高中数学高考课后限时集训52 椭圆及其性质 作业

这是一份高中数学高考课后限时集训52 椭圆及其性质 作业，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
椭圆及其性质建议用时：45分钟一、选择题1．椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D．4A　[由题意知F1(－，0)，把x＝－，代入方程＋y2＝1得＋y2＝1，解得y＝±，则|PF1|＝，所以|PF2|＝4－|PF1|＝4－＝，故选A.]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　)A.    B.  C.   D.C　[不妨设a>0，因为椭圆C的一个焦点为(2,0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.]3．椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于(　　)A．4   B．8  C．4或8   D．12C　[由题意知，即2＜m＜10.又2c＝4，即c＝2，则(10－m)－(m－2)＝4或(m－2)－(10－m)＝4，解得m＝4或m＝8，故选C.]4．(2019·呼和浩特模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点．若∠A1PA2的最大值可以取到120°，则椭圆C的离心率为(　　)A.      B.  C.   D.D　[由题意知，当点P在椭圆的短轴端点处时，∠A1PA2有最大值，则tan 60°＝，即＝.所以e2＝1－＝1－＝，即e＝，故选D.]5．△ABC的周长是8，B(－1,0)，C(1,0)，则顶点A的轨迹方程是(　　)A.＋＝1(x≠±3)   B.＋＝1(x≠0)C.＋＝1(y≠0)   D.＋＝1(y≠0)A　[由题意知|BC|＝2，|AB|＋|AC|＝6，∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆且2a＝6，c＝1，则b2＝8.所以顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±3)．]二、填空题6．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a＝2b，则椭圆的标准方程为        ．＋＝1　[由题意知解得因此所求椭圆方程为＋＝1.]7．已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是        ．　[由题意知解得又|F1F2|＝2，则|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2，即PF2⊥F1F2.∴S△PF1F2＝×|F1F2|×|PF2|＝×2×1＝.]8．椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是        ．(－3,0)或(3,0)　[记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.则m＝|PF1|·|PF2|≤2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.∴点P的坐标为(－3,0)或(3,0)．]三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．[解]　设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)．∵F1A⊥F2A，∴·＝0，而＝(－4＋c,3)，＝(－4－c,3)，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5,0)，F2(5,0)．∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝＋＝4，∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.10．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．[解]　椭圆方程可化为＋＝1，m＞0.∵m－＝＞0，∴m＞，∴a2＝m，b2＝，c＝＝.由e＝，得＝，∴m＝1.∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，∴a＝1，b＝，c＝.∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.1．(2019·哈尔滨模拟)设椭圆C：＋y2＝1的左焦点为F，直线l：y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|＋|BF|的值是(　　)A．2　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．4C　[设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2.(图略)因为|OA|＝|OB|，|OF|＝|OF2|，所以四边形AFBF2是平行四边形，所以|BF|＝|AF2|，所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF2|＝2a＝4.故选C.]2．(2019·衡水模拟)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为(　　)A.   B.  C.   D.B　[由题意知|F1F2|＝2c，根据正弦定理可得2R＝＝＝c，即R＝.由余弦定理得4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4a2－3|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝(a2－c2)．∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin＝.又S△F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)r＝(a＋c)r，∴＝(a＋c)r，∴r＝.由R＝4r得＝，∴＝，故选B.]3．(2019·揭阳模拟)已知椭圆的焦点在y轴上，中心在坐标原点，其在x轴上的两个顶点与两个焦点恰好是边长为2的正方形的顶点，则该椭圆的标准方程为        ．＋＝1　[设椭圆上、下两个焦点分别为F1，F2，右顶点为A.由题意知|AF1|＝|AF2|＝a＝2，|F1F2|＝2，c＝b＝则所求椭圆方程为＋＝1.]4．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.[解]　(1)根据c＝及题设知M，＝，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.　　①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则即把点N(x1，y1)代入C的方程，得＋＝1.②将①及c＝代入②得＋＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.1．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为(　　)A.　　　　　　 B.C.   D.A　[由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则整理得解得＜e＜.]2．已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.[解]　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意得解得c＝.所以b2＝a2－c2＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)．由题设知m≠±2，且n≠0.直线AM的斜率kAM＝，故直线DE的斜率kDE＝－.所以直线DE的方程为y＝－(x－m)．直线BN的方程为y＝(x－2)．联立解得点E的纵坐标yE＝－.由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－n.又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，S△BDN＝|BD|·|n|，所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.