高中数学高考课后限时集训71 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 作业

　　　　　　　　　　　离散型随机变量的均值与方差、正态分布

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一、选择题

1．(2019·陕西省第三次联考)同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的数学期望是(　　)

A．1　　　B．2　　　C.　　　D.

A　[∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为×＝，

∴X～B(4，)，∴E(X)＝4×＝1.故选A.]

2．(2019·广西桂林市、崇左市二模)在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若P(0<ξ<1)＝0.4，则P(0<ξ<2)＝(　　)

A．0.4  B．0.8  C．0.6  D．0.2

B　[由正态分布的图象和性质得P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝2×0.4＝0.8.故选B.]

3．已知随机变量ξ的分布列为

若E(ξ)＝，则D(ξ)＝(　　)

A．1  B.  C.  D．2

B　[∵E(ξ)＝，∴由随机变量ξ的分布列知，∴则D(ξ)＝×＋×＋×＋×＝.]

4．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E(ξ)＝(　　)

A．3  B.  C.  D．4

B　[ξ的可能取值为2，3，4，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，则E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝，故选B.]

5．甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从N(5，0.12)，如果零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)以外，我们就有理由认为生产中可能出现了异常情况．现从甲、乙两厂各抽取10件零件检测，尺寸如茎叶图所示：

则以下判断正确的是(　　)

A．甲、乙两厂生产都出现异常

B．甲、乙两厂生产都正常

C．甲厂生产正常，乙厂出现异常

D．甲厂生产出现异常，乙厂正常

D　[由甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从N(5，0.12)，得μ＝5，σ＝0.1，区间(μ－3σ，μ＋3σ)，即区间(4.7，5.3)，根据茎叶图可知，甲厂生产的零件有1件尺寸超出上述区间，乙厂生产的零件尺寸均在上述区间，所以甲厂生产出现异常、乙厂生产正常．

故选D.]

二、填空题

6．设X为随机变量，X～B，若随机变量X的均值E(X)＝2，则P(X＝2)等于________．

　[由X～B，E(X)＝2，得

np＝n＝2，∴n＝6，

则P(X＝2)＝C＝.]

7．(2019·海口模拟)某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X(单位：kg)服从正态分布N(25，0.22)，任意选取一袋这种大米，质量在24.8～25.4 kg的概率为________．(附：若Z～N(μ，σ2)，则P(|Z－μ|＜σ)＝0.682 6，P(|Z－μ|＜2σ)＝0.954 4，P(|Z－μ|＜3σ)＝0.997 4)

0.818 5　[∵X～N(25，0.22)，∴μ＝25，σ＝0.2.

∴P(24.8≤X≤25.4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝×(0.682 6＋0.954 4)＝0.341 3＋0.477 2＝0.818 5.]

8．2019年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95，82)的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是________．

　[由题意可知每名学生的英语成绩ξ～N(95，82)，

∴P(ξ＞95)＝，故所求概率P＝C＝.]

三、解答题

9．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：

(1)若将频率作为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；(结果用分数表示)

(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，

方案1：不分类卖出，单价为20元/kg .

方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：

从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？

(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望E(X)．

[解]　(1)设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A，则P(A)＝＝，现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X，则X～B(4，)，所以恰好抽到2个礼品果的概率为P(X＝2)＝C()2()2＝.

(2)设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为

E(ξ)＝16×＋18×＋22×＋24×

＝＝20.6，

因为E(ξ)>20，所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案．

(3)用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个，现从中抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3，

则P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；

P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝，

所以X的分布列如下：

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

10．某市高中某学科竞赛中，某区4 000名考生的竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．

(1)求这4 000名考生的平均成绩x(同一组中数据用该组区间中点值作代表)；

(2)认为考生竞赛成绩Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩x和考生成绩的方差s2，那么该区4 000名考生成绩超过84.81分(含84.81分)的人数大约为多少？

(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生成绩的情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3)．(精确到0.001)

附：①s2＝204.75，≈14.31；

②Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 6，

P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 4；

③0.841 34≈0.501.

[解]　(1)由题意知：

∴＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，

∴这4 000名考生的平均成绩x为70.5分．

(2)由题知Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝x＝70.5，

σ2＝204.75，σ≈14.31，

∴Z服从正态分布N(μ，σ2)，即N(70.5，14.312)．

而P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝P(56.19＜Z＜84.81)＝0.682 6，

∴P(Z≥84.81)＝＝0.158 7.

∴竞赛成绩超过84.81分的人数大约为0.158 7×4 000＝634.8≈634.

(3)全市参赛考生成绩不超过84.81分的概率为1－0.158 7＝0.841 3.

而ξ～B(4，0.841 3)，

∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C×0.841 34≈1－0.501＝0.499.

1．(2019·西安质检)已知随机变量ξ的分布列如下：

其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

B　[由题意知a，b，c∈[0，1]，且解得b＝，又函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝.]

2．(2019·浙江高考)设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是

则当a在(0，1)内增大时，(　　)

A．D(X)增大

B．D(X)减小

C．D(X)先增大后减小

D．D(X)先减小后增大

D　[法一：由分布列得E(X)＝，则

D(X)＝(－0)2×＋(－a)2×＋(－1)2×＝(a－)2＋，则当a在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大．故选D.

法二：则D(X)＝E(X2)－E(X)＝0＋＋－，

＝＝[(a－)2＋]，

则当a在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大．故选D.]

3．体育课的排球发球项目考试的规则是：每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生每次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

C　[由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，

P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，解得p＞或p＜.由p∈(0，1)，可得p∈.]

4．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

[解]　(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝Cp2(1－p)18.因此

f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Cp(1－p)17(1－10p)．

令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0，0.1)时，f′(p)＞0；

当p∈(0.1，1)时，f′(p)＜0.

所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.

(2)由(1)知，p＝0.1.

①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180，0.1)，X＝20×2＋25Y，

即X＝40＋25Y.

所以E(X)＝E(40＋25Y)

＝40＋25E(Y)＝490.

②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．

由于E(X)＞400，

故应该对余下的产品作检验．

1．某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是(　　)

A．3  B.  C．2  D.

B　[在一轮投篮中，甲通过的概率为p＝，通不过的概率为.

由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的取值分别为0，1，2，3，

则P(X＝0)＝()3＝；

P(X＝1)＝C××()2＝；

P(X＝2)＝C×()2×＝；

P(X＝3)＝.

∴随机变量X的分布列为：

数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，或由二项分布的期望公式可得E(X)＝.]

2．在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为ξ，则数学期望E(ξ)＝________，方差D(ξ)的最大值为________．

p　　[记事件A发生的次数ξ可能的值为0，1.

数学期望E(ξ)＝0×(1－p)＋1×p＝p，

方差D(ξ)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p)≤.

故数学期望E(ξ)＝p，方差D(ξ)的最大值为.]