高中数学高考高考数学一轮复习总教案：5 6　函数y＝Asin(ωx＋ )的图象和性质

这是一份高中数学高考高考数学一轮复习总教案：5 6　函数y＝Asin(ωx＋ )的图象和性质，共4页。教案主要包含了变式训练1，变式训练2，变式训练3等内容，欢迎下载使用。
典例精析
题型一 “五点法”作函数图象
【例1】设函数f(x)＝sin ωx＋eq \r(3)cs ωx(ω＞0)的周期为π.
(1)求它的振幅、初相；
(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到.
【解析】(1)f(x)＝sin ωx＋eq \r(3)cs ωx＝2(eq \f(1,2)sin ωx＋eq \f(\r(3),2)cs ωx)＝2sin(ωx＋eq \f(π,3))，
又因为T＝π，所以eq \f(2π,ω)＝π，即ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,3))，
所以函数f(x)＝sin ωx＋eq \r(3)cs ωx(ω＞0)的振幅为2，初相为eq \f(π,3).
(2)列出下表，并描点画出图象如图所示.
(3)把y＝sin x图象上的所有点向左平移eq \f(π,3)个单位，得到y＝sin(x＋eq \f(π,3))的图象，再把
y＝sin(x＋eq \f(π,3))的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，得到y＝sin(2x＋eq \f(π,3))的图象，然后把y＝sin(2x＋eq \f(π,3))的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin(2x＋eq \f(π,3))的图象.
【点拨】用“五点法”作图，先将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)形式，再令ωx＋φ＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π求出相应的x值及相应的y值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.
【变式训练1】函数
的图象如图所示，则( )
A.k＝eq \f(1,2)，ω＝eq \f(1,2)，φ＝eq \f(π,6)
B.k＝eq \f(1,2)，ω＝eq \f(1,2)，φ＝eq \f(π,3)
C.k＝eq \f(1,2)，ω＝2，φ＝eq \f(π,6)
D.k＝－2，ω＝eq \f(1,2)，φ＝eq \f(π,3)
【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k＝eq \f(1,2).另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数ω由三角函数的周期决定，由图象可知函数的周期为T＝4×(eq \f(8π,3)－eq \f(5π,3))＝4π，故ω＝eq \f(1,2).将点(eq \f(5π,3)，0)代入解析式y＝2sin(eq \f(1,2)x＋φ)，得eq \f(1,2)×eq \f(5π,3)＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－eq \f(5π,6)，k∈Z.结合各选项可知，选项A正确.
题型二 三角函数的单调性与值域
【例2】已知函数f(x)＝sin2ωx＋eq \r(3)sin ωxsin(ωx＋eq \f(π,2))＋2cs2ωx，x∈R(ω＞0)在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为eq \f(π,6).
(1)求ω的值；
(2)若将函数f(x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间.
【解析】(1)f(x)＝eq \f(\r(3),2)sin 2ωx＋eq \f(1,2)cs 2ωx＋eq \f(3,2)＝sin(2ωx＋eq \f(π,6))＋eq \f(3,2).
令2ωx＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，将x＝eq \f(π,6)代入可得ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,6))＋eq \f(3,2)，经过题设的变化得到函数g(x)＝sin(eq \f(1,2)x－eq \f(π,6))＋eq \f(3,2)，
当x＝4kπ＋eq \f(4,3)π，k∈Z时，函数g(x)取得最大值eq \f(5,2).
令2kπ＋eq \f(π,2)≤eq \f(1,2)x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(3,2)π，
即[4kπ＋eq \f(4π,3)，4kπ＋eq \f(10,3)π](k∈Z)为函数的单调递减区间.
【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.
【变式训练2】若将函数y＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移eq \f(π,4)个单位后得到的图象关于点(eq \f(π,3)，0)对称，则|φ|的最小值是( )
A.eq \f(π,4)B.eq \f(π,3)C.eq \f(π,2)D.eq \f(3π,4)[来源数理化网]
【解析】将函数y＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移eq \f(π,4)个单位后得到y＝2sin[3(x－eq \f(π,4))＋φ]＝2sin(3x－eq \f(3π,4)＋φ)的图象.
因为该函数的图象关于点(eq \f(π,3)，0)对称，所以2sin(3×eq \f(π,3)－eq \f(3π,4)＋φ)＝2sin(eq \f(π,4)＋φ)＝0，
故有eq \f(π,4)＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－eq \f(π,4)(k∈Z).
当k＝0时，|φ|取得最小值eq \f(π,4)，故选A.
题型三 三角函数的综合应用
【例3】已知函数y＝f(x)＝Asin2(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜eq \f(π,2))的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2).
(1)求φ的值；
(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008).
【解析】(1)y＝Asin2(ωx＋φ)＝eq \f(A,2)－eq \f(A,2)cs(2ωx＋2φ)，
因为y＝f(x)的最大值为2，又A＞0，
所以eq \f(A,2)＋eq \f(A,2)＝2，所以A＝2，
又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0，
所以eq \f(1,2)×eq \f(2π,2ω)＝2，所以ω＝eq \f(π,4).
所以f(x)＝eq \f(2,2)－eq \f(2,2)cs(eq \f(π,2)x＋2φ)＝1－cs(eq \f(π,2)x＋2φ)，
因为y＝f(x)过点(1,2)，所以cs(eq \f(π,2)＋2φ)＝－1.
所以eq \f(π,2)＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，
解得φ＝kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)，
又因为0＜φ＜eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,4).
(2)方法一：因为φ＝eq \f(π,4)，
所以y＝1－cs(eq \f(π,2)x＋eq \f(π,2))＝1＋sin eq \f(π,2)x，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋1＋0＋1＝4，
又因为y＝f(x)的周期为4,2 008＝4×502.
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.
方法二：因为f(x)＝2sin2(eq \f(π,4)x＋φ)，
所以f(1)＋f(3)＝2sin2(eq \f(π,4)＋φ)＋2sin2(eq \f(3π,4)＋φ)＝2，
f(2)＋f(4)＝2sin2(eq \f(π,2)＋φ)＋2sin2(π＋φ)＝2，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，
又因为y＝f(x)的周期为4,2 008＝4×502.
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.
【点拨】函数y＝Acs(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ，可得x＝eq \f(kπ－φ,ω)，两相邻对称轴间的距离为周期的一半，解决该类问题可画出相应的三角函数的图象，借助数形结合的思想解决.
【变式训练3】已知函数f(x)＝Acs2ωx＋2(A＞0，ω＞0)的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，则f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(20)＝ .
【解析】f(x)＝Acs2ωx＋2＝A×eq \f(1＋cs 2ωx,2)＋2＝eq \f(Acs 2ωx,2)＋eq \f(A,2)＋2，则由题意知A＋2＝6，eq \f(2π,2ω)＝8，所以A＝4，ω＝eq \f(π,8)，所以f(x)＝2cs eq \f(π,4)x＋4，所以f(2)＝4，f(4)＝2，f(6)＝4，f(8)＝6，f(10)＝4，…观察周期性规律可知f(2)＋f(4)＋…＋f(20)＝2×(4＋2＋4＋6)＋4＋2＝38.
总结提高
1.用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，关键是五个点的选取，一般令ωx＋φ＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整ωx＋φ的取值，以便列表时能使x在给定的区间内取值.
2.在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母x本身而言的，无论沿x轴平移还是伸缩，变化的总是x.
3.在解决y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质时，应将ωx＋φ视为一个整体x后再与基本函数
y＝sin x的性质对应求解.