高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第7章 §7 5　空间向量及其应用课件PPT

这是一份高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第7章 §7 5　空间向量及其应用课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了考试要求，主干梳理基础落实，题型突破核心探究，课时精练，内容索引，平行或重合，xa＋yb＋zc，xa＋yb，≤〈ab〉≤π，〈ab〉等内容，欢迎下载使用。
1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握 空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向 量的共线和垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
1.空间向量的有关概念
2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝_______，其中x，y∈R，a，b为不共线向量.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝__________，{a，b，c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作________，其范围是________________，若〈a，b〉＝ ，则称a与b_________，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则_______________叫做向量a，b的数量积，记作______，即a·b＝_______________.
|a||b|cs〈a，b〉
(2)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝______.②交换律：a·b＝____.③分配律：a·(b＋c)＝________.
4.空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
a1b1＋a2b2＋a3b3
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
5.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个.(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量.显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量.
1.基向量和基底一样吗？0是否能作为基向量？
提示　不一样.基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量；因为0与其他两个非零向量共面，所以0不能作为基向量.
2.用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么？
提示　需要确定直线的方向向量和平面的法向量，然后把证明线、面的垂直关系转化为向量间的关系.
题组一　思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c.(　　)(2)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c).(　　)(3)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反.(　　)(4)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底.(　　)
题组二　教材改编2.若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是A.{a，a＋b，a－b} B.{b，a＋b，a－b}C.{c，a＋b，a－b} D.{a＋b，a－b，a＋2b}
解析　对于A，因为(a＋b)＋(a－b)＝2a，所以a，a＋b，a－b共面，不能构成基底，排除A；对于B，因为(a＋b)－(a－b)＝2b，所以b，a＋b，a－b共面，不能构成基底，排除B；
所以a＋b，a－b，a＋2b共面，不能构成基底，排除D；对于C，若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(λ＋μ)a＋(λ－μ)b，则a，b，c共面，与{a，b，c}为空间向量的一组基底相矛盾，故c，a＋b，a－b可以构成空间向量的一组基底.
解析　如图，连接ON，
4.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝____.
解析　∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.
题组三　易错自纠5.向量m是直线l的方向向量，向量n是平面α的法向量，“m⊥n”是“l∥α”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　由l∥α，得m⊥n，所以m⊥n是l∥α的必要条件；而由m⊥n不一定有l∥α，也可能l⊂α，故m⊥n不是l∥α的充分条件.
6.已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足 ，则点M_______(填“属于”或“不属于”)平面ABC.
∴M，A，B，C四点共面.即点M∈平面ABC.
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
题型一　空间向量的线性运算
用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.
题型二　共线向量定理、共面向量定理的应用
(2)判断点M是否在平面ABC内.
所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.
证明空间四点P，M，A，B共面的方法
题型三　空间向量数量积及其应用
例2　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
引申探究已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则 的取值范围为A. [0，4] 　　　　B. [0，2]　　　　 C. [1，4]　　　　 D. [1，2]
解析　设正方体内切球的球心为O，则OM＝ON＝1，
又P在正方体表面上移动，
由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.
跟踪训练2　如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设试采用向量法解决下列问题：
解　因为正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，
题型四　向量法证明平行、垂直
例3　如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3， 点E和F分别为BC和A1C的中点.(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
证明　因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，所以过E作平行于BB1的垂线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设平面AA1B1B的一个法向量为n＝(x，y，z)，
又EF⊄平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.
(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1.
证明　因为EC⊥平面AEA1，
又EA⊥平面BCB1，
故平面AEA1⊥平面BCB1.
(1)利用向量法证明平行问题①线线平行：方向向量平行.②线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直.③面面平行：两平面的法向量平行.
(2)利用向量法证明垂直问题的类型及常用方法
跟踪训练3　如图正方形ABCD的边长为 ，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝ ，且FO⊥平面ABCD.(1)求证：AE∥平面BCF；
取BC的中点H，连接OH，则OH∥BD，又四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面BCF的一个法向量为n＝(x，y，z).
又四边形BDEF为平行四边形，
又AE⊄平面BCF，∴AE∥平面BCF.
(2)求证：CF⊥平面AEF.
即CF⊥AF，CF⊥AE，又AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，∴CF⊥平面AEF.
KESHIJINGLIAN
1.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是
解析　因为a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，
又ka＋b与2a－b互相垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，即2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
2.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM＝2MC′，则下列向量中与 相等的向量是
在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，
＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.
4.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是
5.(多选)若a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1,1)，a与b的夹角为120°，则λ的值为A.17 B.－17 C.－1 D.1
解析　由已知a·b＝－2－λ－2＝－λ－4，
解得λ＝17或λ＝－1，故选AC.
对于D，设平面ABC的一个法向量是n＝(x，y，z)，
所以平面ABC的一个法向量为n＝(1，－2,5)，所以正确，故选CD.
8.若a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，则与a＋b同方向的单位向量是______________.
9.已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(x，y，15)三点共线，则xy＝____.
10.在一直角坐标系中，已知A(－1，6)，B(3，－8)，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为______.
解析　在直角坐标系中，已知A(－1，6)，B(3，－8)，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角后，
A(－1，6)在平面Oxy上的射影为C，作BD⊥x轴，交x轴于点D，
11.如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.(1)求证：BC1⊥AB1；
证明　如图，以C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设AC＝BC＝BB1＝2，
则A(2，0，2)，B(0，2，2)，C(0，0，2)，A1(2，0，0)，B1(0，2，0)，C1(0，0，0)，D(1，1，2).连接AB1，
(2)求证：BC1∥平面CA1D.
且ED和BC1不重合，则ED∥BC1.又ED⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，故BC1∥平面CA1D.
证明　取A1C的中点E，连接DE，
12.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱B1B，D1D上，且 .
(1)求证：A，E，C1，F四点共面；
证明　连接AC1(图略)，
∴A，E，C1，F四点共面.
13.(多选)已知向量a·b＝b·c＝a·c，b＝(3，0，－1)，c＝(－1，5，－3)，下列等式中正确的是A.(a·b)c＝b·cB.(a＋b)·c＝a·(b＋c)C.(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2D. | a＋b＋c |＝| a－b－c |
解析　由题意知b·c＝－3＋0＋3＝0，所以a·b＝b·c＝a·c＝0，(a·b)c＝0，b·c＝0，不相等，所以A选项错误；(a＋b)·c－a·(b＋c)＝a·c＋b·c－a·b－a·c＝0，所以(a＋b)·c＝a·(b＋c)，所以B选项正确；(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝a2＋b2＋c2，所以C选项正确；(a－b－c)2＝a2＋b2＋c2－2a·b＋2b·c－2a·c＝a2＋b2＋c2，即(a＋b＋c)2＝(a－b－c)2，|a＋b＋c|＝|a－b－c|，所以D选项正确.
15.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周).若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为_____.
解析　由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所示.
16.(2020·桂林模拟)如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；
证明　设BD与AC交于点O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，
所以A1O⊥AO.由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，A1O⊂平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABCD.
以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.
解　假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，
设平面DA1C1的一个法向量为n3＝(x3，y3，z3)，
解得λ＝－1，即点P在C1C的延长线上，且CP＝CC1.
因为BP∥平面DA1C1，