高中数学高考安徽省定远县民族中学2019届高三数学下学期最后一次模拟考试试题理(1)

2019届高三下学期高考模拟检测最后一卷

数学试题（理科）

本卷 满分：150分   考试时间：120分钟   

注意事项：

1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

第I卷   选择题（共60分）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)              

1.已知集合，，则（       ）

A.     B.     C.     D.

2.若复数满足，则的虚部为（        ）

A. 5 B.  C.  D. -5

3.如图，和是圆两条互相垂直的直径，分别以,,,为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（       ）

A.                      B.                           C.                               D.

4.函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象　　

A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位

C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位

5.如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为（            ）

A. 1                        B. 2                              C. 3                        D. 4

6.已知定义在R上的函数满足：（1）；（2）；（3）时，.则大小关系（         ）

A.                    B.

C.                    D.

7.已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是（              ）

A.（-，）                    B.（-，）

C.（，）               D.（，）

8.函数的图象可能是　　

9.若函数的图象过点，则（   ）

A. 点是的一个对称中心 B. 直线是的一条对称轴

C. 函数的最小正周期是 D. 函数的值域是

10.已知双曲线 的左，右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，线段交左支于点.若，且，则该双曲线的离心率为（     ）

A.                      B.                      C.                      D.

11.若平面向量，满足，且，，则（        ）

A. 5                      B.                            C. 18                     D. 25

12.定义在上的函数，满足，且当时，，若函数在上有零点，则实数的取值范围为（         ）

A.                     B.                       C.                           D.

第II卷   非选择题（共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题-第23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 

13.在四面体中，，二面角的大小为,则四面体外接球的半径为__________．

14.设满足约束条件，则的最大值为______________．

15.已知正项数列的前项和为，数列的前项积为，若，则数列中最接近2019的是第______项

16.已知，若的展开式中的系数比x的系数大30，则______．

三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)            

17. （本小题满分12分）

在中，角的对边分别为，且.

 （Ⅰ）求角的大小；

 （Ⅱ）若面积为，且外接圆半径，求的周长.

18. （本小题满分12分）

质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如图的频率分布直方图：

(I)写出频率分布直方图(甲）中的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为，试比较的大小（只要求写出答案）；

(Ⅱ)佑计在甲、乙两种食用油中各随机抽取1桶，恰有一个桶的质量指标大于20，且另—个桶的质量指标不大于20的概率；

(Ⅲ)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布.其中近似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于（14.55， 38.45)的桶数，求的数学期望.

注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得：

②若，则，.

19. （本小题满分12分）

如图，在四面体中，分别是线段的中点，，，，直线与平面所成的角等于．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

20. （本小题满分12分）

已知点在椭圆上，为坐标原点，直线的斜率与直线的斜率乘积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）不经过点的直线（且）与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线，与轴分别交于两点，，求证：.

21. （本小题满分12分）

设函数.

（I）当a=1时，证明在是增函数；

（Ⅱ）若当时，，求a取值范围.

22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，并说明它为何种曲线；

（Ⅱ）设点的坐标为，直线交曲线于，两点，求的取值范围.

23. （（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数  ．

（1）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，求不等式的解集．

参考答案

1.C   2.C   3.A   4.B   5.B   6.C    7.A   8.C   9.D   10.B   11.A      12.D

13.                    14.19                          15.45        16.2

17.（1）;（2）3+.

【解析】（1）

，

即

        又 

（2）        

 ∴由 ，   

  ∴，   ∵，  所以得  ，∴周长a+b+c=3+．

18.(1);(2)0.42;(3)6.826.

【解析】(Ⅰ) ；

(Ⅱ)设事件：在甲公司产品中随机抽取1颗，其质量指标不大于20，

事件：在乙公司产品中随机抽取1颗，其质量指标不大于20，

事件：在甲、乙公司产品中随机抽各取1颗，恰有一颗糖果的质量指标大于20，且另一个不大于20，则，，

；

（Ⅲ）计算得: ，由条件得

从而 ，

从乙公司产品中随机抽取10颗，其质量指标值位于(14.55，38.45)的概率是0.6826，

依题意得，

.

19. 【解析】（Ⅰ）在中，是斜边的中点，

所以.

因为是的中点，

所以，且，

所以，

所以.

又因为，

所以，

又，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面．

（Ⅱ）方法一：取中点，连，则，

因为，

所以.

又因为，，

所以平面，

所以平面．

因此是直线与平面所成的角．

故，

所以.

过点作于，则平面，

且．

过点作于，连接，

则为二面角的平面角．

因为，

所以，

所以，

因此二面角的余弦值为．

方法二：

如图所示，在平面BCD中，作x轴⊥BD，以B为坐标原点，BD，BA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系．

因为 (同方法一,过程略)

则，,．

所以,,，

设平面的法向量，

则，即，取,得．

设平面的法向量

则，即，取,得．

所以，

由图形得二面角为锐角，

因此二面角的余弦值为．

20. 【解析】（Ⅰ）由题意，，

即①    又②

联立①①解得

所以，椭圆的方程为：.

（Ⅱ）设，，，由，

得，

所以，即，

又因为，所以，，

，，

解法一：要证明，可转化为证明直线，的斜率互为相反数，只需证明，即证明.

∴

∴，∴.

解法二：要证明，可转化为证明直线，与轴交点、连线中点的纵坐标为，即垂直平分即可.

直线与的方程分别为：

，，

分别令，得，

而，同解法一，可得

，即垂直平分.

所以，.

21. 【解析】（Ⅰ）当a＝1时，f′（x）（x＞0）．

令g（x）＝ex﹣1﹣x，g′（x）＝ex﹣1﹣1，

由g′（x）＝0，可得x＝1．

当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，

当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，

∴当x＝1时，g（x）min＝g（1）＝0，即g（x）≥0，

∴f′（x）≥0，则f（x）在（0，+∞）是增函数；

（Ⅱ）解：设h（x）＝f（x+1）＝ln（x+1）+ae﹣x﹣a（x＞0），

h′（x）．

令p（x）＝ex﹣a（x+1），则p′（x）＝ex﹣a．

①当a≤1时，p′（x）＞e0﹣a＝1﹣a≥0，

∴p（x）在（0，+∞）上单调递增，

∴p（x）＞p（0）＝1﹣a≥0．

∴h′（x）＞0，

∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，

则h（x）＞h（0）＝0，结论成立；

②当a＞1时，由p′（x）＝0，可得x＝lna，

当x∈（0，lna）时，p′（x）＜0，p（x）单调递减，

又p（0）＝1﹣a＜0，

∴x∈（0，lna）时，p（x）＜0恒成立，

即h′（x）＜0．

∴x∈（0，lna）时，h（x）单调递减，

此时h（x）＜h（0）＝0，结论不成立．

综上，a≤1．

22.（Ⅰ），曲线是一个以为圆心，2为半径的圆；（Ⅱ）.

解：（Ⅰ）将代入中得，

即，曲线是一个以为圆心，2为半径的圆.

（Ⅱ）由直线的参数方程，知其过定点，由于直线与曲线相交，由图象知其倾斜角为锐角.

联立与，整理得到关于的二次方程.

由知，或（舍）.

又由于点，均在点的下方，由参数的几何意义，知

（其中）.

23.（1）；（2）。

【解析】（1）当时，转化为.

，

.

∴实数的取值范围为。

（2）当时，由得或.

即或解得或.

故不等式的解集为.

（说明：以上解解答题如用其他方法作答，请酌情给分）