高中数学高考第03讲 函数及其表示 （讲）解析版

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第03讲  函数及其表示【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析  【课标解读】1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.【备考策略】1．理解函数的概念、函数的定义域、值域、函数的表示方法；2．以分段函数为背景考查函数的相关性质问题.【核心知识】知识点1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f (x)，x∈A．知识点2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f (x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．知识点3．函数的表示方法(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法．(2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法．(3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法．知识点4．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等．知识点5．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．知识点6．复合函数一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．【高频考点】高频考点一   求函数的定义域例1.（2020·北京卷）函数的定义域是____________．【答案】(0，＋∞)　【解析】要使函数有意义，需满足即x>0，所以函数f (x)的定义域为(0，＋∞)．【方法技巧】1.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．2．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．【举一反三】（2021·安徽省巢湖市四中模拟）函数y＝＋log2(tan x－1)的定义域为________；【答案】.【解析】(1)要使函数y＝＋log2(tan x－1)有意义，则1－x2≥0，tan x－1>0，且x≠kπ＋(k∈Z).∴－1≤x≤1且＋kπ<x<kπ＋，k∈Z，可得<x≤1.则函数的定义域为.【变式探究】（2019·江苏卷）函数的定义域是      .【答案】 [-1,7 ]【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知得,即，解得，故函数的定义域为[-1,7 ].高频考点二   求函数的解析式例2.（2021·福建省厦门市一中模拟）已知f (x)是一次函数，且f (f (x))＝4x＋3，则f (x)的解析式为________．【答案】f (x)＝－2x－3或f (x)＝2x＋1　【解析】设f (x)＝ax＋b(a≠0)，则f (f (x))＝f (ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.所以解得或故f (x)＝－2x－3或f (x)＝2x＋1.【方法技巧】函数解析式的常见求法(1)配凑法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理或配凑成只含h(x)的式子，然后用x将h(x)代换．(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．(3)换元法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．(4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f(或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．【举一反三】（2021·江西省庐山中学模拟）已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________.【答案】＋【解析】在f(x)＝2f·－1中，将x换成，则换成x，得f＝2f(x)·－1，由解得f(x)＝＋.【变式探究】（2021·河北衡水模拟）已知f ＝＋，则f (x)＝(　　)A．(x＋1)2 B．(x－1)2C．x2－x＋1 D．x2＋x＋1【答案】C　【解析】f ＝＋＝－＋1.令＝t，得f (t)＝t2－t＋1，即f (x)＝x2－x＋1.高频考点三    分段函数求值 例3.（2021·山东省曲阜一中模拟）设f (x)＝则f (f (1))的值为(　　)A．2  B．3  C．4  D．5【答案】B　【解析】因为f (x)＝ 所以f (1)＝22－1＝3，所以f (f (1))＝f (3)＝log28＝3. 故选B．【方法技巧】(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。【变式探究】（2021·河南省安阳市二中模拟）已知函数f(x)＝则f等于(　　)A．4  B. C．－4  D．－【答案】B【解析】f＝log5＝－2，f＝f(－2)＝.高频考点四　已知函数值求参数的值(或取值范围)例4．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　)A．(－∞，－1]       B．(0，＋∞)     C．(－1,0)       D．(－∞，0)【答案】D【解析】将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知解得x<0，所以满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(－∞，0)．故选D.【方法技巧】解分段函数与方程或不等式问题的策略求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围．【举一反三】（2021·湖北大学附属中学模拟）设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为________________．【答案】(－∞，－2]∪[0，10]【解析】因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解．当x＜1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x＜1.当x≥1时，f(x)≥1⇒4－≥1，即≤3，所以1≤x≤10.综上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0，10]．【变式探究】（2021·湖南省岳阳市一中模拟）已知函数f (x)＝若f (a)－f (－a)>0，则实数a的取值范围为________．【答案】(－2,0)∪(2，＋∞)【解析】当a＝0时，显然不成立．当a>0时，不等式f (a)－f (－a)>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2. 当a<0时，不等式f (a)－f (－a)>0可化为－a2－2a>0，解得－2<a<0. 综上所述，a的取值范围为(－2,0)∪(2，＋∞)． 高频考点五    函数的新定义问题例5.（2021·广东省深圳市观澜中学模拟）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：①f(x)＝sin 2x； ②g(x)＝x3；③h(x)＝； ④φ(x)＝ln x.其中是一阶整点函数的是(　　)A．①②③④   B．①③④C．①④   D．④【答案】C【解析】对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D；对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A；对于函数h(x)＝，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.故选C.【感悟提升】本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．【变式探究】（2021·四川省绵阳中学模拟）若定义在R上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x，使得f(－x)＝f(x)，则称f(x)为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是(　　)A．f(x)＝cos x   B．f(x)＝sin xC．f(x)＝x2－2x   D．f(x)＝x3－2x【答案】D【解析】A中函数为偶函数，则在定义域内均满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；B中，当x＝kπ(k∈Z)时，满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；C中，由f(x)＝f(－x)，得x2－2x＝x2＋2x，解得x＝0，不符合题意；D中，由f(x)＝f(－x)，得x3－2x＝－x3＋2x，解得x＝0或x＝±，满足题意，故选D.