专题18.3 直角三角形斜边上的中线（重点题专项讲练）-八年级数学下册从重点到压轴（人教版）

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专题18.3  直角三角形斜边上的中线 【典例1】如图，已知△ABC的高BD、CE相交于点O，M、N分别是BC、AO的中点，求证：MN垂直平分DE． 【思路点拨】连接EN、DN、EM、DM，由BD与CE为三角形ABC的两条高，可得∠AEC＝∠ADB＝∠BEC＝∠BDC＝90°，根据M，N为BC，AO的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得EN＝DN，EM＝DM，根据线段垂直平分线的逆定理得到M、N在线段DE的垂直平分线上，得证． 【解题过程】证明：连接EN、DN、EM、DM，∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADB＝∠BEC＝∠BDC＝90°，∵M、N是BC、AO的中点，∴，∴EN＝DN，EM＝DM，∴M、N在线段DE的垂直平分线上，∴MN垂直平分DE． 1．（2022•天河区一模）如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为（　　）A． B． C． D．2．（2021•宁波模拟）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE，已知∠A＝38°，则∠BFC的度数是（　　）A．111° B．110° C．109° D．108°3．（2020秋•宁波期末）如图，以AB为斜边的Rt△ABC和Rt△ABD位于直线AB的同侧，连接CD，若∠BAC+∠ABD＝135°，AB＝6，则CD的长为（　　）A．3 B．4 C．3 D．3  4．（2022春•九龙坡区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，E是BD的中点，BD＝8，则△AEC的面积为（　　）A． B．16 C．8 D．5．（2021秋•上城区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB边上的中点，连接CD，延长BC至点E，使得CE＝AD，连接DE，过点C作CM⊥DE于点M，其中BC＝6，AD＝5，则S△ABC：S△MCE等于（　　）A．11：1 B．44：3 C．24：5 D．44：5 6．（2021春•饶平县校级期中）一个直角三角形斜边上的中线长为10，周长为48，则此直角三角形的面积为　   　． 7．（2021秋•万州区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，点D为△ABC外一点，且AD⊥BD，连接CD，若CD＝4，则∠AEB的度数为 　   　． 8．（2021秋•高淳区期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝135°，连接AC、BD．M是AC的中点，连接BM、DM．若AC＝10，则△BMD的面积为 　   　． 9．（2021•沈阳模拟）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF＝2.5．则AC的长为　   　． 10．（2020•南岗区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC是边长为16的正三角形，点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则线段OC的长的最大值是　   　． 11．（2020秋•海淀区校级月考）如图，在梯形ABCD中，∠B＝54°，∠C＝36°，AD＝7，BC＝11，点E、F分别是AD、BC的中点，则EF的长度等于　   　．  12．（2021秋•白云区期末）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，AE是中线，两条高BF和CD交于点M，则下列结论中，正确的是 　   　（填序号）．①BF＝2AF；②∠DMB＝2∠ACD；③AC：AB＝CD：BF；④当点M在AE上时，△ABC是等边三角形．13．（2021秋•上城区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点E，N，M分别是线段AB，AC，EB的中点，下列结论：①△NMC为等边三角形．②CE⊥MN；③S△ABC＝2S四边形ENCM；④ANEM．其中正确的是 　   　． 14．（2021春•罗湖区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为　   　．    15．（2021秋•临沂期中）求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：求证命题的步骤：1．根据题意画出适当的图形；2．根据图形写出已知：…，求证：…；3．写出证明过程．）已知：求证：证明：   16．（2021秋•惠山区期中）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM．（1）求证：EF；（2）若EF⊥AC，求证：AM+DM＝CB． 17．（2021秋•鄞州区期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D，E分别是BC和AB边的中点，在DA的延长线上取一点F，使AF＝1．（1）求CE的长；（2）求证：△CEF是等边三角形． 18．（2020秋•下城区校级期中）解答下列各题．（1）如图1，点P是∠AOB的内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点．求证：∠MDN＝2∠MON．（2）如图2，若P是∠AOB的外部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点，问∠MDN与∠MON有何数量关系，并说明理由．   19．（2020春•重庆期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．    20．（2020秋•萧山区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是直线BC上一点（不与点B，C重合），连结CD，DE．（1）如图，①若∠CDE＝90°，求证：∠A＝∠E；②若BD平分∠CDE，且∠E＝24°，求∠A的度数．（2）设∠A＝α（α＞45°），∠DEC＝β，若CD＝CE，求β关于α的函数关系式，并说明理由．