2023年高考数学冲刺模拟卷第4套（理科，解析卷）

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2023年高考数学冲刺模拟卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分第Ⅰ卷（选择题  共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（    ）A. 或 B. C.  D. 或【答案】A【解析】【分析】根据不等式解出集合，在按照集合的补集与并集运算即可.【详解】解：集合，所以或，则或.故选：A. 2．已知是虚数单位，若，则（    ）A．          B．          C．           D．【答案】A【解析】试题分析：由题意，得，故选A．【考点】复数的运算．3．若，则（    ）A．      B．       C．       D．【答案】B【解析】试题分析：因为，，所以，所以＝，故选B．【考点】1、同角三角函数间的基本关系；2、两角和的正弦公式．4．已知命题，是简单命题，则“是真命题”是“是假命题”的（    ）A．充分不必要条件   B．必要不充分条件   C．充要条件   D．既不充分有不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由是真命题，可得真假或假真或真真；由是假命题，知为真命题，则是真命题，所以已知命题，是简单命题，则“是真命题”是“是假命题”的必要不充分条件，故选B．【考点】1、充分条件与必要条件；2、命题的真假．5．如图，四边形是正方形，延长至，使得，若点为的中点，且，则（    ）A．3           B．          C．2          D．1【答案】B【解析】试题分析：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的直角坐标系，则，，所以，，，所以由，得，即，所以，故选B．【考点】向量的坐标运算．6．函数的图象大致为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先判断函数的定义域及奇偶性进行排除,根据0到第一个零点处的函数值正负,即可判断选项C,D的正误.【详解】解:由题知,定义域为,解得,所以,故为奇函数,排除A,B;令可得,即,解得,当时,,,此时,故选项D错误,选项C正确.故选:C 7．祖暅是南北朝时代伟大的科学家，在数学上有突出贡献．他在五世纪末提出祖暅原理：“密势既同，则积不容异.”其意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．我们称由双曲线中的部分绕其虚轴旋转形成的几何体为双曲线旋转体．如图，双曲线旋转体的下半部分挖去底面直径为2a，高为m的圆柱体后，所得几何体与底面半径为，高为m的圆锥均放置于平面上（几何体底面在内）．与平面平行且到平面距离为的平面与两几何体的截面面积分别为，可以证明总成立．依据上述原理，的双曲线旋转体的体积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线旋转体的定义，结合双曲线的标准方程、圆柱和圆锥的体积公式即可求解.【详解】解：依题意，，，圆锥底面半径，即圆锥底面积为4π， 由祖暅原理可知，双曲线旋转体体积．故选：B． 8．已知数列满足若对于任意的都有，则实数的取值范围是（    ）A．          B．           C．         D．【答案】B【解析】试题分析：因为恒成立，又数列在时为等比数列，所以．当时，，递减，，当，为递增数列，不满足；当时，，递减，，当，为递减数列，又因成立，所以，即，解得，所以，故选B．【考点】数列的单调性．9．已知不等式对于恒成立，则实数的取值范围是（    ）A．         B．         C．        D．【答案】B【解析】试题分析：因为＝，所以原不等式等价于在恒成立．因为，所以∈，所以，故选B．【考点】1、倍角公式；2、两角和的正弦公式；3、正弦函数的性质．【方法点睛】解决恒成立问题的关键是将其进行等价转化，使之转化为函数的最值问题,或者区间上的最值问题，使问题得到解决．具体转化思路为：若不等式在区间上恒成立，则等价于在区间上的最小值大于；若不等式在区间上恒成立，则等价于在区间上最大值小于．10．如图，在三棱锥中，已知三角形和三角形所在平面互相垂直，，，则直线与平面所角的大小是（    ）A．        B．        C．         D．【答案】B【解析】试题分析：如图，在平面内，过作，垂足为，连接，则平面，在平面内的身影为，所以即为直线与平面所成的角．由题设知，所以，所以，即，所以，即直线与平面所成角的大小为，故选B．【考点】直线与平面的所成角．11．椭圆的一个焦点为，该椭圆上有一点，满足是等边三角形（为坐标原点），则椭圆的离心率是（    ）A．        B．       C．        D．【答案】A【解析】试题分析：不妨设为椭圆的右焦点，点在第一象限内，则由题意，得，代入椭圆方程，得，结合，化简整理，得，即，解得，故选A．【考点】椭圆的几何性质．【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．12．已知实数a，b，c满足，且，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得，，，构造函数，再利用导数求出函数的单调区间，作出函数的大致图象，结合图象即可得出答案.【详解】解：因为，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，又当时，，当，，由此作出函数的大致图象如图所示，因为且，则由图可知，所以.故选：A.  二、填空题13．二项式的展开式中常数项为          ．【答案】24【解析】试题分析：二项式展开式的通项公式为．令，得，所以二项式的展开式中常数项为．【考点】二项式定理．14． 曲线在点处的切线方程为______.【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义即得.【详解】因为，所以，，又，所以曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：. 15．定义在上的函数满足，，请写出一个符合条件的函数的解析式为___________.【答案】【解析】【分析】由题知，，，故根据函数趋势可设该函数为指数型函数，（且），进而利用，待定系数并检验即可得答案.【详解】解：因为，，所以，，，所以根据增长情况，可设该函数为指数型函数，（且），所以由，解得，检验满足，.故答案为： 16．若一直线与圆和函数的图象相切于同一点，则的值为        ．【答案】3【解析】试题分析：设切点为，则由，得，所以切线的斜率为，又点在函数的图象上，所以 ①．化圆的方程为，则圆心与点连线的斜率 ②．联立①②解得，代入圆的方程解得．【考点】1、直线与圆的位置关系；2、导数的几何意义．【思路点晴】求函数的切线方程的注意事项(1)首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点；(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组；(3)在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件． 三、解答题17．在中，角，，的对边分别为，，，且满足．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用正弦定理将已知条件等式中的边化为角，然后利用两角和的正弦公式结合三角形内角和定理求得的值，从而求得角的大小；（Ⅱ）首先结合（Ⅰ）得到角与角间的关系，然后利用两角和与差的正弦与余弦公式将化为关于角的关系式，由此求得其取值范围．试题解析：（Ⅰ）因为，所以，由正弦定理得，因为在中，所以，（以上也可这样解：由，所以，所以）所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，所以，因为，所以，此时，则，所以的取值范围为．【考点】1、正弦定理；2、两角和与差的正弦与余弦公式．18．张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如下表：年龄（岁）78910111213身高（cm）121128135141148154160（Ⅰ）求身高关于年龄的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）173．5cm．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先根据表格与公式求得相关数据，然后代入线性回归方程求得，由此求得线性回归方程；（Ⅱ）将代入（Ⅰ）中的回归方程即可求得张三同学15岁时的身高．试题解析：（Ⅰ）由题意得，．，，所以，，所求回归方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故张三同学7岁至13岁的身高每年都在增高，平均每年增高6．5cm．将代入（Ⅰ）中的回归方程，得，故预测张三同学15岁的身高为173．5cm．【考点】线性回归方程．19．如图，在三棱柱中，平面，，，，点分别在棱和棱上，且，，为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；    （2）.【解析】【分析】（1）取的中点，可证得四边形为平行四边形，由此得到，根据线面平行的判定定理可得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】证明：取的中点，连接，，为中点，为中点，为的中位线，且；又，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面.【小问2详解】解：以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，平面，平面的一个法向量；设平面的法向量，则，令，解得：，，，，设二面角的平面角为，则，即二面角的正弦值为. 20． 在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为.（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设点T在直线上，过点T的两条直线分别交轨迹C于E，F和P，Q两点，且，求证：为定值.【答案】（1）；    （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设，其中，由，即可得解；（2）设，设，则直线所在直线方程为，设，则直线所在直线方程为，联立直线和轨迹C方程化简即得证.【小问1详解】解：设，则，因为直线，的斜率之积为所以，化简得，故点轨迹的方程为．【小问2详解】证明：设，设，则直线所在直线方程为，设，则直线所在直线方程为，联立得，联立相消得，，同理，又，，又，．所以为定值.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定值问题，一般先求出该几何量，再利用已知条件化简即得解. 21．已知函数，其中为自然对数的底数，…．（Ⅰ）判断函数的单调性，并说明理由；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求出导函数，然后分、求得函数的单调区间；（Ⅱ）首先将问题转化为，恒成立，由此令，然后通过求导研究其单调性并求得其最大值，从而求得的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由题可知，，则，（i）当时，，函数为上的减函数，（ii）当时，令，得，①若，则，此时函数为单调递减函数；②若，则，此时函数为单调递增函数．（Ⅱ）由题意，问题等价于，不等式恒成立，即，恒成立，令，则问题等价于不小于函数在上的最大值．由，当时，，所以函数在上单调递减，所以函数在的最大值为，故，不等式恒成立，实数的取值范围为．【考点】1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题常用分离参数法，即将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线（为参数）经过伸缩变换，后的曲线为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线的极坐标方程为，且曲线与曲线相交于，两点，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先根据函数图象的伸缩变换规律求得的参数方程，然后去掉参数化为直角坐标方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可；（Ⅱ）首先化曲线的极坐标方程为直角坐标方程，然后点到直线的距离公式及弦长公式求解即可．试题解析：（Ⅰ）由题意得曲线的参数方程为（为参数），则曲线的直角坐标方程为，所以曲线的极坐标方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线是以为圆心，半径为1的圆，而曲线为直线，直角坐标方程为．曲线的圆心到直线的距离，所以弦的值为．【考点】1、参数方程与极坐标方程之间的互化；2、直线与圆的位置关系．23．选修4-5：不等式选讲已知函数，，其中，，均为正实数，且．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）当时，求证．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先将函数解析式写成分段形式，然后分段求解不等式，最后取它们的并集；（Ⅱ）首先利用三角绝对值不等式的性质求得函数的最大值与的最小值，然后利用基本不等式求证即可．试题解析：（Ⅰ）由题意，当时，当时，，不等式无解；当时，，解得，所以．当时，恒成立，所以的解集为．（Ⅱ）当时，；．而当且仅当时，等号成立，即，因此，当时，，所以，当时，．【考点】1、绝对值不等式的解法；2、三角绝对值不等式的性质；3、基本不等式．