2023年高考数学冲刺模拟卷第7套（理科，解析卷）

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2023年高考数学冲刺模拟卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分第Ⅰ卷（选择题  共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（    ）A.       B.       C.       D.【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，，，∴，故选B.【考点】集合的运算.2．已知复数，其中为虚数单位，则 （    ）A.          B.         C.          D.2【答案】C.【解析】试题分析：由题意得，，∴，故选C.【考点】复数的运算.3．在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理边化角，结合和差公式与同角三角函数的基本关系化简计算题意中的等式，得出，即可得出结果.【详解】已知，由正弦定理，得，所以，有，由，得，，，，，由，解得，又，所以.故选：A. 4．已知直线是曲线的切线，则实数（    ）A.        B.         C.        D.【答案】C.【解析】试题分析：设切点为，∴切线方程是，∴，故选C.【考点】导数的运用.5． 函数的图象可能是（    ） 【答案】A.【解析】试题分析：由题意得，函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除B，C，又∵，，排除D，故选A.【考点】函数的性质及其图象.6．若整数，满足不等式组，则的最大值是（    ）A.-10           B.-6          C.0            D.3【答案】D.【解析】试题分析：如下图所示，若，，画出不等式组所表示的可行域，作直线：，则可知当，时，取到最大值，取离其最近的整点，从而可知当，时，，故选D.【考点】线性规划.7． 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（    ）注：90后是指1990年及以后出生的，80后是指1980年－1989年之间出生的，80前是指1979年及以前出生的.A. 互联网行业从业人员中90后从事技术和运营岗位的人数超过总人数的35%B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的90后人数一定比80前少D. 互联网行业中从事技术岗位的90后人数一定比80后多【答案】B【解析】【分析】结合饼状图与条形图逐项分析即可.【详解】对于选项A，因为互联网行业从业人员中“90后”占比为56%，其中从事技术和运营岗位的人数的占比分别为39.6%和17%.所以“90后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的，故选项A错误；对于选项B，因为互联网行业从业人员中“90后”占比为56%，其中从事技术岗位的人数的占比为39.6%，所以“90后”从事技术岗位的人数占总人数的，并且“80前”和“80后”中必然也有从事技术岗位的人，则总占比一定超过20%，故选项B正确；对于选项C，“90后”从事运营岗位的人数占总人数的比为，大于“80前”的总人数占比3%，故选项C不正确；对于选项D，“90后”从事技术岗位的人数占总人数的，而“80后”的总人数占比为41%，条件中未给出80后从事技术岗位的占比，故不能判断，所以选项D错误.故选：B. 8．设，，是非零向量.若，则（    ）A.    B.    C.    D.【答案】D.【解析】试题分析：由题意得：若，则；若，则由可知，，故也成立，故选D.【考点】平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.9． 中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术注》中记载：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘．把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．现有一体积为的“刍童”，如图所示，四棱台ABCD－EFGH的上、下底面均为正方形，且平面ABCD∥平面EFGH，EF＝2AB＝4，FB⊥平面ABCD，∠EAF＝90°，直线AE与平面EFGH所成的角为45°，M，N分别为棱AE，CG的中点，则直线AF与MN所成角的正切值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用异面直线的定义通过平移找到异面直线所成的角即可求解.【详解】连接，，，∵是棱台，且平面∥平面，∴∥，又∵M，N分别为棱AE，CG的中点，∴∥,∴∠FAC为直线AF与MN所成角,由题意可知点A在平面EFGH上的射影R在EF上，则，解得，即,∴,∴,∵FB⊥平面ABCD，∴FB⊥AB，FB⊥BC，∴,即,∴△为等边三角形，∴∠FAC＝60°，即，故选：D．
  10．已知点和圆，直线交圆于，两点，且，则的面积的最大值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用均值不等式分析，当，此时，的斜率分别为1和，且点，在轴左侧，此时面积最大，求出最大值.【详解】由题知，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以此时，的斜率分别为1和，根据圆的对称性分析，点，在轴左侧，此时为等腰直角三角形，面积最大，设直线与轴的交点为，此时，.故选：C11. 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，，过，两点分别作抛物线的切线，交于点.下列说法正确的是（    ）A. B. ΔAOB（为坐标原点）的面积为C. D. 若，是抛物线上一动点，则的最小值为【答案】A【解析】【分析】对于A：先根据弦长公式求出得出方程，再分别求出斜率相乘即可验证；对于B：代入面积公式转化为韦达定理即可求解；对于C：通分代入韦达定理所得的式子即可求解；对于D：根据抛物线的定义即可求解.【详解】∵过点且倾斜角，∴直线的方程为，与抛物线方程联立，得，设，，则，，∴，，∵，∴，则，不妨设，当时，，∴过点的切线的斜率为，同理可得过点的切线的斜率为，∴，∴，故A项正确；，故B不正确；，故错误；设点到准线的距离为，若，则，故错误.故选：A12. 已知，则不正确的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】令，根据导数可得到在上单调递增，通过对数运算和的单调性即可判断每个选项【详解】设，，则在上恒成立，所以在上单调递增，因为，所以，即，即，因为单调递增，所以，A项正确；因为，所以，即，所以，因为单调递增，所以，B项错误；因为，所以，D项正确；因为单调递增，，所以，所以，C项正确，故选：B   二、填空题13. 的展开式中的常数项为______【答案】【解析】【分析】根据二项式定理以及组合数的运算性质好可求解.【详解】解：，所以展开式中的常数项为.故答案为：-8114.已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，设，的前项和分别为， ，若，，则_________，________.【答案】，.【解析】试题分析：由题意得，，∴，，，此时，故填：，.【考点】等差数列与等比数列的通项公式及其前项和.15．如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是 ____________（用数字作答）. 【答案】.【解析】试题分析：如下图所示，对集装箱编号，则可知排列相对顺序为，，（即1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走），，，故不同取法的种数是，故填：.【考点】计数原理.16．在三棱锥中，底面，，，为的中点，球为三棱锥的外接球，是球上任一点，若三棱锥体积的最大值是，则球的体积为___________.【答案】【解析】【分析】分析可知三棱锥外接球球心为中点，求出点到平面的距离，可得出点到平面的距离的最大值，利用锥体体积可得出关于的等式，求出的值，可得出球的半径的值，再利用球体的体积公式可求得结果.【详解】正中，为的中点，则，而平面，平面，则，而，、平面，则平面，平面，所以，，平面，平面，，所以，的中点到点、、、的距离相等，即三棱锥外接球球心为中点，从而，点是三棱锥外接球球心，设球的半径为，则，，因为的外接圆圆心为的中点，设为，连接，因为、分别为、的中点，则，故平面，如图，则有，即到平面的距离为，因此到平面距离的最大值为，又，即有，解得，所以，，所以球的体积为.故答案为：.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 三、解答题17．记的内角，，的对边分别为，，．已知，．（1）证明：；（2）求面积的最大值．【答案】（1）证明见解析    （2）．【解析】【分析】（1）由正弦定理角化边，再由余弦定理角化边，即可求证；（2）根据（1）的结论，将其两边平方，再结合余弦定理，得到面积的表达式，再结合辅助角公式，即可求得最值，再根据取等条件，验证是否符合题意即可.【小问1详解】由正弦定理及已知可得，整理可得．由余弦定理可得，整理可得，所以．【小问2详解】由（1）可知．由余弦定理可得，化简可得．记的面积为，则．注意到，所以，等号成立当且仅当．此时回代有，可反解出，，，易知符合题意．所以面积的最大值为．           18.某电视台“挑战主持人”的节目中，挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得5分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得10分，回答不正确得-5分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总得分不低于5分，就算他闯关成功．（1）求至少回答对一个问题概率；（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列；（3）求这位挑战者闯关成功的概率．【答案】（1）    （2）分布列见详解    （3）【解析】【分析】（1）求出1减去一个问题都没回答对的概率即可；（2）这位挑战者回答这三个问题总得分X的所有可能取值为-5，0，5，10，15，20，计算各个分值相应的概率值即可求得总得分X的分布列；（3）结合（2）中计算得出的概率可得这位挑战者闯关成功的概率．【小问1详解】由一位挑战者回答前两个问题正确概率都是，回答第三个问题正确的概率为，则其回答前两个问题错误的概率都是，回答第三个问题错误的概率为，设至少回答对一个问题为事件A，则；【小问2详解】这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为-5，0，5，10，15，20，则，，，，，，则随机变量X的分布列为：X-505101520P【小问3详解】设这位挑战者闯关成功为事件B，则． 19.某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”(如图2)．（1）若是四边形对角线的交点，求证：∥平面（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）结合图形可证四边形是平行四边形，可得，可得∥平面；（2）根据题意结合二面角的定义可得，利用空间向量求线面夹角．【小问1详解】取线段中点，连接，由图1可知，四边形是矩形，且是线段与的中点，且在图1中且，且．所以在图2中，且且四边形是平行四边形，则由于平面平面平面【小问2详解】由图1，折起后在图2中仍有即为二面角的平面角．以为坐标原点，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系如图，且设则，设平面的一个法向量由，得，取则于是平面的一个法向量∴直线与平面所成角的正弦值为20.在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为.（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设点T在直线上，过点T的两条直线分别交轨迹C于E，F和P，Q两点，且，求证：为定值.【答案】（1）；    （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设，其中，由，即可得解；（2）设，设，则直线所在直线方程为，设，则直线所在直线方程为，联立直线和轨迹C方程化简即得证.【小问1详解】解：设，则，因为直线，的斜率之积为所以，化简得，故点轨迹的方程为．【小问2详解】证明：设，设，则直线所在直线方程为，设，则直线所在直线方程为，联立得，联立相消得，，同理，又，，又，．所以为定值.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定值问题，一般先求出该几何量，再利用已知条件化简即得解.21. 已知函数在处的切线方程为.（1）求实数a的值;（2）设的一个正根为m，当，且时，证明:.【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出，利用导数的几何意义求出的值，即可求出的值；（2）先构造函数，求出零点所在的范围，再构造函数、，利用导数研究函数单调性即可证明．【小问1详解】，∴函数在处的切线的斜率，，解得；【小问2详解】令，则，在上单调递增.又，即的一个大于1的零点.令，则.设，则在上单调递减，，，在上单调递减，∴当，且时，，即，即，∴当，且时，．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4 – 4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设l与C相交于A，B两点，点P是C上任意一点，求面积最大时点P的坐标.【答案】（1）；.    （2）.【解析】【分析】(1)利用极坐标和直角坐标之间的转化公式可求曲线C的直角坐标方程，消去参数可求直线l的普通方程；(2)利用点到直线的距离公式和三角函数的最值讨论.【小问1详解】由，得.将代入上式，得，所以曲线C的直角坐标方程为.由（为参数），消去参数t得直线l的普通方程为.【小问2详解】设曲线C的参数方程为（为参数），点P的坐标为，则点P到直线l的距离.又直线l与C相交于A，两点，为定值，所以当时，点P到直线l的距离最大，为，此时的面积最大，所以当面积最大时点P的坐标为.[选修4 – 5：不等式选讲]23. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集;（2）若恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）或    （2）【解析】【分析】（1）把代入，将函数化为分段函数的形式，然后分别列出不等式求解即可得到结果；（2）利用绝对值三角不等式可得，再由转化为，解出即可．【小问1详解】当时，等价于或或解得或，∴不等式的解集为或；【小问2详解】由绝对值三角不等式可得， ∴若恒成立，则，即，或，解得，的取值范围为．