中考数学二轮培优专题精讲 第7讲 双直角三角形模型 (含详解)

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第7讲 双直角三角形模型双直角三角形模型是在解三角形中最常见的模型，模型的特点为：有一条直角边为公共边，另外一条直角边共线。但在不同的背景下会有不同的变化，需要从中看出模型的本质．模型讲解一般类型：将两个直角三角形组合，一条直角边为公共边，其中∠a和∠β的三角函数值为已知． 【例题讲解】例题1、如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2(单位：km)．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．(上述两小题的结果都保留根号)． 解：(1)如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD＝xkm．在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°－45°＝45°，∴BD＝PD＝xkm．在RtA△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°－60°＝30°，∴AD＝PD＝xkm．∵BD＋AD＝AB，∴x＋x＝2，x＝－1，∴点P到海岸线l的距离为(－1)km；(2)如图，过点B作BF⊥AC于点F．在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝lkm．在△ABC中，∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°．在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠C＝45°，∴BC＝BF＝km，∴点C与点B之间的距离为km． 例题2、如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km．一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km．(1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？(2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．(参考数据：≈1.4，≈1.7)解：(1)延长AB交海岸线于点D，过点B作BE⊥海岸线于点E，过点A作AF⊥l于F，如图所示．∵∠BEC＝∠AFC＝90°，∠EBC＝60°，∠CAF＝30°，∴∠ECB＝30°，∠ACF＝60°，∴∠BCA＝90°，∵BC＝12，AB＝36×＝24，∴AB＝2BC，∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，∵∠ABC＝∠BDC＋∠BCD＝60°，∴∠BDC＝∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝12，∴时间t＝＝小时＝20分钟，∴轮船照此速度与航向航行，上午11：00到达海岸线．(2)∵BD＝BC，BE⊥CD，∴DE＝EC，在RT△BEC中，BC＝12，∠BCE＝30°，∴BE＝6，EC＝6≈10.2，∴CD＝20.4，∵20＜20.4＜21.5，∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头． 【巩固练习】1、如图，从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为150米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物A、B间的距离为　　　　． 2、如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为　　　　．(保留整数) 3、如图是一山谷的横断面示意图，宽AA′为15m，用曲尺(两直尺相交成直角)从山谷两侧测量出OA＝1m，OB＝3m，O′A′＝0.5m，O′B′＝3m(点A，O，O′,A′在同一条水平线上)，则该山谷的深h为　　　　m． 4、如图所示，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．(结果精确到0.1km)  5、如图，在直角坐标系中，直线y＝－x＋6与坐标轴分别交于A、B两点，AB中点为点P，则点P到直线y＝－x的最短距离PQ的长度为　　　　．  6、如图，在△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转．(1)当AC平分∠A′CB′时，BD的长为　　　　；(2)连接AA′，当△AA′C为等边三角形时，BD的长为　　　　．  7、如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°．(1)若AD＝2，求AB；(2)若AB＋CD＝2＋2，求AB．   8、如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干倾斜角∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4m．(1)求∠CAE的度数；(2)求这棵大树折断前的高度．(结果精确到个位，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.4)　  9、2014年3月8日凌晨，马来西亚航空公司吉隆坡飞北京的MH370航班在起飞一个多小时后在雷达上消失，至今没有被发现踪迹．飞机上有239名乘客，其中154名是中国同胞，中国政府启动了全面应急和搜救机制，派出多艘中国舰船在相关海域进行搜救．如图，某日在南印度洋海域有两艘自西向东航行的搜救船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一疑似物C，求此时疑似物C与搜救船A、B的距离各是多少？(结果保留根号)　　  10、如图，一艘船以每小时24海里的速度向北偏西75°方向航行，在点A处测得灯塔P在船的西北方向．航行40分钟后到达点B处，这时灯塔P恰好在船的正北方向．已知距离灯塔9海里以外的海区为安全航行区域．问：这艘船能否按原方向继续向前航行？为什么？  11、学习了勾股定理的逆定理，我们知道：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形．类似地，我们定义：对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x°、y°和z°，若满足x2＋y2＝z2，则称这个三角形为勾股三角形．(1)根据“勾股三角形”的定义，请你直接判断命题：“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题？(2)如图，△ABC内接于⊙0，AB＝，AC＝1＋，BC＝2，⊙O的直径BE交AC于点D，①求证：△ABC是勾股三角形；②求DE的长．　　
参考答案1.解：∵∠ECA＝30°，∠FCB＝60°，又∵CD⊥AB，CD⊥EF，∴∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，在Rt△ADC中，tan ∠ACD＝∴4D＝tan 60°DC＝×90＝90，在Rt△BCD中，tan ∠BCD＝， BD＝tan30°DC＝×90＝30，∴AB＝AD＋BD＝90＋30＝120．答：建筑物A、B间距离为120米．  2.解：设楼高AB为x．在Rt△ADB中有：DB＝ ＝x，在Rt△ACB中有：BC＝＝x．而CD＝BD－BC＝(－1)x＝60，解得x＝82．  3.解：设A、A′到谷底的水平距离为AC＝m，A′C＝n，∴m＋n＝15，根据题意知，OB∥CD∥O′B′．∵OA＝1，OB＝3，0′A′＝0.5，O′B′＝3．∴＝＝3，＝＝6，∴(＋)h＝15，解得h＝30(m)．  4.解：如图，过点C作CD⊥l于点D，设CD＝xkm，在△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝CD＝xkm，在△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝xkm，∵AD－BD＝AB，∴x－x＝2，∴X＝＋1＝2.7(k m)．答：景点C到观光大道的距离约为2.7km． 5.解：可知点P为(4，3),作PH⊥y轴交直线y＝－x于点H，则H(4，－4)，PH＝7,∴最短距离PQ＝＝＝ 6.解：过D作DH⊥BC于H，(1)可知∠BCD＝45°，设CH＝DH＝t，则BH＝t，∴BC＝t＋t＝4，解得t＝，∴BD＝t＝.(2)可知∠BCD＝∠A′CA＝60°，设CH＝DH＝t，则BH＝t，∴BC＝t＋t＝4，解得t＝2(－1)，∴BD＝×2(－1)＝. 7.解：(1)过D点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，∵∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°，∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC＝360°﹣45°﹣45°﹣105°＝165°，∴∠BDF＝∠ADC﹣∠ADB＝165°﹣105°＝60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，∵AD＝2，∴AE＝DE＝＝，∵∠ABC＝105°，∴∠ABD＝105°﹣(180°﹣45°﹣60°)＝30°，∴BE＝＝＝，∴AB＝＋；(2)设DE＝x，则AE＝x，BE＝＝＝x，∴BD＝2x，∵∠BDF＝60°，∴∠DBF＝30°，∴DF＝BD＝x，∴BF＝x，∴CF＝x，∵AB＝AE＋BE＝x＋x，CD＝DF＋CF＝x＋x，AB＋CD＝2＋2，∴AB＝＋1 8.解：(1)延长BA交EF于点G．在Rt△AGE中，∠E＝23°，∴∠GAE＝67°，又∵∠BAC＝38°，∴∠CAE＝180°﹣67°﹣38°＝75°．(2)过点A作AE⊥CD，垂足为H．在△ADH中，∠ADC＝60°，AD＝8，cos∠ADC＝，∴DH＝4，sin∠ADC＝，∴AH＝4．在Rt△ACH中，∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴CH＝AH＝4，AC＝4．∴AB＝AC＋CD＝4＋4＋4≈20 (米)．答：这棵大树折断前高约20米． 9.解：过点B作BD⊥AC于D．由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°＋15°＝105°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝30°．在Rt△ABD中，AD＝BD＝AB•sin∠BAD＝20×＝10 (海里)，在Rt△BCD中，BC＝＝＝20 (海里)，DC＝＝＝10 (海里)，∴AD＋CD＝10＋10＝10(＋)(海里)．答：疑似物C与搜救船A的距离是10(＋)海里，与搜救船B的距离是20海里． 10.解：这艘船能按原方向继续向前航行．理由如下：如图，过点B作BH⊥AP于H，过点P作PM⊥AB，交AB延长线于M．由题意，知AB＝24×＝16(海里)，∠BAP＝75°﹣45°＝30°．∵PB∥AC，∴∠BPH＝∠CAP＝45°．在Rt△ABH中，BH＝AB＝8，AH＝BH＝8．在Rt△PBH中，PH＝BH＝8，∴PA＝PH＋AH＝8＋8，∴PM＝PA•sin∠PAM＝PA＝4＋4＞9，∴能按原方向继续向前航行． 11.解：(1)∵对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x°、y°和z°，若满足x2＋y2＝z2，则称这个三角形为勾股三角形，∴无法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命题；(2)由题意可得：，解得：x＋y＝102；(3)①证明：过B作BH⊥AC于H，设AH＝x，Rt△ABH中，BH＝，Rt△CBH中，()2＋(1＋﹣x)2＝4，解得：x＝， 所以，AH＝BH＝，HC＝1，∴∠A＝∠ABH＝45°，∴tan∠HBC＝＝＝，∴∠HBC＝30°，∴∠BCH＝60°，∠B＝75°，∴452＋602＝752，∴△ABC是勾股三角形；②连接CE，∵∠A＝45°，∴∠BEC＝∠BAC＝45°，又∵BE是直径，∴∠BCE＝90°，∴BC＝CE＝2，过D作DK⊥AB于K，设KD＝h，∵∠EBC＝45°，∠ABC＝75°，∴∠ABE＝30°，∴BK＝h，AK＝h，∴h＋h＝，解得：h＝，∴BD＝2KD＝2h＝3﹣，∴BE﹣BD＝2﹣(3﹣)＝﹣．