第12讲第1课时《一次函数的应用》（教案）2022—2023学年人教版数学八年级下册

第十二讲  一次函数的应用 [教学内容]：八年级第十二讲“一次函数的应用” .（第一课时） [教学目标]:知识技能：1、使学生能够将实际问题转化为一次函数的问题；2、学生能够根据实际意义准确地列出解析式并画出函数图象；3、能够利用一次函数解决实际生活中的方案选择问题.数学思考：通过利用一次函数解决实际问题的过程，使学生数学抽象思维能力得到发展，体验到数学与实际生活的联系.问题解决： 通过利用一次函数解决实际问题，使学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，进一步发展学生解决问题的能力.情感态度：学生在小组合作学习中体验学习的快乐，合作交流的好氛围，让学生更有机会体验自己与他人的想法，从而掌握知识，发展技能，获得愉快的心里体验，通过小组合作学习，培养学生的合作精神.[教学重点和难点]:重点：利用一次函数解决实际生活中的方案选择问题难点：利用一次函数解决实际生活中的方案选择问题[教学准备]:动画多媒体语音课件      第一课时教学过程：教学路径 方案说明一 、课前谈话：欢迎大家走进佳—数学思维训练课堂，在这里大家感受到学习的快乐，数学源于生活，服务于生活，在现实生活中有太多的事情需要我们用数学知识：用函数的思想来解决，大家讨论一下，来举一些例子.生讨论，列举.师：这里也有一个实例，我们一起来看一下：小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：    请根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球后，量桶中水面升高多少？（2）你知道放入小球后量桶中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式是什么？（3）量桶中至少放入几个小球后有水溢出？小亮：（1）放入三个球后，量桶中的水面上升6 cm，由此可求放入一个小球后，量桶中水面升高的高度为（36-30）÷3=2 cm；小萍：（2）设一次函数的关系式为y=kx+b，把(0,30)，(3,36)坐标代入得解得即y=2x+30．小颖：（3）由2x+30>49，得x>9.5，即至少放入10个小球后有水溢出．二、自主探究，合作交流师：用一次函数解决实际问题的一般方法是什么呢？回顾：用一次函数解决实际生活问题：方法：从给定的信息中抽象出一次函数关系，再利用一次函数的图象和性质求解，要求出自变量的取值范围.常见类型：（1）求一次函数的解析式；（2）利用一次函数的图象与性质解决某些问题，如最大（小）值问题等. 师：下面我们来看几道例题： 初步性问题探究类型之一   利用一个一次函数的方案选择例1：某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，购进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元.甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6 710元且不超过6 810元购进这两种商品共100件.(1)求这两种商品的进价；(2)该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？ 师：如何求两种商品的进价？生：根据等量关系甲的进价=乙的进价×；甲的进价×3+乙的进价×1=200元列方程(组)求解.学生独立列方程(组)求解，然后师指定学生说说自己的解题思路.师：该商店有几种进货方案使得利润最大？生：该商店购进a件甲商品，列出利润关于a的函数关系，根据函数的增减性求最大值.师：（1）读懂题目信息，理清题中不等量关系，列出不等式组是解题的关键.（2）利用一次函数的增减性求最值要注意自变量的取值范围． 解析：（1）相等关系：甲的进价=乙的进价×；甲的进价×3+乙的进价×1=200元；（下一步）（2）相等关系：甲的数量+乙的数量=100件；不等关系：6710≤甲的数量×甲的进价+乙的数量×乙的进价≤6810． 答案：解：(1)设甲商品的进价为x元，则乙商品的进价为2x元，根据题意，列方程得：3x+2x=200，解得x=40，即甲商品的进价为40元，则乙商品的进价为80元. (2)设该商店购进a件甲商品，则购进(100-a)件乙商品.根据题意，得6710≤40a+80(100-a)≤6810，解得29≤a≤32.∵a为正整数,∴a=30或31或32，即有三种进货方案：购进30件甲商品，70件乙商品；购进31件甲商品，69件乙商品；购进32件甲商品，68件乙商品.(下一步)设销售两种商品的利润为W，则W=(80-40)a+(130-80)(100-a)=-10a+5 000.∵W是a的一次函数，且W随a的增大而减小，∴当a=30时，W有最大值，为4700，即购进30件甲商品，70件乙商品时可获得最大利润，最大利润是4700元.   例2：某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如下表所示：    （此题分两题出示）（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 师：第一问的等量关系你找到了吗？生：A型台灯的数量+B型台灯的数量=100台；A型台灯的进货款+B型台灯的进货款=3500元.师：如何确定进货方案使得利润最大？生：列出利润关于A型台灯数量的函数关系式，然后根据B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍求自变量的取值范围，在取值范围内求利润的最大值.师：利用一次函数进行方案选择问题时，一般先根据题意建立一次函数关系式，再根据题目要求及实际意义列不等式（组），求出自变量的取值范围，然后根据一次函数的性质及自变量的最大（或最小）整数解来求函数值的最值，从而确定方案. 解析：（1）等量关系：A型台灯的数量+B型台灯的数量=100台；A型台灯的进货款+B型台灯的进货款=3500元.(下一步）（2）表示出利润关于A型台灯数量(B型台灯数量)的函数关系式，(下一步)根据“B型台灯数≤A型台灯数×3”确定出自变量的取值范围，然后根据一次函数的增减性确定利润最大值. 答案：（1）    解：设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为（100-x）盏.根据题意,得30x+50(100-x)=3500,解得x=75，∴100-x=25.答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏. （2）    设商场应购进A型台灯x盏，商场销售完这批台灯可获利y元，则y=(45－30)x+(70－50)(100－x)=－5x+2000.由题意得100－x≤3x，解得x≥25.∵k=－5＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=25时，y取得最大值－5×25+2000=1875（元）.答：商场购进A型台灯25盏，B型台灯75盏，销售完这批台灯获利最多，此时利润为1875元. 类似性问题1. 某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套．经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元．（1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳的23，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？ 1、学生独立解答完成本题，最后找学生来说说自己的解答过程.2、老师评价. 课件出示解析：（1）等量关系：一套B型课桌凳的价钱－一套A型课桌凳的价钱=40元，购买4套A型课桌凳的价钱+购买5套B型课桌凳的价钱=1820元.(下一步)（2）等量关系：购买 A型课桌凳的数量+购买B型课桌凳的数量=200元.     不等关系：购买A型课桌凳的价钱+购买B型课桌凳的价钱≤40880元；                购买 A型课桌凳的数量≤购买B型课桌凳数量的.  2.建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种植A，B两种树木，需要购买这两种树苗1000棵．A，B两种树苗的相关信息如下表：     设购买A种树苗x棵，绿化村道的总费用为y元．解答下列问题：（1）写出y（元）与x（棵）之间的函数关系式；（2）若这批树苗种植后成活了925棵，则绿化村道的总费用需要多少元？（3）若绿化村道的总费用不超过31000元，则最多可购买B种树苗多少棵？  三、总结反思，拓展升华这节课我们主要学习了不等式组解法的相关知识，同学们自己思考掌握的怎么样？还有哪些地方需要努力.       教师引导学生寻找信息；尝试解答。（假如解决有困难，可以在第一课时讲解完成后在来叫学生独立解答）                                学生相互交流；     尝试解答