北师大版高中数学必修第二册第6章3第1课时刻画点、线、面位置关系的公理(基本事实1、2、3)课件

§3　空间点、直线、平面之间的位置关系第1课时　刻画点、线、面位置关系的公理(基本事实1,2,3)自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易 错 辨 析 自主预习·新知导学一、空间图形的基本位置关系【问题思考】观察我们的教室,我们会发现有许多点、直线、平面的模型,如图6-3-1.它们有多种不同的位置关系,对于8个屋角(看作点A,B,C,D,A1,B1,C1,D1)、12个墙角(看作直线AB,CD,C1D1,A1B1,AA1,BB1,CC1,DD1,AD,BC,B1C1,A1D1)和6个面(看作平面ABCD,A1B1C1D1,ABB1A1,DCC1D1,ADD1A1,BCC1B1).1.对于指定的一个屋角(点),有几个墙角(线)经过它?有几个墙角不经过它?有几个面经过它?有几个面不经过它?提示:3,9,3,3.2.对于指定的一个墙角(线),在其余的墙角(线)中,有几条与它平行?有几条与它相交?有与它既不平行也不相交的吗?若有,有几条?经过它的面有几个?提示:3条平行的,4条相交的,4条既不平行也不相交的,有2个面经过它.3.对于指定的一个墙面,在其余的墙面中,有几个与它相交?有几个与它平行?提示:4个相交的,1个平行的.4.空间图形的基本关系表6-3-15.点P在直线l上,而直线l在平面α内,用符号表示为(　　).A.P⊂l⫋α B.P∈l∈αC.P⫋l∈α D.P∈l⊂α解析:直线和平面可看作点的集合,点是基本元素.故选D.答案:D二、基本事实1-3【问题思考】1.照相机支架只有三个脚支撑说明什么?提示:不在同一直线上的三点确定一个平面.2.一把直尺两端放在桌面上,直尺在桌面上吗?提示:直尺在桌面上.3.(1)表6-3-2(2)基本事实2的推论推论1:一条直线和该直线外一点确定一个平面(图6-3-2);推论2:两条相交直线确定一个平面(图6-3-3);推论3:两条平行直线确定一个平面(图6-3-4).4.下列说法正确的是(　　).A.空间中不同三点确定一个平面B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面C.一条直线和一个点能确定一个平面D.梯形一定是平面图形解析:空间中必须是不共线的三个点才能确定一个平面,故A错误;当空间中两两相交的三条直线交于同一点时,可确定一个或三个平面,故B错误;一条直线和一个点,当点在直线上时不能确定一个平面,故C错误;由于梯形的两底边平行,它们所在的直线可以确定一个平面,从而梯形一定是平面图形,故D正确.答案:D 合作探究·释疑解惑探究一探究二【例1】 证明:两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.分析:先说明两条相交直线确定一个平面,然后证明另外一条直线也在该平面内.或利用基本事实2的推论2,说明三条相交直线分别确定两个平面α,β,然后证明α,β重合.证明:已知l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,如答图6-3-1.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.证明:(方法一)∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又l2⊂α,∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3,C∈l3,∴l3⊂α.∴直线l1,l2,l3在同一平面内.(方法二)∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β.∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α.∵A∈l2,l2⊂β,∴A∈β.同理可证,B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∵不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内,∴平面α和平面β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.反思感悟 证明点、线共面问题的理论依据是基本事实1和基本事实2,常用方法:(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入法”;(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“同一法”;(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,即用“反证法”.把本例中“三条直线”改为“四条直线”呢?这四条直线是否共面?试证明你的结论.解:已知a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点.求证:a,b,c,d四线共面.证明:①无三线共点情况,如答图6-3-2.设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.因为a∩d=M,所以直线a,d可确定一个平面,设为α.因为N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α,所以NQ⊂α,即b⊂α.同理,c⊂α,所以a,b,c,d共面.②有三线共点的情况,如答图6-3-3.设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M,且K∉a.因为K∉a,所以点K和直线a确定一个平面,设为β.因为N∈a,a⊂β,所以N∈β.所以NK⊂β,即b⊂β.同理,c⊂β,d⊂β.所以a,b,c,d共面.综上所述,a,b,c,d共面.【例2】 如图6-3-5,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q.求证:B,Q,D1三点共线.证明:如答图6-3-4,连接A1B,CD1,BD1.∵B∈平面A1BCD1,D1∈平面A1BCD1,同理BD1⊂平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1=BD1.∵A1C∩平面ABC1D1=Q,∴Q∈平面ABC1D1.又A1C⊂平面A1BCD1,∴Q∈平面A1BCD1.∴Q∈BD1,即B,Q,D1三点共线.反思感悟 1.证明多点共线主要采用如下两种方法:一是首先确定两个平面,然后证明这些点是这两个平面的公共点,再根据基本事实3,这些点都在这两个平面的交线上;二是选择其中两点确定一条直线,然后再证明其他的点都在这条直线上.2.证明三线共点问题的方法主要是先确定两条直线交于一点,再证明该点是这两条直线所在平面的公共点,第三条直线是这两个平面的交线.易 错 辨 析因对公理及推论的条件使用不当而致误【典例】 已知A,B,C,D,E五点中,A,B,C,D共面,B,C,D,E共面,那么A,B,C,D,E五点一定共面吗?错解:∵点A,B,C,D共面,∴点A在点B,C,D所确定的平面内.∵点B,C,D,E四点共面,∴点E也在点B,C,D所确定的平面内,∴点A,E都在点B,C,D所确定的平面内.即点A,B,C,D,E一定共面.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:上述解法的错误在于没有注意到B,C,D三点不一定确定一个平面,即默认了B,C,D三点一定不共线,因而出错,但B,C,D三点还可能共线,因此就使得五点的共面失去了基础.正解:A,B,C,D,E五点不一定共面.①当B,C,D三点不共线时,由基本事实1可知B,C,D三点确定一个平面,记为α,由题设知A∈α,E∈α,故A,B,C,D,E五点共面于α.②当B,C,D三点共线时,设共线于l,若A∈l,E∈l,则A,B,C,D,E五点共面;若A,E有且只有一点在l上,则A,B,C,D,E五点共面;若A,E都不在l上,则A,B,C,D,E五点可能不共面.综上所述,在题设条件下,A,B,C,D,E五点不一定共面.防范措施 共面问题的证明,常分两步:(1)确定平面;(2)证明元素在确定的平面内.必须注意到平面是确定的.