高中数学高考高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：6 4 基本不等式 Word版含答案

这是一份高中数学高考高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：6 4 基本不等式 Word版含答案，共11页。
(1)了解基本不等式的证明过程．
(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
2．不等式的综合应用
会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数范围问题．
知识点 基本不等式
1．基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立．
(3)其中eq \f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)称为正数a，b的几何平均数．
2．利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)．
那么当x＝y时，x＋y有最小值2eq \r(P).(简记：“积定和最小”)
(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)．
那么当x＝y时，xy有最大值eq \f(S2,4).(简记：“和定积最大”)
易误提醒 (1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．(2)多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．
必记结论 活用几个重要的不等式：
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．
(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R)．
(5)eq \r(\f(a2＋b2,2))≥eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)≥eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．
[自测练习]
1．下列不等式中正确的是( )
A．若a∈R，则a2＋9>6a
B．若a，b∈R，则eq \f(a＋b,\r(ab))≥2
C．若a，b>0，则2lgeq \f(a＋b,2)≥lg a＋lg b
D．若x∈R，则x2＋eq \f(1,x2＋1)>1
解析：∵a>0，b>0，∴eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab).
∴2lgeq \f(a＋b,2)≥2lg eq \r(ab)＝lg (ab)＝lg a＋lgB.
答案：C
2．已知f(x)＝x＋eq \f(1,x)－2(x0，b>0，a＋b＝1，
求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))≥9.
(2)设a，b均为正实数，求证：eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)＋ab≥2eq \r(2).
[证明] (1)法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋eq \f(1,a)＝1＋eq \f(a＋b,a)＝2＋eq \f(b,a).同理，1＋eq \f(1,b)＝2＋eq \f(a,b).
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(a,b)))＝5＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥5＋4＝9.当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(a,b)，即a＝b＝eq \f(1,2)时取“＝”．
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))≥9，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立．
法二：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))＝1＋eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)＝1＋eq \f(a＋b,ab)＋eq \f(1,ab)＝1＋eq \f(2,ab)，∵a，b为正数，a＋b＝1，
∴ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(1,4)，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时取“＝”．
于是eq \f(1,ab)≥4，eq \f(2,ab)≥8，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时取“＝”．
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))≥1＋8＝9，
当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立．
(2)由于a，b均为正实数，
所以eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)≥2eq \r(\f(1,a2)·\f(1,b2))＝eq \f(2,ab)，
当且仅当eq \f(1,a2)＝eq \f(1,b2)，即a＝b时等号成立，
又因为eq \f(2,ab)＋ab≥2eq \r(\f(2,ab)·ab)＝2eq \r(2)，
当且仅当eq \f(2,ab)＝ab时等号成立，
所以eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)＋ab≥eq \f(2,ab)＋ab≥2eq \r(2)，
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)＝\f(1,b2)，,\f(2,ab)＝ab，))即a＝b＝eq \r(4,2)时取等号．
利用基本不等式证明不等式的方法技巧
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．

考点二 利用基本不等式求最值|
(1)已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,3y)的最小值是( )
A．2 B．2eq \r(3)
C．2eq \r(2) D．4
(2)(2015·高考重庆卷)设a，b>0，a＋b＝5，则eq \r(a＋1)＋eq \r(b＋3)的最大值为________．
[解析] (1)由lg 2x＋lg 8y＝lg 2得，2x×23y＝2x＋3y＝2，即x＋3y＝1，eq \f(1,x)＋eq \f(1,3y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,3y)))×(x＋3y)＝2＋eq \f(3y,x)＋eq \f(x,3y)≥2＋2eq \r(\f(3y,x)×\f(x,3y))＝4，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3y,x)＝\f(x,3y)，,x＋3y＝1，,x>0，y>0，))即最小值为4.故选D.
(2)(eq \r(a＋1)＋eq \r(b＋3))2＝a＋b＋4＋2eq \r(a＋1)·eq \r(b＋3)≤9＋2·eq \f(\r(a＋1)2＋\r(b＋3)2,2)＝9＋a＋b＋4＝18，所以eq \r(a＋1)＋eq \r(b＋3)≤3eq \r(2)，当且仅当a＋1＝b＋3且a＋b＝5，即a＝eq \f(7,2)，b＝eq \f(3,2)时等号成立．所以eq \r(a＋1)＋eq \r(b＋3)的最大值为3eq \r(2).
[答案] (1)D (2)3eq \r(2)
条件最值的求解通常有两种方法
一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．

1．(2016·长春调研)若两个正实数x，y满足eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪[4，＋∞)
B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
C．(－2,4)
D．(－4,2)
解析：x＋2y＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝2＋eq \f(4y,x)＋eq \f(x,y)＋2≥8，当且仅当eq \f(4y,x)＝eq \f(x,y)，即4y2＝x2时等号成立．由x＋2y>m2＋2m恒成立，可知m2＋2m1，b>1.若ax＝by＝2，a2＋b＝4，则eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由ax＝by＝2得x＝lga 2＝eq \f(1,lg2 a)，y＝lgb 2＝eq \f(1,lg2 b)，eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝2lg2 a＋lg2 b＝lg2 (a2·b)≤lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋b,2)))2＝2(当且仅当a2＝b＝2时取等号)．
答案：B
5．若直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)过曲线y＝1＋sin πx(02，∴20，n>0)上，则m＋n的最小值为________．
解析：由题意可知函数y＝lga x＋1的图象恒过定点A(1,1)，∵点A在直线eq \f(x,m)＋eq \f(y,n)－4＝0上，∴eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝4，∵m>0，n>0，∴m＋n＝eq \f(1,4)(m＋n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(n,m)＋\f(m,n)))≥eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋2\r(\f(n,m)·\f(m,n))))＝1，当且仅当m＝n＝eq \f(1,2)时等号成立，∴m＋n的最小值为1.
答案：1
9．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,z)－1))>8.
证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，所以eq \f(1,x)－1＝eq \f(1－x,x)＝eq \f(y＋z,x)>eq \f(2\r(yz),x)，①
eq \f(1,y)－1＝eq \f(1－y,y)＝eq \f(x＋z,y)>eq \f(2\r(xz),y)，②
eq \f(1,z)－1＝eq \f(1－z,z)＝eq \f(x＋y,z)>eq \f(2\r(xy),z)，③
又x，y，z为正数，由①×②×③，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,z)－1))>8.
10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．
(1)若设休闲区的长和宽的比eq \f(|A1B1|,|B1C1|)＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
解：(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x＝4 000，得a＝eq \f(20\r(10),\r(x)).
则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4 000＋(8x＋20)·eq \f(20\r(10),\r(x))＋160
＝80eq \r(10)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(x)＋\f(5,\r(x))))＋4 160(x>1)．
(2)80eq \r(10)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(x)＋\f(5,\r(x))))＋4 160≥80eq \r(10)×2eq \r(2\r(x)×\f(5,\r(x)))＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2eq \r(x)＝eq \f(5,\r(x))，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.
所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．
B组 高考题型专练
1．(2015·高考湖南卷)若实数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，则ab的最小值为( )
A.eq \r(2) B．2
C．2eq \r(2) D．4
解析：由已知得eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(b＋2a,ab)＝eq \r(ab)，且a>0，b>0，
∴abeq \r(ab)＝b＋2a≥2eq \r(2)eq \r(ab)，∴ab≥2eq \r(2).
答案：C
2．(2014·高考重庆卷)若lg4(3a＋4b)＝lg2eq \r(ab)，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2eq \r(3) B．7＋2eq \r(3)
C．6＋4eq \r(3) D．7＋4eq \r(3)
解析：由lg4(3a＋4b)＝lg2eq \r(ab)，得eq \f(1,2)lg2(3a＋4b)＝eq \f(1,2)lg2(ab)，所以3a＋4b＝ab，即eq \f(3,b)＋eq \f(4,a)＝1.
所以a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,b)＋\f(4,a)))＝eq \f(3a,b)＋eq \f(4b,a)＋7≥4eq \r(3)＋7，当且仅当eq \f(3a,b)＝eq \f(4b,a)，即a＝2eq \r(3)＋4，b＝3＋2eq \r(3)时取等号，故选D.
答案：D
3．(2015·高考陕西卷)设f(x)＝ln x,00，所以x⊗y＋(2y)⊗x＝eq \f(x2－y2,xy)＋eq \f(4y2－x2,2xy)＝eq \f(x2＋2y2,2xy)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)＋\f(2y,x)))≥eq \r(2)，当且仅当eq \f(x,y)＝eq \f(2y,x)，即x＝eq \r(2)y时取等号．故x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为eq \r(2).
答案：eq \r(2)