第05讲 函数的单调性、奇偶性、周期性讲义-高考数学必考考点二轮复习讲义（新高考专用）

第五讲：函数的单调性、奇偶性、周期性【考点梳理】1．增函数与减函数一般地，设函数的定义域为：(1)如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数．(2)如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数．2．函数的最大值与最小值一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：(1)对于任意的，都有；存在，使得，那么，我们称是函数的最大值．(2)对于任意的，都有；存在，使得，那么我们称是函数的最小值．3．函数单调性的两个等价结论设则(1)(或在上单调递增。(2)(或⇔f(x)在上单调递减．4．函数的奇偶性5.奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内(ⅰ)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数.(ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.(ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是奇函数.(3)若是奇函数且处有意义，则.6．函数的周期性(1)周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．(3)常见结论：若，则；若，则；若，则.【典型题型讲解】考点一：函数的单调性【典例例题】例1.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（       ）A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增【方法技巧与总结】函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．【变式训练】1.已知函数，若，则实数的取值范围是___.2.已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数，都有，则不等式的解集为（       ）．A． B． C． D．3．（2022·广东惠州·一模）已知，则当时，与的大小关系是（    ）A． B． C． D．不确定4.“”是“函数是在上的单调函数”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知函数若，，，且仅有1个零点，则实数m的取值范围为（       ）A． B． C． D．6．若函数是上的单调函数，则的取值范围（       ）A． B． C． D．考点二：判断函数的奇偶性【典例例题】例1.已知函数，则（       ）A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减【方法技巧与总结】函数的奇偶性的判断：图像法、解析式法；常见函数的奇偶性。【变式训练】1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（       ）A． B． C． D．2．（2022·广东·二模）存在函数使得对于都有，则函数可能为（       ）A． B． C． D．3．（2022·广东湛江·一模）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（    ）A． B．C． D．4．（2022·广东广东·一模）下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（    ）A． B．C． D．考点三：函数的奇偶性的应用【典例例题】例1．（2022·广东中山·高三期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．函数是偶函数 B．函数是奇函数C．函数在上为增函数 D．函数的值域为例2．（2022·广东汕尾·高三期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来研究函数图象的特征，函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【方法技巧与总结】函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.【变式训练】1.（2021·广东汕头·高三期末）已知偶函数f(x)在区间上单调递减，若f(-1)=0，则满足f(m)>0的实数m的取值范围是______．2．（2022·广东·金山中学高三期末）已知函数，则________．3．（2022·广东深圳·一模）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则_________．4．（2022·广东韶关·一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则5．（2022·广东·一模）已知函数，，则图象如图的函数可能是(    )A． B． C． D．6．（2022·广东湛江·一模）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（    ）A． B．C． D．7．（2022·广东广州·一模）若函数的大致图象如图，则的解析式可能是(    ) B． C． D．8．（2022·广东广东·一模）函数的部分图象大致为（    ）A． B．C． D．考点四：函数的对称性和周期性【典例例题】例1．设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（       ）A．2022 B．4043 C．4044 D．8086【方法技巧与总结】（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.【变式训练】1．（2022·广东珠海·高三期末）已知是定义域在上的奇函数，且满足．当时，，则（    ）A． B． C．4 D．2．已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（       ）A．是偶函数 B．的图象关于直线对称C．是奇函数 D．的图象关于点对称3．已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（       ）A．2021 B． C．2022 D．4．已知定义在R上的偶函数满足，且当时，，则下面结论正确的是（       ）A． B．C． D．5．已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且 则（       ）A． B． C． D．6．已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（       ）A． B． C． D．7．已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则（       ）A． B． C． D．6【巩固练习】一、单选题1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（       ）A． B． C． D．2．已知函数，不等式的解集为（       ）A． B．C． D．3．已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于(       )A．0 B．10 C． D．4．已知函数的图象关于原点对称，且，当时，，则（       ）A．-11 B．-8 C． D．二、多选题5．下面关于函数的性质，说法正确的是（       ）A．的定义域为 B．的值域为C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心6．已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（       ）A．的一个周期为6 B．在区间上单调递减C．的图像关于直线对称 D．在区间上共有100个零点7．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，且对任意的，且，都有，若，则下列结论正确的是（       ）A．是偶函数 B．C．的图象关于点对称 D．8．已知函数，，，则（       ）A．的图象关于对称 B．的图象没有对称中心C．对任意的，的最大值与最小值之和为D．若，则实数的取值范围是三、填空题9．已知函数是偶函数，则__________．10．已知函数在上的最小值为1，则的值为________.11．（2022·广东佛山·三模）已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值范围为________．12．若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域上的任意x，恒有；（2）对于定义域上的任意，当，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”，下列①，②，③，④四个函数中，能被称为“理想函数”的有___________.（填出函数序号）奇偶性定义图象特点偶函数如果函数的定义域内任意一个都有，那么函数是偶函数关于对称奇函数如果函数的定义域内任意一个都有，那么函数是奇函数关于原点对称