高中数学高考 2021届小题必练13 概率与计数原理（理）-学生版(1)

1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．

2．理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．

3．理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．

4．会利用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

1．【2020全国1卷理科】的展开式中x3y3的系数为（    ）

A．5 B．10 C．15 D．20

2．【2020全国Ⅱ卷理科】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．

一、选择题．

1．有位教师在同一个年级的个班中各教一个班的数学，在一次数学检测时，要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

3．在报名的名男生和名女生中，选取人参加义务劳动，要求男生、女生都有，则不同的选取方式的种数为（    ）

A． B． C． D．

4．在二项式的展开式中，各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则（    ）

A． B． C． D．

5．从集合任取三个不同的数，使得这三个数构成等比数列，则这样的等比数列的个数有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

6．年春节假期，旅游过年持续火爆．特别是：东北雪乡、梦回大唐、江南水乡、三亚之行这四条路线受到广大人民的热播．现有个家庭准备去这四个地方旅游，假设每个家庭均从这四条路线中任意选取一条路线去旅源，则恰有一条路线未被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．将多项式分解因式得，则（    ）

A． B． C． D．

8．安排人完成项不同工作，每人至少完成项，每项工作由人完成，则不同的安排方式种数为（    ）

A． B． C． D．

9．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

10．由数字组成没有重复数字的四位数，定义个位数字比十位数字大、千位数字是偶数、百位数字为奇数的没有重复数字的四位数为“特征数”，从组成的所有没有重复数字的四位数中任取一个，则这个四位数是“特征数”的概率为（    ）

A． B． C． D．

11．将名党员干部分配到个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配名党员干部，则不同的分配方案共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

12．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题．

13．若的展开式中的系数为，则       ．

14．从集合中分别取两个不同的数作为对数的底数和真数，一共可以得到       个

不同的对数值．

15．《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面(可以不相邻)，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有      种．

16．某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的辆共享汽车都是随机停放的，且这辆共享汽车都不相邻的概率与这辆共享汽车恰有辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为       ．

1．【答案】C

【解析】展开式的通项公式为（且），

所以与展开式的乘积可表示为：

或，

在中，令，可得，该项中的系数为，

在中，令，可得，该项中的系数为，

所以的系数为，故选C．

【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题．

2．【答案】

【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，

先取2名同学看作一组，选法有，

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有，

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种，故答案为．

【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．

一、选择题．

1．【答案】B

【解析】设四位监考教师分别为，他们所教的班分别为，

假设监考，则余下的三人监考剩下的三个班，共有种不同的方法，

同理监考时，余下的三人监考剩下的三个班，也分别有种不同的方法，

由分步加法计数原理知，监考方法共有种．

2．【答案】C

【解析】，∴，∴，故选C．

3．【答案】A

【解析】根据题意，报名的名男生和名女生，共名学生，

在名中选取人，参加志愿服务，有种，

其中只有女生的有种情况，

则男、女生都有的选取方式的种数为种．

4．【答案】A

【解析】∵各项系数之和为，∴二项式系数之和为．

∵，∴，∴，∴．

5．【答案】D

【解析】当公比为时，等比数列可为；；

当公比为时，等比数列可为；当公比为时，等比数列可为，

同时数列；；；也为等比数列，

故共有个．

6．【答案】B

【解析】所有情况为，恰有一条路线未被选中的情况为，

故所求概率．

7．【答案】A

【解析】，

所以展开式中的三次项系数为，所以，故选A．

8．【答案】B

【解析】根据题意，分步进行分析：

①将项工作分成组，

若分成、、的三组，有种分组方法，

若分层、、的三组，有种分组方法，则将项工作分成组，有种分组方法；

②将分好的三组全排列，对应名志愿者，有种情况，

则有种不同的分组方法，故答案为B．

9．【答案】C

【解析】当时，左边，右边，∴，

当时，，即，故选C．

10．【答案】A

【解析】由数字组成没有重复数字的四位数，共有（个），

第一步，考虑千位数字，情况有（种）；

第二步，考虑百位数字，情况有（种）；

第三步，同时考虑个位数字和十位数字，情况有（种），

故共有（种）．

从所有没有重复数字的四位数中任取一个，则这个数是“特征数”的概率为．

11．【答案】C

【解析】分两类考虑：第一类，其中个贫困村分配名党员干部，另外个贫困村各分配名党员干部，

此类分配方案种数为；

第二类，其中个贫困村各分配名党员干部，另外个贫困村各分配名党员干部，

此类分配方案种数为，

故不同的分配方案共有种．

12．【答案】C

【解析】令，即，

又∵，，

又，∴．

二、填空题．

13．【答案】

【解析】由二项式定理得，的系数为，∴，

故．

14．【答案】

【解析】第一步：取底数，有种选法；第二步：取真数，有种选法．

根据分步乘法计数原理可知，共得到个对数，

但在这些对数中，有，，，．

所以共得到个不同的对数值．

15．【答案】

【解析】根据题意，分步进行分析：将《将进酒》、《望岳》和另两首诗词的四首诗词全排列，

共有种顺序，

由于《将进酒》排在《望岳》前面，则这四首诗词的排法有种，

这四首诗词排好后，不含最后位置总共有四个空位，在四个空位中任选两个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有中安排方法，

则后六场的排法有种．

16．【答案】

【解析】设停车位有个，这辆共享汽车都不相邻的种数：

相当于先将个停车位排放好，再将这辆共享汽车，插入到所成个间隔中，故有种，

恰有辆相邻的种数：先把其中辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到，将个停车位排放好所成个间隔中，故有种，

因为这辆共享汽车都不相邻的概率与这辆共享汽车恰有辆相邻的概率相等，

∴，解得．