第02讲 常用逻辑用语-高考数学必考考点二轮复习讲义（新高考专用）

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1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
2．全称命题和特称命题(1)全称量词和存在量词
(2)全称命题和特称命题
【典型题型讲解】
考点一：充分条件与必要条件的判断
【典例例题】
例1．（2022·广东·金山中学高三期末）“”是“点在圆外”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】将化为标准方程，得
当点在圆外时，有，解得
∴“”是“点”在圆外”的必要不充分条件.
故选：B.
【方法技巧与总结】
1.要明确题中题意，找出条件和结论.
2.充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.
【变式训练】
1.已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
由线面垂直的性质知，若，，则成立，即充分性成立；
根据线面垂直的定义，必须垂直平面内的两条相交直线，才有，即必要性不成立.
故选：A.
2.已知且，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】
函数为增函数,则 ,此时,故函数在上单调递增;当在上单调递增时, ,,所以,故为增函数.
故选:C
3.在等比数列中，已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
∵公比，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴且，
∴且，
即“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
考点二：充分条件与必要条件的应用
【典例例题】
例1.“”是“在上恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
在上恒成立，
即在恒成立，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增，
所以，
所以
因为，而，
所以“”是“在上恒成立”的充分不必要条件.
故选：A
【方法技巧与总结】
1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.
2.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错.
【变式训练】
1.若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由题意可得 ，而
则 ，故，
故选：D
2.（多选）“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
由题意，关于的不等式对恒成立，
则，解得，
对于选项A中，“”是“关于的不等式对恒成立”的充要条件；
对于选项B 中，“”是“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件；
对于选项C中，“”是“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件；
对于选项D中，“”是“关于的不等式对恒成立”必要不充分条件.
故选：BD.
3.已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为________．
【答案】
【详解】
函数的对称轴为，开口向上，
所以函数在上递增，
当时，；当时，.
所以.
，
由于“”是“”的充分条件，
所以，，
解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：
考点三：全称量词命题与存在量词命题的真假
【典例例题】
例1.已知，下列四个命题：①，，②，，③，，④，．
其中是真命题的有（ ）
A．①③B．②④C．①②D．③④
【答案】C
【详解】
对于①，由得：，，，则，①正确；
对于②，，，即，则，②正确；
对于③，函数在上为减函数，而，则，即，，③错误；
对于④，当时，，，即，④错误，
所以所给命题中，真命题的是①②．
故选：C
【方法技巧与总结】
1.全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论.
2.全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可.
【变式训练】
1．已知命题：存在，使得，命题：对任意的，都有，命题：存在，使得，其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】
当时，显然成立；当时，可知不成立；由辅助角得，所以所以的最大值为5，所以为假.
故选：B
2．已知函数和的定义域均为，记的最大值为，的最大值为，则使得“”成立的充要条件为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，
【答案】C
【详解】
解：A选项表述的是的最小值大于的最大值；
B选项表述的是的最小值大于的最小值；
C选项表述的是的最大值大于的最大值成立的充要条件；
D选项是成立的充分不必要条件．
故选：C
3．下列命题中，真命题为（ ）
A．存在，使得
B．直线，平面，平面，则平面
C．最小值为4
D．，是成立的充分不必要条件
【答案】D
【详解】
对于A中，由指数函数的性质，可得恒成立，
所以不存在，使得，所以A为假命题；
对于B中，如图所示，在正方体中，
设平面为平面，平面为平面，直线为直线，直线为直线，
此时满足，且平面，平面，但平面与平面不垂直，
所以C为假命题.
对于C中，由，
当且仅当时，即时，等号成立，
显然不成立，所以C为假命题
对于D中，由，可得，即充分性成立；
反之：例如：，此时满足，但不成立，即必要性不成立，
所以是的充分不必要条件，所以D为真命题.
故选：D
4.（多选题）下列命题中的真命题是（ ）
A．∀x∈R，2x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lgx