高中数学高考解密02 三角恒等变换与解三角形（分层训练）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练（解析版）

这是一份高中数学高考解密02 三角恒等变换与解三角形（分层训练）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练（解析版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．若sin α＝eq \f(1,3)，则cs 2α等于( )
A.eq \f(8,9) B.eq \f(7,9)
C．－eq \f(7,9) D．－eq \f(8,9)
【答案】B
【解析】∵sin α＝eq \f(1,3)，∴cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(7,9).
2．tan 70°＋tan 50°－eq \r(3)tan 70°tan 50°的值为( )
A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3),3)
C．－eq \f(\r(3),3) D．－eq \r(3)
【答案】D
【解析】因为tan 120°＝eq \f(tan 70°＋tan 50°,1－tan 70°tan 50°)＝－eq \r(3)，即tan 70°＋tan 50°－eq \r(3)tan 70°tan 50°＝－eq \r(3).
3.已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β等于( )
A.eq \f(5π,12) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
【答案】C
【解析】 由α，β为锐角，则－eq \f(π,2)0，即C为锐角，得△ABC为锐角三角形，B不正确.
a为最小边，cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(25x2＋36x2－16x2,2·5x·6x)＝eq \f(3,4)，则cs 2A＝2cs2A－1＝2×eq \f(9,16)－1＝eq \f(1,8)＝cs C.由2A，C∈(0，π)，可得2A＝C，C正确.
若c＝6，则2R＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(6,\r(1－\f(1,64)))＝eq \f(16\r(7),7)(R为△ABC的外接圆的半径)，则△ABC的外接圆的半径为eq \f(8\r(7),7)，D正确.故选ACD.
二、填空题
6.(2020·江苏卷)已知sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(2,3)，则sin 2α的值是________.
【答案】 eq \f(1,3)
【解析】 因为sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(2,3)，所以eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2α)),2)＝eq \f(2,3)，即eq \f(1＋sin 2α,2)＝eq \f(2,3)，所以sin 2α＝eq \f(1,3).
7.(2019·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积为________.
【答案】 6eq \r(3)
【解析】 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B.
又∵b＝6，a＝2c，B＝eq \f(π,3)，
∴36＝4c2＋c2－2×2c2×eq \f(1,2)，
∴c＝2eq \r(3)，c＝－2eq \r(3)(舍去)，∴a＝4eq \r(3)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝6eq \r(3).
8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcs C与ccs B的等差中项为acs B，则B＝________；若a＋c＝5，△ABC的面积S＝eq \r(3)，则b＝________.
【答案】 eq \f(π,3) eq \r(13)
【解析】 因为bcs C与ccs B的等差中项为acs B，所以2acs B＝bcs B＋ccs B.由正弦定理可得
2sin Acs B＝sin Bcs C＋sin Ccs B，即2sin Acs B＝sin(B＋C)＝sin(π－A)，即2sin Acs B＝sin A.
因为A∈(0，π)，所以sin A>0，所以cs B＝eq \f(1,2).因为B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,3).因为△ABC的面积S＝eq \r(3)，
所以eq \f(1,2)acsin B＝eq \r(3)，所以ac＝4.由余弦定理，得b＝eq \r(a2＋c2－2accs B)＝eq \r(（a＋c）2－3ac)＝eq \r(25－12)＝eq \r(13).
三、解答题
9.在①cs A＝eq \f(3,5)，cs C＝eq \f(2\r(5),5)；②csin C＝sin A＋bsin B，B＝60°；③c＝2，cs A＝eq \f(1,8)三个条件中任选一个填至横线上，并加以解答.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，________，求△ABC的面积S.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【解析】选①.
∵cs A＝eq \f(3,5)，cs C＝eq \f(2\r(5),5)，∴sin A＝eq \f(4,5)，sin C＝eq \f(\r(5),5)，
∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋cs Asin C
＝eq \f(4,5)×eq \f(2\r(5),5)＋eq \f(3,5)×eq \f(\r(5),5)＝eq \f(11\r(5),25).
由正弦定理，得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(3×\f(11\r(5),25),\f(4,5))＝eq \f(33\r(5),20)，
∴S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×3×eq \f(33\r(5),20)×eq \f(\r(5),5)＝eq \f(99,40).
选②.
∵csin C＝sin A＋bsin B，
∴结合正弦定理，得c2＝a＋b2.
∵a＝3，∴b2＝c2－3.
又∵B＝60°，∴b2＝c2＋9－2×3×c×eq \f(1,2)＝c2－3，
∴c＝4，∴S＝eq \f(1,2)acsin B＝3eq \r(3).
选③.
∵c＝2，cs A＝eq \f(1,8)，
∴结合余弦定理，得eq \f(1,8)＝eq \f(b2＋22－32,2×b×2)，即b2－eq \f(b,2)－5＝0，
解得b＝eq \f(5,2)或b＝－2(舍去).
又∵sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(3\r(7),8)，
∴S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×eq \f(5,2)×2×eq \f(3\r(7),8)＝eq \f(15\r(7),16).
10.(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值.
【解析】(1)由正弦定理和已知条件得
BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcs A.②
由①②得cs A＝－eq \f(1,2).
因为060°>∠BAD，
所以AD>BD＝eq \r(7)，所以AD＝3eq \r(3)，
所以cs ∠ADB＝eq \f(DA2＋DB2－AB2,2DA·DB)＝eq \f(27＋7－16,2×3\r(3)×\r(7))＝eq \f(\r(21),7).故选B.
12.(2020·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，c＝eq \r(2)，B＝45°.
(1)求sin C的值；
(2)在边BC上取一点D，使得cs∠ADC＝－eq \f(4,5)，求tan∠DAC的值.
【解析】(1)在△ABC中，因为a＝3，c＝eq \r(2)，B＝45°，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，
得b2＝9＋2－2×3×eq \r(2)cs 45°＝5，所以b＝eq \r(5).
在△ABC中，由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
得eq \f(\r(5),sin 45°)＝eq \f(\r(2),sin C)，所以sin C＝eq \f(\r(5),5).
(2)在△ADC中，因为cs∠ADC＝－eq \f(4,5)，所以∠ADC为钝角.
而∠ADC＋C＋∠CAD＝180°，所以C为锐角.
故cs C＝eq \r(1－sin2C)＝eq \f(2\r(5),5)，则tan C＝eq \f(sin C,cs C)＝eq \f(1,2).
因为cs∠ADC＝－eq \f(4,5)，所以sin∠ADC＝eq \r(1－cs2∠ADC)＝eq \f(3,5)，
所以tan∠ADC＝eq \f(sin∠ADC,cs∠ADC)＝－eq \f(3,4).
从而tan∠DAC＝tan(180°－∠ADC－C)
＝－tan(∠ADC＋C)＝－eq \f(tan∠ADC＋tan C,1－tan∠ADC×tan C)＝－eq \f(－\f(3,4)＋\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))×\f(1,2))＝eq \f(2,11).
13．已知向量a＝(eq \r(2)sin 2x，eq \r(2)cs 2x)，b＝(cs θ，sin θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|θ|