2022-2023学年苏教版（2019）选择性必修二第六章 空间向量与立体几何 单元测试卷（含答案）

苏教版（2019）选择性必修二第六章 空间向量与立体几何 单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知平面向量,,且,则(   )

A. B. C. D.

2、若向量，且与的夹角的余弦值为，则x等于(   )

A.3 B. C. D.3或

3、在直棱柱中，，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为(   )

A. B. C. D.

4、已知正方体中，点Q，P分别为正方形和正方形的中心，M为棱AB的中点，则异面直线PQ与所成角的余弦值为(   )

A. B. C. D.

5、若空间向量，，则(   )

A. B. C. D.

6、已知点，，则直线PQ的一个方向向量可以为(   )

A. B. C. D.

7、如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，点N在BC上，且，，则(   )

A. B. C. D.

8、已知平面内有一点,平面的一个法向量为,则下列四个点中在平面内的是(   )

A. B. C. D.

9、若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于(   )

A. B. C. D.

10、已知，，，则下列向量是平面ABC法向量的是(   )

A.  B.

C. D.

二、填空题

11、如图，平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为___________.

12、在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，，则AB与PC的夹角的余弦值为______.

13、已知空间向量，，，若，，共面，则______.

14、已知点，，则直线AB的一个方向向量为____，线段AB的长度为____.

15、若，，则与同方向的单位向量坐标是________.

16、若,,则与同方向的单位向量是_____________.

三、解答题

17、如图所示，在三棱锥中，已知F，G分别是边AC，DC中点，，，若H为CE上一点，且满足平面ABD，连接FH并延长交BC于点K.

(1)求的值；

(2)求二面角的余弦值.

18、如图，四棱柱的侧棱底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，的中点.

(1)证明：B，E，D，F四点共面；

(2)若，，求直线AE与平面所成角的正弦值.

19、如图，已知E是平面外一点，，，.

(1)四点C，D，E，F在同一平面内吗？说明理由；

(2)若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

20、如图，三棱柱中，侧面是菱形，，点在平面上的投影为棱的中点.

（1）求证：四边形为矩形；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

参考答案

1、答案：D

解析:因为向量,,且,

所以,解得,

所以,

故选:D.

2、答案：A

解析：，

，，

，

则，即，则方程整理得，解得或3.舍去，.故选：A.

3、答案：C

解析：以C为坐标原点，射线CB的方向为x轴的正方向，射线CD的方向为y轴的正方向，射线的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系.如图示：

由题可知，，，.

于是，，.

设为平面的法向量，

则，即.

令，可得.

设直线与平面所成的角为，

则.

故选：C

4、答案：A

解析：

5、答案：A

解析：因为，，所以.

6、答案：C

解析：，则直线PQ的方向向量为.

7、答案：A

解析：连接MB，如图所示：

.

故选：A

8、答案：B

解析：对于选项A中的点，，，排除A.同理可排除C，D.对于选项B中的点，，所以,故选B.

9、答案：D

解析：异面直线，的方向向量分别是，

设异面直线与的夹角为，则异面直线与的夹角的余弦值为：

10、答案：B

解析：，

设平面ABC法向量为，

则，

仅有B中向量满足，

11、答案：

解析：由于平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，故AF，AB，AD两两互相垂直，以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，所以，，，

设平面AGC的一个法向量为，则

令，得，

因此GB与平面AGC所成角的正弦值为.

12、答案：

解析：，又，，.

故答案为：

13、答案：3

解析：因为，，共面，所以存在唯一实数x，y，使，

即，

则，解得，，.故答案为：3

14、答案：（答案不唯一）；5

解析：由题意知，直线AB的一个方向向量为；线段AB的长度为.

故答案为：（答案不唯一）；5.

15、答案：

解析：，其模的大小为，

故其单位向量为，

故答案为.

16、答案：

解析：与同方向的单位向量是.

17、答案：(1).

(2)余弦值为.

解析：(1)连接DE.

因为平面CDE，平面ABD，平面平面，

所以.

因为G为CD的中点，所以H为CE的中点.

在中，F，H分别为AC，CE的中点，

所以K为BC的中点，

所以，

又因为，所以，

即.

(2)因为F为AC的中点，，

所以和为直角三角形.

又因为，

所以在中，.

因为，

所以平面ABC.

以点B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴，

过点B垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系.

设，则，，

所以，

设平面FGH的法向量为，

则即

令，则，

，

设平面DGH的法向量为，

则

即

令，则，,

则，

易知二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

18、答案：(1)证明过程见解析.

(2)正弦值为.

解析：(1)证明：连接BE，，取的中点为G，

连接AG，GE，

因为E，G分别为，的中点，

由已知可得四边形ABEG为平行四边形，

故.

因为F是的中点，所以，

所以，

所以B，F，，E四点共面.

(2)连接AC、BD交于点O，取上底面的中心为，

以O为原点，OA、OB、分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，

，，，

设平面的一个法向量为，

则，取.

设直线AE与平面所成角为，故，

所以直线AE与平面所成角的正弦值为.

19、答案：(1)在同一平面内.

(2)余弦值为.

解析：(1)分别设线段，的中点分别为，分别连接，，.

．

，，

，，

四边形和四边形都是平行四边形.

，，，，

，，即四边形是平行四边形，

，.

所以，四点在同一平面内.

(2)，，与是平面内两相交直线，

平面.

分别以直线,为轴和轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直线坐标系.

设，由于，，所以，，，，．

，，，.

设和分别是平面和平面的一个法向量，则，，，，

不妨取，得，，，

.

所以，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

20、答案：(1)见解析

(2)

解析：(1)因为平面，所以，
又因为，，，
所以，因此，
所以，因此平面，
所以，从而，
即四边形为矩形.

(2)如图，以为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
所以.
平面的法向量，
设平面的法向量为，
由，

由，令，
即，所以，
所以二面角的余弦值是.