高中数学高考课后限时集训46 空间向量的运算及应用 作业

这是一份高中数学高考课后限时集训46 空间向量的运算及应用 作业，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
　　　　　　　空间向量的运算及应用建议用时：45分钟一、选择题1．已知a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于(　　)A．(0，3，－6)　　　 B．(0，6，－20)C．(0，6，－6)   D．(6，6，－6)B　[由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20)．]2．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是(　　)A．相交   B．平行C．在平面内   D．平行或在平面内D　[∵＝λ＋μ，∴，，共面．则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．]3．已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是(　　)A．a∥c，b∥c   B．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥b   D．以上都不对C　[∵c＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)＝2a，∴a∥c，又a·b＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a⊥b.]4.如图所示，三棱锥O­ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝(　　)A.(－a＋b＋c)B.(a＋b－c)C.(a－b＋c)D.(－a－b＋c)B　[＝＋＝(－)＋＝－＋(－)＝＋－＝(a＋b－c)．]5．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD是(　　)A．钝角三角形   B．锐角三角形C．直角三角形   D．不确定C　[∵M为BC中点，∴＝(＋)，∴·＝(＋)·＝·＋·＝0.∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，A(1，1，－2)，B(1，2，－3)，C(－1，3，0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，若A，B，C，D四点共面，则2x＋y＋z＝________．1　[∵A(1，1，－2)，B(1，2，－3)，C(－1，3，0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，∴＝(0，1，－1)，＝(－2，2，2)，＝(x－1，y－1，z＋2)．∵A，B，C，D四点共面，∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，即(x－1，y－1，z＋2)＝λ(0，1，－1)＋μ(－2，2，2)，∴解得2x＋y＋z＝1.]7．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为________．　[如图建立空间直角坐标系D­xyz，设正方体棱长为2，则易得＝(2，－2，1)，＝(2，2，－1)，∴cos〈，〉＝＝－，∴sin〈，〉＝＝.]8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．①②③　[∵·＝0，·＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．又与不平行，∴是平面ABCD的法向量，则③正确．∵＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，∴与不平行，故④错误．]三、解答题9．已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．[解]　(1)∵c∥，＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，∴c＝m＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)，∴|c|＝＝3|m|＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2)．(2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又∵|a|＝＝，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝－，故向量a与向量b的夹角的余弦值为－.10.如图，在棱长为a的正方体OABC­O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O­xyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1F⊥C1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋.[解]　(1)E(a，x，0)，F(a－x，a，0)．(2)证明：∵A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，∴·＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，∴⊥，∴A1F⊥C1E.(3)证明：∵A1，E，F，C1四点共面，∴，，共面．选与为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a，0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，∴解得λ1＝，λ2＝1.于是＝＋.1．在空间四边形ABCD中，则·＋·＋·的值为(　　)A．－1   B．0C．1   D．2B　[法一：(直接法)如图，令＝a，＝b，＝c, 则·＋·＋·＝·(－)＋·(－)＋·(－)＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.法二：(特值法)在三棱锥A­BCD中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直．所以·＝0，·＝0，·＝0.所以·＋·＋·＝0.]2.(2019·四川名校联考)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)A．相交B．平行C．垂直D．不能确定B　[∵正方体棱长为a，A1M＝AN＝，∴＝，＝，∴＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋＋＝＋.又∵是平面B1BCC1的法向量，且·＝·＝0，∴⊥，∴MN∥平面B1BCC1.故选B.]3．△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于________．5　[设＝λ，D(x，y，z)，则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0，4，－3)，∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ，∴D(1，4λ－1，2－3λ)，∴＝(－4，4λ＋5，－3λ)，∵·＝0，∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，解得λ＝－，∴＝，∴||＝＝5.]4．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD的长．[解]　∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或120°.又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，∴||＝＝＝＝＝，∴||＝2或.∴BD的长为2或.1．已知O(0，0，0)，A(1，2，1)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是________．(1，1，2) 　[由题意，设＝λ，则＝(λ，λ，2λ)，即Q(λ，λ，2λ)，则＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2，当λ＝1时取最小值，此时Q点坐标为(1，1，2)．]2.如图所示，四棱锥S­ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC，若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．[解]　(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则AC⊥BD.连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．底面边长为a，则高SO＝a，于是S，D，B，C，＝，＝，则·＝0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.(2)棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且＝，＝，＝.设＝t，则＝＋＝＋t＝，而·＝0⇒t＝.即当SE∶EC＝2∶1时，BE⊥DS.而BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC.