，所以A对；求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，令x=1，系数和为0.所以B对；求展开式系数最大项：如求 ()的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，且第项系数最大，应用从而解出k来，即得．，由于中不含每一项系数，为1和-1，则系数最大值与有关，4项和第5项一负一正，所以C是错的；二次项次数是奇次，所以不可能出现常数项，D是错的。三、填空题10、（山东省2020-2021学年高三调研）若的展开式中第5项为常数项，则该常数项为______（用数字表示）．【答案】35【解析】解：的展开式的通项公式为，展开式中第5项为常数项，故当时，，，该展开式的常数项为，故答案为：35．11、（山东省威海市2020-2021学年高三模拟）在的展开式中，常数项等于____．【答案】160【解析】的展开项的形式是若为常数项，可得故常数项为12、（2021·盐城、南京·一模）14．的展开式中有理项的个数为       ．【答案】34【解析】，所以r＝0，3，6，…，99时为有理想，共34个．13、（2021·浙江嘉兴市·高三期末）已知.若，则___________；___________.【答案】    0    【解析】因为其中展开式的通项为，令，则，令，则，所以展开式中项为，故，令则，令则，所以0，故答案为：；.14、（2020届山东省德州市高三上期末）的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.【答案】        【解析】的展开式的通项为，令，得，所以，展开式中的常数项为；令，令，即，解得，，，因此，展开式中系数最大的项为.故答案为：；.