高中数学苏教版（2022春 ）选择性必修第二册 第6章 章末复习课（64张PPT）

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章末复习课第6章　空间向量与立体几何一、空间向量的线性运算与数量积二、利用空间向量证明位置关系三、利用空间向量求空间角内容索引知识网络随堂演练四、利用空间向量计算距离知识网络一、空间向量的线性运算与数量积1.向量的线性运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.2.利用数量积可以解决有关垂直、夹角、长度问题，解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义；二是利用坐标运算.(1)a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0；3.空间的运算，应注重提高逻辑推理、数学运算核心素养.1(2)如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点.①求证：MN⊥AB，MN⊥CD；由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.②求异面直线AN与CM所成角的余弦值.反思感悟　空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件(1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的.A.(3,0,0) B.(0,3,0)C.(0,0,3) D.(0,0，－3)√(2) 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，二、利用空间向量证明位置关系1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量、利用向量的共线和垂直进行证明.2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.例2　如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点.(1)求证：BM∥平面ADEF；证明　∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD.则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2).∵M为EC的中点，∴M(0,2,1)，又BM⊄平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.(2)求证：BC⊥平面BDE.又DE∩DB＝D，∴BC⊥平面BDE.延伸探究　本例条件不变，如何证明平面BCE⊥平面BDE.证明　由本例(2)知BC⊥平面BDE，又BC⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面BDE.反思感悟　利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要转化为其坐标运算，再借助于坐标的有关性质求解(证).跟踪训练2　如图，在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.证明　方法一　如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，又PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.方法二　同方法一，建立空间直角坐标系，则E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0).设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，即n＝(0,1，－1).即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，所以平面EFG⊥平面PBC.三、利用空间向量求空间角1.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|.(3)设n1，n2分别是两个平面α，β的法向量，则二面角的平面角与这两个平面的法向量的夹角相等或互补.2.通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.例3　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝ ，点E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.试用向量方法解决下列问题：(1)求异面直线AF和BE所成的角；∴直线AF和BE所成的角为90°.(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值.反思感悟　(1)在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标.(2)求直线和平面所成的角、二面角类问题有两种思路：转化为两条直线所成的角、利用平面的法向量.跟踪训练3　如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点.则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0).所以m为平面PAC的一个法向量.取x＝a，可得n＝(a，－a，－2)，依题意得，则a＝1(负值舍去).设直线PA与平面EAC所成的角为θ，四、利用空间向量计算距离1.空间距离的计算2.通过利用向量计算空间距离，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.例4　在三棱锥B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离.解　如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，反思感悟　利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可.跟踪训练4　(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为√解析　方法一　连接BD，AC交于点O(图略)，方法二　如图建立空间直角坐标系，易得C(a，a,0)，D1(0，a,2a)，则点D1到直线AC的距离为(2)在三棱锥P－ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝45°，则点C到平面PAB的距离是√解析　方法一　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(4,0,0)，设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，方法二　∵PC⊥底面ABC，∴PC⊥AB，又AB⊥AC，且PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PA，∵AC＝AB＝4，令点C到平面PAB的距离为d，∵VP－ABC＝VC－PAB，1.知识清单：(1)空间向量的概念及运算.(2)利用空间向量证明位置关系.(3)利用空间向量求空间角.(4)利用空间向量求距离.2.方法归纳：坐标法、转化化归.3.常见误区：(1)数量积运算时注意向量的夹角.(2)注意直线所成的角与向量夹角的区别与联系.课堂小结随堂演练1.已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，则使a⊥b成立的x与使a∥b成立的x分别为1234√12342.已知向量n＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A(－1,2,1)在α内，则点P(1,2,2)到平面α的距离为√1234√1234解析　因为点D在平面Oyz内，所以点D的横坐标为0，又BC＝4，原点O是BC的中点，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，纵坐标y＝－(2－4·sin 30°·cos 60°)＝－1，12344.已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_____.解析　如图，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，设平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z).1234取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3).1234本课结束