高中数学高考第一编 第5讲

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方法1 直接法
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．
例1 (1)(2019·开封市高三第三次模拟)空气质量指数AQI是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差．某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数AQI，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图：
给出下列四个结论：
①该地区在该月2日空气质量最好；②该地区在该月24日空气质量最差；③该地区从该月7日到12日AQI持续增大；④该地区的空气质量指数AQI与这段日期成负相关．
其中所有正确结论的编号为( )
A．①②B．①②③
C．①②④D．③④
答案 B
解析 对于①，由于2日的空气质量指数AQI最低，所以该地区在该月2日空气质量最好，所以正确；对于②，由于24日的空气质量指数AQI最高，所以该地区在该月24日空气质量最差，所以正确；对于③，从折线图上看，该地区从该月7日到12日AQI持续增大，所以正确；对于④，从折线图上看，该地区的空气质量指数AQI与这段日期成正相关，所以错误．故选B.
(2)(2019·洛阳市高三第三次统一考试)若m，n，p∈(0，1)，且lg3m＝lg5n＝lg p，则( )
答案 A
解析 设lg3m＝lg5n＝lg p＝a(a0，b>0)的一个焦点F作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为A，O为坐标原点，若|OA|＝eq \f(1,2)|OF|，则此双曲线的离心率为( )
A.eq \r(2)B．eq \r(3)
C．2D．eq \r(5)
答案 C
解析 在Rt△OAF中，tan∠AOF＝eq \f(b,a)，所以cs∠AOF＝eq \f(a,\r(a2＋b2))＝eq \f(a,c)，且|OF|＝c，所以|OA|＝a.根据题意有a＝eq \f(1,2)c，即离心率eq \f(c,a)＝2.
2．(2019·西安市高三第三次质检)将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与CD所成的角为( )
A．90°B．60°
C．45°D．30°
答案 B
解析 如图，取AC，BD，AD的中点，分别为O，M，N，则ON∥eq \f(1,2)CD，MN∥eq \f(1,2)AB，所以∠ONM或其补角即为所求的角．因为平面ABC垂直于平面ACD，BO⊥AC，所以BO⊥平面ACD，所以BO⊥OD.设正方形边长为2，OB＝OD＝eq \r(2)，所以BD＝2，则OM＝eq \f(1,2)BD＝1.所以ON＝MN＝OM＝1.所以△OMN是等边三角形，故∠ONM＝60°.所以直线AB与CD所成的角为60°.故选B.
方法2 排除法
排除法也叫筛选法或淘汰法，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个选项进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得唯一正确的结论．
例2 (1)(2019·南宁模拟)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg24x－1，x≥2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋1，x＜2，))若f(x0)＞3，则x0的取值范围为( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(0,2)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D．(－1,3)
答案 C
解析 取x0＝1，则f(1)＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2)＜3，故x0≠1，排除B，D；取x0＝3，则f(3)＝lg28＝3，故x0≠3，排除A.故选C.
(2)已知函数f(x)＝eq \f(ax＋b,x＋c2)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>0，b>0，c0
C．a0，cb.c－a＝eq \f(6,e)－2ln 3＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,e)－ln 3))＝2·eq \f(3－eln 3,e)，设f(x)＝x－eln x，
∴f′(x)＝1－eq \f(e,x)，令f′(x)＝0，得x＝e，故f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(e)＝0，又x→0和x→＋∞时，f(x)→＋∞，作出f(x)的大致图象如图所示．故当x>e时，f(x)>0，∵3>e，∴f(3)>0，即3－eln 3>0，
∴c－a＞0，即c＞a.故c＞a＞b.故选C.
2．过点(eq \r(2)，0)引直线l与曲线y＝eq \r(1－x2)相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )
A.eq \f(\r(3),3)B．－eq \f(\r(3),3)
C．±eq \f(\r(3),3)D．－eq \r(3)
答案 B
解析 根据三角形的面积公式和圆的弦的性质求解．由于y＝eq \r(1－x2)，即x2＋y2＝1(y≥0)，直线l与x2＋y2＝1(y≥0)交于A，B两点，如图所示，S△AOB＝eq \f(1,2)sin∠AOB≤eq \f(1,2)，且当∠AOB＝90°时，S△AOB取得最大值，此时AB＝eq \r(2)，点O到直线l的距离为eq \f(\r(2),2)，则∠OCB＝30°，所以直线l的倾斜角为150°，则斜率为－eq \f(\r(3),3).
方法5 估算法
由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程．因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．
例5 (1)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝eq \f(3,2)，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为( )
A.eq \f(9,2)B．5
C．6D．eq \f(15,2)
答案 D
解析 连接BE，CE，问题转化为求四棱锥E－ABCD与三棱锥E－BCF的体积之和，设四棱锥E－ABCD的高为h，则V四棱锥E－ABCD＝eq \f(1,3)S正方形ABCD·h＝eq \f(1,3)×9×2＝6，所以只有D符合题意．
(2)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，|φ|≤\f(π,2)))，其图象与直线y＝－1相邻两个交点的距离为π.若f(x)＞1对于任意的x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,3)))恒成立，则φ的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,3)))D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))
答案 A
解析 因为函数f(x)的最小值为－2＋1＝－1，由函数f(x)的图象与直线y＝－1相邻两个交点的距离为π可得，该函数的最小正周期为T＝π，所以eq \f(2π,ω)＝π，解得ω＝2.
故f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.由f(x)＞1，可得sin(2x＋φ)＞0.
又x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,3)))，所以2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(2π,3))).
对于B，D，若取φ＝eq \f(π,2)，则2x＋eq \f(π,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(7π,6)))，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(7π,6)))上，sin(2x＋φ)＜0，不符合题意；对于C，若取φ＝eq \f(π,12)，则2x＋eq \f(π,12)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(3π,4)))，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，0))上，sin(2x＋φ)＜0，不符合题意．选A.
估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．可从题设条件估计大致范围、大致区间等，也可找端点、极限位置，从而达到求解的目的．
1．(2019·全国卷Ⅰ) 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是eq \f(\r(5)－1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)≈0.618，称为黄金分割比例))，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是eq \f(\r(5)－1,2).若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是( )
A．165 cmB．175 cm
C．185 cmD．190 cm
答案 B
解析 设某人身高为m cm，脖子下端至肚脐的长度为n cm，则由腿长为105 cm，可得eq \f(m－105,105)>eq \f(\r(5)－1,2)≈0.618，解得m>169.890.
由头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得eq \f(26,n)>eq \f(\r(5)－1,2)≈0.618，解得n